Introdução
Resumo histórico do triângulo aritmético
Resumo histórico do teorema binomial
Os avanços de Stirling
Nascimento da matemática discreta
Comparação entre Blaise Pascal e Patrício Leite
Comparação entre Patrício Leite e Newton
Comparação entre Patrício Leite e Stirling
Comparação entre Patrício Leite e alguns dos seus antecessores
Originalidade matemática triangular em Patrício Leite
Avanço na originalidade criativa de Patrício Leite
RACIOCÍNIO DE ORIGINALIDADE CRIATIVA
Análise e comparação das várias fórmulas gerais
Generalização para a fórmula de Patrício
Evolução da função de Patrício Leite
Filosofia dos números
Qual é a distância entre os números?
Padrão de variação da distância entre os números
Síntese conclusiva
Introdução
Sabe-se que, dois séculos atrás, foram muito divulgadas e aceites, na biologia do desenvolvimento, as ideias de que a ontogenia repete a filogenia; decorridos 100 anos, já em meados do século passado, a teoria geral dos sistemas encontrou padrões de repetição presentes em todos os sistemas: desde o nível mais elementar da física até o mais complexo da sociologia. Mudam-se os tempos, a ciência e as ideias culturais, porém, mantém-se o método da analogia comparativa. Patrício Teixeira Leite, numa ontogenia de raciocínio pessoal que repete a filogenia do conhecimento científico humano, descobriu padrões matemáticos através de sucessivas aproximações empíricas baseadas em tentativa e erro, porém, seguidamente, pesquisando na história do pensamento científico, verificou que desde os tempos iniciais, desde primórdios da humanidade, muitos filósofos investigadores, ao longo do tempo, tinham já contribuído, com ideias e raciocínios, para a continuidade dessa linha de pensamento: as descobertas de Patrício Leite foram apenas mais uma pequena “gota de água na imensidão dos oceanos”, contudo, a ciência, a matemática e a filosofia avançaram. Este ensaio procura interligar os padrões matemáticos descobertos por Patrício Leite na continuidade da respectiva linha histórica do pensamento matemático: foi a história do triângulo aritmético, do teorema binomial e dos respectivos avanços proporcionados; foi o nascimento da matemática discreta; foi a comparação entre os padrões descobertos por Patrício Leite e a contribuição de grandes vultos como Pascal, Newton e Stirling; finalmente, surge mais um RACIOCÍNIO DE ORIGINALIDADE CRIATIVA: é a ruptura conceptual com a posição clássica que entende a distância entre os números como uma constante unitária absoluta definida pela diferença entre dois números naturais sucessivos mas que, por oposição criativa, Patrício Leite substitui por um conceito de unidade relativa, versátil e apenas determinada, para estes efeitos, de acordo com a posição assumida pela variável z da função de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n resta a filosofia da interrogação: Qual é a distância entre os números?
Resumo histórico do triângulo aritmético
As origens do triângulo aritmético perdem-se na história do desenvolvimento humano. Primeiro terá sido necessário distinguir a apreender tipos de sensações corporais capazes de engendrar a percepção da forma triangular, depois, o desenvolvimento cognitivo terá evoluído para uma concepção puramente abstrata dessa forma triangular percepcionada e depois, somente depois, terá sido possível conceber e trabalhar a triangularidade. Os elementos arqueológicos mais antigos apontam, milhões de anos atrás, protótipos triangulares do paleolítico; posteriormente, com o progressivo domínio do fogo foi-se aperfeiçoando e consolidando a forma triangular das fogueiras em chama; com as civilizações antigas surgiram as pirâmides como primeiros monumentos construídos pelo homem com forma triangular; porém, o primeiro registo histórico de uma aritmética triangular, capaz de configurar o triângulo aritmético, provém do matemático indiano Pingala, que viveu há cerca de 2300 anos. Este primeiro triângulo aritmético teria relação facilitada com as combinações tendo sido, sucessivamente, redescoberto e desenvolvido, do ponto de vista combinatório, ao longo do primeiro milénio da nossa era, por outros matemáticos integrados na cultura místico-religiosa indiana. Provavelmente, a proximidade geográfica, permitiu a exportação da triangularidade indiana para China que, preocupada com a extração de raízes quadradas, cubicas e outras foi, também no primeiro milénio, desenvolvendo sistemas de tabulação triangular; mais tarde, já no primeiro quartel do segundo milénio, estas tabulações triangulares foram detalhados num livro escrito pelo chinês Yang Hui destinado a descobrir coeficientes binomiais. No início do segundo milénio da nossa era também a matemática árabe, em função da proximidade geográfica com a India, copiou, compilou, traduziu e difundiu a triangularidade combinatória indiana e, mais tarde, por métodos de álgebra geométrica e aritmética, derivados de Euclides, os matemáticos árabes foram utilizando o triângulo aritmético indiano para demonstrar e desenvolver estudos com potências binomiais e extração de raízes quadradas, cúbicas, etc.
Com a expansão árabe pelo norte africano magrebino e as viagens de europeus como Fibonancci, pois, a Europa medieval tomou conhecimento do triângulo aritmético e da matemática combinatória cujo interesse foi divulgado por matemáticos alemães como Stifel e italianos como Tartaglia cerca de 100 anos antes do francês Pascal (1623 – 1662); este último sistematizou a abordagem do triângulo aritmético envolvendo os coeficientes binomiais na resolução de problemas probabilísticos e de combinatória numa monografia de publicação póstuma. Quase 100 anos depois o matemático inglês Moivre, publicou um trabalho cuja designação triangulo aritmético de Pascal ficou consagrada na matemática inglesa, francesa e de outros países europeus.
Resumo histórico do teorema binomial
A história do pensamento matemático mostra que o desenvolvimento do teorema binomial acompanhou, de certo modo, o desenvolvimento do triângulo aritmético: primeiro, a civilização indiana antiga teve Pingala como pioneiro da matemática combinatória, a estudar padrões numéricos e combinações e também, não menos importante, um sistema binário para representação numérica; depois, já no século XII, Bhaskara II e a matemática medieval indiana, avançaram com métodos de resolver equações quadráticas, cúbicas e outras. Provavelmente, a proximidade territorial facilitou a exportação dos conhecimentos matemáticos indianos para a China cujos arranjos numéricos, utilizando cálculos e combinações, apresentados sob a forma de tabelas com coeficientes binomiais, facilitou a identificação de padrões e a generalização de resultados que, conjuntamente com a matemática indiana, se concretizaram e difundiram pela matemática árabe com o persa Al-Karaji a contribuir na generalização de operações algébricas abstratas, combinações e permutações, operações com binómios, trinómios e polinómios como conceitos fundamentais para a expansão binomial e, sobretudo, na disseminação deste conhecimento matemático pela Europa.
O pensamento dualista associado ao sistema
de representação numérica binária de Pingala teve repercussões na matemática
europeia através da sequência de Fibonancci tendo posteriormente, em relação
com o desenvolvimento dos binómios, sido introduzido o termo coeficiente
binomial em 1544 pelo alemão Michael Stifel; mais tarde, na Europa no século
XVII, Newton generalizou o teorema binomial para a expansão de binómios com qualquer
expoente real por uma série infinita.
Os avanços de Stirling
Em continuidade do trabalho matemático
decorrente do triângulo aritmético e dos números binomiais, pois, James
Stirling fez importantes contribuições no domínio da análise combinatória, das
séries infinitas e da interpolação. Stirling admirava profundamente a figura de
Newton com o qual disfrutou de uma forte amizade tendo, inclusivamente, efectuadas
publicações de trabalhos que demonstravam a sua admiração e seguidismo para com
Newton, seu mestre do pensamento matemático. Embora não sendo tão conhecido
como outros grandes matemáticos, pois, os trabalhos de James Stirling
relacionados com as contagens, como interpolações, séries infinitas ou a
fórmula de Stirling, tiveram influência significativa na evolução da matemática
mas também a reputação que ao longo da vida adquiriu, conduziram postumamente outros
matemáticos, como o dinamarquês Niels Nielsen a, mais de um século após a morte
de Stirling, criar a designação números de Stirling: os números de Stirling de
primeiro tipo estão relacionados com permutações e ciclos e os números de
Stirling de segundo tipo relacionam-se com partições de conjuntos.
Nascimento da matemática discreta
O desenvolvimento imparável da ciência prosseguiu ao longo de todo o século XVIII e XIX com vários autores a deixar o seu contributo matemático no avanço da combinatória e das contagens. A distinção entre a análise e a aritmética, respectivamente como fundamentos da matemática contínua e discreta já, ao longo da história da matemática, se fazia sentir desde o tempo dos antigos gregos, porém, o desenvolvimento da investigação operacional, da teoria da informação e das ciências da computação vieram, na segunda metade do século XX, a consolidar a designação de matemática discreta ou finita como um ramo autónomo da matemática com as suas aplicações práticas, desafios e áreas de investigação própria.
Comparação entre Blaise Pascal e Patrício Leite
Os intensos estudos sobre as
propriedades e regularidades encontradas no triângulo aritmético levaram Pascal,
no seu tratado sobre o triângulo aritmético publicado em 1653, a apresentar uma
tabela matricial, com linhas e colunas, muito convenientes para o estudo e
compreensão dos coeficientes binomiais. Já na contemporaneidade dos inícios do
século XXI, Patrício Leite, no domínio da tradicional combinatória iniciou,
empiricamente, o seu pensamento matemático criativo pela sucessiva diferença
entre potências cuja base segue a sucessão decrescente dos números naturais e
cujo expoente se mantém sempre constante. Iniciando assim as sucessivas
operações de subtração: 162 - 152 - 142 - 132 - 122
- 112 - 102 - 92 - 82 - 72
- 62 - 52 - 42 - 32 - 22
- 12
Com esta sucessão de subtrações sucessivas surge o seguinte conjunto formado por estruturas triangulares:
Considerando o número 2 como o expoente, sempre constante, das potências acima referidas; pois, ao fim de duas subtrações sucessivas surgem estruturas triangulares e cada uma destas estruturas matriciais triangulares converge para o factorial do respectivo expoente, portanto factorial de dois ou seja 2! = 2; a diferença subtrativa entre cada duas destas estruturas triangulares converge para zero. A comparação entre este triângulo das diferenças subtrativas de Patrício e o triângulo de Pascal revela, apesar dos diferentes algoritmos de construção, algumas simetrias comparativas: na mesma forma triangular com que se apresentam porém de simetria invertida, na simetria da soma e subtração como operações aritméticas de construção, na convergência do triângulo das diferenças subtrativas de Patrício e divergência do triângulo de Pascal nos seus respectivos desenvolvimentos, etc.; têm também imensos padrões de repetição numérica que, no caso do triângulo aritmético, foram intensamente pesquisadas e sistematizadas por Pascal; porém com o triângulo das diferenças, Patrício Leite decidiu pesquisar, fundamentalmente, padrões que lhe permitiram evoluir numa construção aritmética e algébrica triangular generalizada. Efetivamente, apesar de o triângulo das diferenças de Patrício ter vários padrões geométricos e topológicos que permitem uma simetria analógica comparativa com o triângulo de Pascal e da consequente possibilidade de sistematização exaustiva, pois, Patrício Leite com a sua intensa actividade criativa, refere alguns padrões e comparações entre triângulos mas procurou sobretudo evoluir numa generalização que a partir do triângulo subtractivo das diferenças aritméticas, avançou empiricamente para a consecução de duas tabelas matriciais triangulares que designou, respectivamente, por triângulo geométrico ou exponencial de Patrício e triângulo factorial de Patrício; vejamos a evolução do procedimento cognitivo: a sucessão sucessiva de operações de subtração: … 63 – 53 – 43 – 33 – 23 – 13 vai agora, considerando o número 3 como o expoente, sempre constante, das potências; ao fim de três subtrações sucessivas originar estruturas triangulares e cada uma destas estruturas matriciais triangulares converge para o factorial do respectivo expoente, por conseguinte factorial de três ou seja 3! = 6; seguidamente, a diferença subtractiva entre cada duas destas estruturas triangulares converge para zero, assim:
O triângulo geométrico ou
exponencial resulta da disposição do mesmo segmento ou fragmento de Patrício pela ordem
natural e crescente dos respectivos expoentes. Explicando com algum detalhe
este raciocínio vem: cada filamento ou segmento de Patrício corresponde
apenas a uma sequência sucessiva de subtrações de potências ou números potenciais,
acima descritos, cujos resultados convergentes originam o respectivo triângulo
das diferenças aritméticas; obviamente, os filamentos ou segmentos de Patrício podem ser
ordenadamente dispostos pela ordem dos números naturais até ao infinito; neste
sentido, a posição sequencial que cada filamento ocupa ao longo de uma linha corresponde
a um número natural em relação com a base da potência; por outro lado, os
segmentos também podem ser ordenadamente dispostos pela ordem dos números
naturais até ao infinito porém, agora, ao longo de uma coluna em relação com o
expoente da potência; o lugar ou posição que cada segmento ocupa pode ser devidamente
indicado ou indiciado através de dois números: um que indica a posição do
segmento ao longo da linha ou eixo horizontal e o outro numero índice que
indica a posição do segmento ao longo da coluna ou eixo vertical; como os
índices ou indicadores, tanto ao longo da linha como ao longo da coluna, podem
ser ordenadamente dispostos até ao infinito, pois, isto significa que se torna
possível representar até ao infinito, infinitos triângulos geométricos ou exponenciais,
todos eles infinitos, numa representação triangularmente infinita; também agora
numa fracionaria geometria fractal original de mais uma espécie ou tipo de fractais de
Patrício. Abordando agora o triângulo factorial de Patrício, pois,
este foi construído através dos cálculos relacionados aos factoriais dos expoentes
das potências numéricas por ordem natural crescente sendo que numa primeira
etapa a diferença sucessiva destas potências deu origem aos triângulos de
diferenças aritméticas e depois aos triângulos geométricos ou exponenciais. 
O triângulo factorial de Patrício constitui, também, uma matriz triangular com linhas e colunas a partir da qual se podem descobrir imensos padrões de repetição, geométricos e topológicos, capazes de estabelecer entre si relações bem determinadas porém, Patrício Leite decidiu relacionar o triângulo de Pascal com os triângulos exponencial e factorial de Patrício avançando a sua investigação criativa para uma generalização algébrica que lhe permitiu alcançar a relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n – a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n. Sendo que: a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números da linha do triângulo aritmético ou de Pascal
Comparação entre Patrício Leite e Newton
Com a dedução indutiva generalizante da relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n – a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n foi obtida uma fórmula ou expressão algébrica que traduz e exprime a expansão de um factorial num polinómio muito especial; efectivamente, a relação fundamental de Patrício traduz uma igualdade entre um factorial e um polinómio extenso e detalhado com n + 1 termos binomiais; cada um destes termos binomiais é precedido por um coeficiente; a ordem de distribuição destes coeficientes segue a ordem correspondente à respectiva linha do triângulo de Pascal. Mais, cada um destes termos binomiais é, precisamente, um típico binómio contendo dois termos diferentes que se relacionam por operadores aritméticos de somar ou subtrair. As potências destes típicos binómios foram sucessivamente expandidas ao longo da história da matemática tendo Euclides mencionado o teorema binomial, pela primeira vez, cerca de 4 séculos entes da nossa era; mais tarde Isaac Newton encontrou a expressão ou fórmula geral da expansão binomial tendo em sua homenagem surgido a expressão Binómio de Newton para a expansão binomial. Os coeficientes binomiais desta expressão ou fórmula geral correspondem, em termos da análise combinatória, a combinações sem repetição que se organizam em linhas e colunas de acordo com o algoritmo de construção do triângulo de Pascal. Mais, pode-se verificar, aqui e agora, que também a fórmula geral da expansão factorial de Patrício contém coeficientes que traduzem as combinações sem repetição organizadas pelo triângulo de Pascal e a cada um desses coeficientes está associado um binómio que pode ser expandido pelo binómio de Newton; por conseguinte, para cada expansão factorial de Patrício, além dos respectivos coeficientes factoriais, dispostos de acordo com a respectiva linha do triângulo de Pascal, pois, existe também igual número de binómios associados e cada um destes binómios pode ser expandido pelo binómio de Newton; portanto, enquanto a expansão binomial de Newton expande potências binomiais, pois, estas potências binomiais podem ser incluídas e enquadradas na expansão factorial de Patrício que, por sua vez, expande um factorial: o factorial corresponde a linha do triângulo aritmético e ao expoente das potências binomiais determinando assim os coeficientes da expansão factorial de Patrício mas também os coeficientes da expansão de todos os respectivos binómios de Newton dispostos de acordo com a referida linha do triângulo de Pascal.
Comparando a expansão binomial de Newton com a expansão factorial de Patrício, vem:
Newton
Considere-se qualquer binómio:
(a - b)n
O desenvolvimento do binómio de Newton para (a - b)n
(a -
b)n = (n0)a n(-b)0 + (n1)a
n-1(-b)1 + (n2)a n-2(-b)2
+ … + (nn-2)a 2(-b)n-2 + (nn-1)a
1(-b)n-1 + (nn)a 0(-b)n
O termo geral do binómio de Newton para (a - b)n
Tk+1 = (-1)k(nk)
an – k bk
A fórmula geral da expansão binomial para (a - b)n
(a - b)n = Σnk=0(nk)(-1)kan – k bk
Patrício
Considere-se qualquer factorial: n!
O desenvolvimento da relação fundamental de Patrício para n!
n!
= a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n sabendo que a1,
a2, a3,
a4, a5,
a6, … a1
são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de
Pascal, vem:
n! = (n0)(-1)0(n+1)n
+ (n1)(-1)1nn
+ (n2)(-1)2(n-1)n
+ … + (nn-2)(-1)n-2(3)n
+ (nn-1)(-1)n-1(2)n
+ (nn)(-1)n(1)n
Termo geral para a relação fundamental de Patrício para n!
Tk+1 = (-1)k(nk) (n+1-k)n
A fórmula geral da expansão factorial de Patrício para n!
n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n
A comparação entre a expansão binomial de Newton: (a - b)n = Σnk=0(nk)(-1)kan – k bk e a expansão factorial de Patríco: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n fica facilitada, em conformidade, simples e directa, com o acima exposto e detalhado.
Agora com segmentos ou fragmentos de Patrício (Z)
O desenvolvimento da relação fundamental de Patrício com segmentos ou fragmentos de Patrício para n!
n! = a1(n+z+1)n – a2(n+z)n + a3(n+z-1)n – a4(n+z-2)n + a5(n+z-3)n – a6(n+z-4)n + … ± … ± a1(1+z)n sabendo que a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal e que z corresponde a determinado segmento ou fragmento de Patrício, vem:
n! = (n0)(-1)0(n+z+1)n + (n1)(-1)1(n+z)n + (n2)(-1)2(n+z-1)n + … + (nn-2)(-1)n-2(3+z)n + (nn-1)(-1)n-1(2+z)n + (nn)(-1)n(1+z)n
Termo geral para a relação fundamental de Patrício com segmentos ou fragmentos de Patrício para n!
Pk+z = (-1)k(nk) (n+z-k)n
A fórmula geral da expansão factorial de Patrício com segmentos ou fragmentos de Patrício para n!
n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n
Considerando que o valor da variável z corresponde a um determinado segmento ou fragmento de Patrício representado por qualquer número, real ou complexo; considerando também que, qualquer que seja, o valor da variável z não altera o resultado final do factorial n! pois, facilmente se entende que na expansão factorial de Patrício: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n a expressão matemática (n+z-k)n corresponde a um trinómio. Assim como na situação do binómio de Newton se pode considerar a expansão binomial e respectiva fórmula geral, pois, também, por semelhança, os trinómios podem ser expandidos em relação com uma fórmula geral. Mais, no trinómio assim representado (n+z-k)n a variável z pode ser desdobrada em múltiplas outras variáveis interdependentes ou parcialmente dependentes com avanço para o polinómio de Leibniz como teorema multinomial numa generalização do binómio de Newton.
Comparando agora, o desenvolvimento da expansão binomial de Newton com o desenvolvimento da expansão factorial de Patrício, conforme a relação fundamental de Patrício, pois, constata-se facilmente que ambos os desenvolvimentos contêm como coeficientes as combinações simples dispostas segundo a respectiva linha do triângulo de Pascal; no entanto, uma diferença importante, nestes desenvolvimentos e fórmulas gerais consiste, por um lado, o facto de Newton alterar a variação dos expoentes que os vários termos apresentam ao longo do desenvolvimento da expansão binomial, por outro lado, pelo facto de Patrício Leite alterar a variação das bases que os vários termos apresentam ao longo do desenvolvimento da expansão factorial. Efectivamente, em matemática, qualquer potência é constituída por base e expoente e, nesta situação, Patrício Leite trabalhou com as bases das potências e Newton com os expoentes.
Comparação entre Patrício Leite e Stirling
Com um dos resultados sintéticos da breve comparação, acima exposta, entre a expansão binomial de Newton e a expansão factorial de Patrício, a apontar para um trabalho comum com potências mas, aqui, nesta situação concreta, a diferir entre a variação dos expoentes efectuada por Newton e a variação das bases dessas potências efectuada por Patrício Leite; pois, surge James Stirling como terceiro pensador. Efectivamente, Stirling nasceu e faleceu depois de Newton, porém, enquanto contemporâneos, mantiveram grande amizade e correspondência sobre os pensamentos e estudos, a que se dedicavam, na mesma área da matemática. Stirling estudou e expôs o seu pensamento sobre potências, ou seja, números e expressões matemáticas cuja forma potencial significa uma base e um expoente. Foi a partir do trabalho com estas potências que conseguiu definir os, posteriormente, designados números de Stirling. Também Patrício Leite pensou e trabalhou com potências, reconheceu a abstração existencial de potências constituídas por expressões matemáticas na base e no expoente, porém, na racionalidade da sua abstração cognitiva, optou por incluir a representação de todos os principais conjuntos numéricos, incluindo o conjunto dos números complexos, como uma potência cuja base e expoente são, em abstrato, o conjunto total dos números racionais; a concepção destas potências, cujas bases e expoentes são expressões numéricas racionais abstratas, permite avanços significativos relativamente aos trabalhos de Newton e Stirling. A fórmula explícita dos números de Stirling de segundo tipo relaciona-se com partições de conjuntos: S(a,n) = 1/n! Σnk=0(nk)(-1)k(n-k)a; considerando agora a designação dos números de Stirling de segundo tipo S(a,n) cuja característica principal consiste exatamente em contar as partições de um conjunto de “a” elementos em “n” subconjuntos não vazios, pois, imediatamente se pode efectuar a comparação com a fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n considerando provado, que a variável z da fórmula de Patrício Leite pode assumir qualquer valor numérico sem alterar o resultado final da expressão, conclui-se que quando z = 0 então, com a = n, se S(a,n) = 1 pois a expressão da fórmula de Stirling e a de Patrício Leite coincidem; quando z for diferente de zero, então, para alcançar um mesmo resultado final, tem-se um desenvolvimento diferente; contudo, repare-se, quando “a” for diferente de “n” pois as próprias expressões e variáveis das fórmulas de Stirling e de Patrício Leite tornam-se distintas e com diferentes significados; efectivamente a expressão (n+z-k)n presente na fórmula de Patrício Leite, tem um cálculo, forma, estrutura e significado muito diferentes da expressão (n-k)a presente na fórmula de Stirling; por semelhança com o seu contemporâneo Newton, pois também Stirling, ao trabalhar com potências, explorou a variação dos expoentes, no entanto Patrício Leite em semelhante situação explorou a variação das bases dessas expressões potenciais. Acrescenta-se que ambas as fórmulas podem ser usadas em conjunto, pois a fórmula de Patrício Leite permite calcular o factorial da fórmula de Stirling, portanto pode-o substituir na respectiva expressão tendo como resultado a fórmula de Stirling – Patrício Leite, assim:
S(a,n) = Σnk=0(nk)(-1)k(n-k)a / Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n
Comparação entre Patrício Leite e alguns dos seus antecessores
Com a evolução e o desenvolvimento progressivo da matemática foram vários os investigadores que seguiram a linhagem de pensamento: Pascal – Newton – Stirling. Por exemplo, grandes nomes da matemática como Euler e Lagrange acompanharam e desenvolveram as ideias de Stirling respectivamente pela formalização de conceitos relacionados com os números e a sua teoria mas também para progredir no domínio das probabilidades e análise combinatória; mais tarde Pochhammer trabalhou com factoriais decrescentes e crescentes para os quais criou uma notação própria; mais, o facto da notação factorial crescente se relacionar com as partições reporta imediatamente aos números de Stirling de segundo tipo; foram muitas as fórmulas desenvolvidas, foi enorme a proximidade formal com Stirling e Patrício mas, nunca, em nenhuma situação se pensou ou desenvolveu a relação fundamental de Patrício, mais, também, nenhum raciocínio, nenhuma ideia, nenhuma fórmula incluiu o conceito ou a variável z associada aos segmentos ou fragmentos de Patrício.
Originalidade matemática triangular em Patrício Leite
Patrício Leite, ao longo de todo o seu pensamento matemático, estudos e respectivos ensaios, sempre tem primado por uma criatividade original; contudo salienta-se, a grande originalidade, aquela originalidade criacionista nunca vislumbrada por qualquer outro matemático anterior, está na descoberta dos filamentos, segmentos ou fragmentos de Patrício que primeiro descobriu mas apenas e tão-somente decidiu divulgar publicamente no ano de 2016. Porquanto, na sequência desta descoberta original, decidiu realizar trabalho cognitivo que, no domínio da matemática pura, lhe permitiu encontrar alguns padrões de regularidades; esboçou também algumas das possíveis aplicações matemáticas relacionadas com estes segmentos de Patrício, contudo, reconhece, ainda há muitos avanços cuja descoberta será reconhecidamente compensadora. Por exemplo, uma interrogação pessoal: que aconteceria se considerássemos a rotação do triângulo das diferenças de Patrício e, em vez de partir da linha ordenada das potências com base natural a convergir para o respectivo factorial dos expoentes, pois, o fizéssemos a partir de qualquer uma das restantes duas linhas deste triângulo; efectivamente, deste modo o vértice de convergência, no lado oposto, seria obrigatoriamente outro número que não o factorial?
Avanço na originalidade criativa de Patrício Leite
Pergunta: Qual a origem da designação: segmentos ou fragmentos de Patrício?
Resposta: Considerando que a origem, descoberta ou criação deste padrão de repetição e respectivos correlatos matemáticos foi efectuada por Patrício Leite, pois, torna-se legítimo atribuir-lhe a designação do seu criador; por outro lado, considerando que numa sucessão de potências de números naturais, sempre com o mesmo expoente mas com a base crescente, filiforme e ordenada até ao infinito, pois os padrões de repetição surgem de forma linearmente segmentar ou triangularmente por fragmentos, tornam-se legitimas as respectivas designações. Pode agora descrever-se mais um avanço criativo. Efectivamente, tanto o padrão de repetição por segmentos lineares ou filiformes quanto os respectivos fragmentos triangulares comportam um aspecto de continuidade e outro de descontinuidade: por analogia, imagine-se uma escada, pois, entre cada degrau há uma descontinuidade mas essa descontinuidade torna-se contínua na continuidade da escada; comparativamente, na discreta descontinuidade matemática da escala ordenada pelos números naturais, existe uma continuidade diferencial na sequência ordenada de cada um dos números naturais; ou seja, se pela analogia comparativa considerarmos cada número como um patamar ou degrau da escada, pois, a distância entre cada um destes degraus constitui a respectiva continuidade; efectivamente a diferença ou distância entre dois números naturais constitui uma continuidade que avança para os números racionais, reais, complexos ou quaisquer outros; neste sentido o início de cada segmento ou fragmento de Patrício não tem necessariamente de coincidir com um número natural mas pode ser qualquer fração racional, raiz real ou imaginária e desde que a sequência de diferenças corresponda ao valor um, como número natural, pois, o resultado da série de sequências de diferenças será sempre, por convergência, o factorial do respectivo expoente. Foi a partir do pensamento no trabalho de Pochhammer, com factoriais decrescentes e crescentes que surgiu, em Patrício Leite, a analogia metafórica comparativa entre a sua matemática patricista e uma escada cujos degraus ou patamares correspondem a números discretos ou descontínuos e, por outro lado, o espaço ou distância entre cada degrau da escada corresponde a um espaço ou diferença contínua entre os números discretos; esta analogia comparativa permitiu avanços muito significativos na originalidade criativa de Patrício Leite para um ensaio artístico cognitivo cuja arte racional iniciou com a seguinte interrogação: Que acontecerá e que modificações ocorrerão na fórmula de Patrício Leite n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n se não for apenas utilizada a escala dos números naturais, cuja diferença entre dois números sucessivos é igual ao valor um, mas sim, se for utilizada uma escala cujas diferenças sejam de dois-em-dois, de três-em-três, de quatro-em-quatro etc.? Vejamos, pois, como Patrício Leite desenvolveu este belo raciocínio criativo que vai agora ser revelado pela primeira vez!
RACIOCÍNIO DE ORIGINALIDADE CRIATIVA
Inicia-se agora, a exposição do último raciocínio de originalidade criativa; efectivamente, este raciocínio foi cognitivamente concebido e desenvolvido desde o princípio do mês de setembro de 2024 e tem como fundamento do pensamento, a concepção e imaginação de um triângulo das diferenças aritméticas de Patrício cujas bases das potências constituintes não diferem, sucessivamente, apenas de um valor unitário mas sim de dois valores unitários, de três valores unitários, etc. portanto, numa indexação comparativa das diferenças entre os números naturais sucessivos e diferenças entre os números sucessivos que são utilizados nas bases das potências constituintes do respectivo triângulo das diferenças aritméticas de Patrício assim:
DIFERENÇAS COM AUMENTO DA DISTÂNCIA ENTRE OS DEGRAUS, OU MELHOR, ENTRE OS NÚMEROS DA ESCALA
Potências de
expoente 2 com diferenças entre as bases
de dois em dois
92 – 72 – 52
- 32 - 12
81 – 49 – 25
– 9 – 1
32 – 24 – 16
– 8
8 – 8 – 8
Fórmula
geral = 2! X 22 = 8
Por definição, cada potência é constituída por uma base e um expoente; por conseguinte, constata-se que todos os expoentes das potências acima têm valor dois mas as respectivas bases dessas potências, acima exemplificadas, distam ou diferem entre si dois valores unitários expressos em unidades indexadas aos números naturais: 9 – 7 – 5 – 3 – 1 são as bases das potencias com uma ordem e disposição decrescente de tal modo que: 9 – 7 = 2; 7 – 5 = 2; 5 – 3 = 2; 3 – 1 = 2. Portanto cada degrau da escada, ou seja, cada número da base da potência, dista do anterior dois valores expressos em números naturais; por outro lado, o valor do expoente mantém-se. Agora, seguindo um algoritmo pelo qual se efectuam cálculos com sucessivas sucessões de diferenças sucessivas até encontrar o último valor antes da convergência para o valor zero, pois, surge um resultado que se pode traduzir por uma fórmula geral que, na situação acima exemplificada, com bases a distar entre si dois valores e expoentes sempre com o valor dois, pode ser assim escrita: Fórmula geral = 2! X 22 = 8
Outro exemplo:
Potências de
expoente 2 com diferenças entre as bases
de três em três
132
– 102 – 72 – 42 – 12
169 – 100 –
49 – 16 – 1
69 – 51 – 33
– 15
18 – 18 – 18
Fórmula
geral = 2! X 32 = 18
Neste exemplo mantém-se o expoente das potências sempre com valor dois mas, agora, as bases dessas potências distam ou diferem entre si três valores unitários expressos em unidades indexadas aos números naturais. Agora, ao efectuar o algoritmo dos cálculos sucessivos de sucessões de diferenças sucessivas, pois, o último valor antes da convergência para o valor zero é traduzido pela Fórmula geral = 2! X 32 = 18. Comparando a distância de três valores entre as bases das potências com a anterior distância de dois valores, pois, torna-se bem patente que na fórmula geral se constata a variação do resultado num acompanhamento proporcional ao da variação da distância entre as bases das potências.
Mais um exemplo para consolidar o raciocínio e compreensão dos dois exemplos anteriores.
Potências de
expoente 2 com diferenças entre as bases
de quatro em quatro
172
- 132 - 92 - 52 - 12
289 – 169 –
81 – 25 – 1
120 – 88 –
56 – 24
32 – 32 - 32
Fórmula
geral = 2! X 42 = 32
Também este exemplo segue com o mesmo algoritmo dos anteriores; os expoentes continuam com valor igual a dois, porém, agora, com as bases distam entre si quatro valores unitários expressos em unidades indexadas aos números naturais. A Fórmula geral = 2! X 42 = 32 permite, em comparação com as suas congéneres anteriores, verificar que conforme, na resolução do algoritmo, a variação da distância entre as bases aumenta, pois, também, aumenta o valor da base da potência que se encontra na fórmula geral. Com mais este exemplo, pois, o raciocínio cognitivo vai sendo preparado e conduzido para uma generalização algébrica mais lata e mais abrangente.
Seguindo sempre o mesmo algoritmo, pois, vêm agora dois novos tipos de exemplos, ou seja, o expoente aumenta para o valor três, porém, a variação das bases apenas assume valores iguais aos que já tinham sido usados nos exemplos anteriores. Assim, preparam-se as estruturas cognitivas racionais para uma formulação algébrica mais generalizada.
Potências de
expoente 3 com diferenças entre as bases
de dois em dois
113
- 93 - 73 – 53 – 33 – 13
1331 - 729 -
343 – 125 – 27 – 1
602 - 386 -
218 – 98 – 26
216 - 168 -
120 – 72
48 - 48 – 48
Fórmula
geral = 3! X 23 = 48
Neste exemplo constata-se que seguindo a, já anteriormente descrita, construção algorítmica do triângulo das diferenças aritméticas de Patrício, pois, as bases das potências variam de dois-em-dois valores, porém, o expoente mantém sempre a constância do valor três; por conseguinte, a respectiva Fórmula geral = 3! X 23 = 48 pode, agora, ser comparada com a sua congénere que foi deduzida num dos exemplos anteriores: Fórmula geral = 2! X 22 = 8. Esta comparação permite iniciar a ideia generalizante de que mantendo-se sempre constante o valor das bases das potências, aqui igual ao valor dois, pois, a variação dos valores dos expoentes: primeiro o valor dois e depois o valor três, faz-se sentir de igual modo, tanto na etapa da construção algorítmica como na respectiva fórmula geral.
Finalmente, o próximo exemplo, seguindo a evolução do exemplo anterior, também se realiza com o expoente sempre constante e de valor igual a três mas, por outro lado, as bases variam agora de três em três valores.
Potências de
expoente 3 com diferenças entre as bases
de três em três
163
- 133 - 103 – 73 – 43 – 13
4096 - 2197
– 1000 – 343 – 64 - 1
1899 – 1197
– 657 – 279 – 63
702 – 540 –
378 – 216
162 – 162 –
162
Fórmula
geral = 3! X 33 = 162
Com este exemplo atinge-se uma Fórmula geral = 3! X 33 = 162 que pode ser comparada com a sua congénere resultante do exemplo anterior: Fórmula geral = 3! X 23 = 48 no entanto acentua-se que o valor expoente se mantém mas o valor da base é variado.
A comparação de todos os exemplos acima expostos conduz o raciocínio para a constatação de um padrão de regularidade entre a variação das bases, a variação dos expoentes e, em conclusão, a variação dos resultados obtidos.
Análise e comparação das várias fórmulas gerais
Segue a transcrição das fórmulas gerais correspondentes aos exemplos acima citados:
Fórmula geral = 2! X 22 = 8
Fórmula geral = 2! X 32 = 18
Fórmula geral = 2! X 42 = 32
Fórmula geral = 3! X 23 = 48
Fórmula geral = 3! X 33 = 162
Este agrupamento de fórmulas permite uma visualização alargada sobre os vários padrões de repetição que se encontram quando, nas potências, entre todas as possibilidades de combinar variações, pois, apenas se escolhem três: variação sucessiva das bases, variação sucessiva dos expoentes ou, então, variação sucessiva das bases e dos expoentes. A análise comparativa das várias fórmulas numéricas aqui expostas permite uma generalização algébrica dos padrões de repetição que se pode traduzir por uma potência assim: dn; sendo que a letra d corresponde à distância ou diferença entre as bases de dois números potenciais seguidos e a letra n corresponde aos respectivos exponenciais.
Generalização para a fórmula de Patrício
Considerando que se verificam padrões de repetição já antes encontrados e descritos nos triângulos das diferenças aritméticas de Patrício; considerando que no primeiro triângulo das diferenças aritméticas que Patrício Leite tinha concebido e descrito, há já muito tempo, pois, a diferença entre os valores numéricos das bases das potências, apenas, tinha indexação com a diferença encontrada entre os números naturais sucessivos; porém, aqui e agora, por inovação criativa, foram efectuados triângulos das diferenças aritméticas com diferentes distâncias entre as bases das respectivas potências; finalmente, considerando que sempre e em qualquer dos ensaios, sempre, foi experimentada a variação dos expoentes, mais, essa variação sempre teve correlação com as linhas do triângulo de Pascal mas também do respectivo factorial; pois, por analogia comparativa, apenas foi necessário acrescentar alguns raciocínios para introduzir estes novos padrões de repetição na fórmula de Patrício: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n.
A contingência do resultado foi surgindo gradualmente: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n; obviamente, d - distância ou diferença entre as bases de dois números potenciais seguidos. Esta mesma formulação poderia, simplesmente, ser obtida pelo princípio de equivalência entre equações segundo o qual a multiplicação de um número por ambos os membros de uma equação tem como resultado uma equação equivalente; no entanto, esse avanço com base nos princípios de equivalência entre igualdades nunca iria permitir uma compreensão abrangente, uma filosofia dos números que confronta a descontinuidade numérica da matemática discreta com a continuidade funcional dos números reais.
Evolução da função de Patrício Leite
No sentido deste raciocínio de originalidade criativa, aqui exposto, podem-se considerar quatro etapas, a saber:
Primeira etapa: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n;
Segunda etapa: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n;
Terceira etapa: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)k(nd+zd-kd)n;
Quarta etapa: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)k(p-kd)n;
Pela análise da função definida nesta terceira etapa: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)k(nd+zd-kd)n; pode-se verificar que nd e zd são constantes volitivas que podem ser escolhidas aleatoriamente no início do cálculo, sem alterar o resultado final; obviamente que z corresponde ao início do segmento de Patrício, d corresponde à distância entre cada termo constituinte do respectivo segmento de Patrício afectando, por isso, o tamanho do segmento; tamanho este que, apesar de não ter qualquer correspondência absoluta com a distância entre números naturais sucessivos, pois, pode a estes ser indexado.
Agora, considerando a constância de nd e zd, torna-se possível definir uma constante conjunta, assim: nd + zd = p. Considerando que esta constante conjunta (p) conduz o raciocínio para uma origem, magnitude, direcção e sentido; pois, vislumbra-se imediatamente a possibilidade da sua utilização, não apenas escalar mas, também, vectorial natural. Neste sentido, a fórmula resultante será: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)k(p-kd)n.
Filosofia dos números
Saber o que é um número não é uma tarefa fácil; efectivamente, o homem, desde os primórdios da abstração matemática, tentou definir claramente o conceito de número: foi o conceito dos números naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, etc.; com o evoluir dos tempos e da complexidade matemática surgiu, como disciplina, a teoria dos números; sempre a tentar integrar o conceito de número num conjunto cada vez mais amplo. Se numa primeira fase cada número definia apenas um compartimento estanque, uma finitude numérica integrada numa matemática finita ou discreta, pois, com evoluir conceptual foi-se acrescentando a continuidade numérica funcional e ampliado o conceito infinito de número no vasto conjunto dos números reais; no entanto, pela permanência da descontinuidade numérica, tornou-se necessário uma maior amplitude conceptual, tornou-se necessário integrar o imaginário, integrar a imaginação criativa, na crescente complexidade numérica; outras lacunas, outros problemas surgiram: a criatividade humana não tem fim. Os números e as operações matemáticas sempre caminharam juntos, sempre manifestaram uma indissociabilidade permanente; primeiro foi a operação de adição como essência fundamental para a sucessão dos números naturais; depois, a subtração veio fundamentar a essência dos inteiros; seguidamente a divisão fundamentou os racionais e a multiplicação os reais; os complexos necessitaram de duas operações: multiplicação e adição.
Toda a ciência em geral e, sobretudo, a matemática em particular, dependem da actividade cognitiva racional para se manifestarem como corpo de conhecimento, por conseguinte, de acordo com o método da redução eidética fenomenológica: o juízo surge como uma relação entre conceitos, o raciocínio como uma relação entre juízos e a razão como uma relação entre raciocínios; finalmente a razão é, etimologicamente, um rácio, uma fração ou quociente entre numerador e denominador. Se a racionalidade da razão humana é um rácio, uma fração ou quociente, pois, é na operação divisão, ou melhor, na razão, como fração ou quociente, que se fundamentam os números racionais mas, também, é pela multiplicação que se atingem as potências; as potências com base inteira e expoente faccionário podem representar muitos números mas são as potências com base fracionária e expoente fracionário que, na plenitude da razão, em matemática, indiciam a solução representativa quantitativa para todos os problemas, levantados pelo conceito de número; obviamente, até ao momento presente, são imensos os problemas correlatos: o desenvolvimento da estatística veio, desde logo, levantar o problema das escalas de medida como instrumento quantitativo. A classificação das escalas de medida em nominais, ordinais, intervalares e de razão procurou contemplar a evolução dos problemas e respectivas soluções ao longo do tempo e da evolução dos conhecimentos matemáticos: por exemplo, com as escalas ordinais tentou-se, filosoficamente, colmatar o problema da ordinalidade dos números, mas faltava resolver o problema quantitativo da cardinalidade; com as escalas intervalares resolvem-se alguns problemas quantitativos relacionados com a adição e subtração mas falha na multiplicação e divisão o que impossibilita comparações entre razões ou proporções; com as escalas de razão e a admissão de um valor zero absoluto resolvem-se todos os problemas anteriores mas a curiosidade criativa humana levanta novos problemas.
Qual é a distância entre os números?
Uma análise muito superficial pode concluir que, com as escalas de medida intervalares e, obviamente, as de razão, se resolve o problema da distância entre os números já que, efectivamente, se pode considerar a igualdade dos intervalos, pela qual a diferença entre dois intervalos ou valores consecutivos é sempre a mesma; porém, reflectindo profundamente, encontra-se um problema maior. A matemática descritiva profunda nem sempre encontra na operação de subtração a solução para o problema da diferença ou distância; efectivamente, a reflexão filosófica conduz ao dilema da dualidade fundamental entre igualdade homogénea e contínua versus descontinuidade heterogénea e diferente. É sabido que todos os problemas quantitativos da matemática assentam nos números naturais como fundamento absoluto; é também sabido que os números naturais assentam numa progressão aritmética de razão unitária; por circularidade racional conclui-se que a subtração entre termos consecutivos origina a razão unitária desta progressão aritmética e a subtração entre as razões origina o zero absoluto. Vêm agora, problemas da matemática filosófica: que aconteceria se entre cada número natural existissem várias diferenças unitárias? Efectivamente, uma simples reflexão mostra que entre dois números naturais sucessivos não existe apenas uma diferença quantitativamente comparativa já que cada um é sempre maior que o seu antecessor e menor que o seu sucessor, porquanto, estas várias diferenças ordinais são sempre diferentes entre si; são muitas as outras características distintivas qualitativas, porém, nos termos quantitativos da cardinalidade, intuitivamente, assumiu-se que a unidade numérica dos números naturais era única e a sucessão progressiva destes números resultava de um raciocínio comparativo entre a quantidade de unidades unitárias anteriores e posteriores; no entanto a definição dos critérios desta unidade nunca foi conseguida. Mais, ainda que, por absurdo, se imponha a ideia de aceitar apenas uma diferença unitária entre cada dois números naturais sucessivos, pois, isso não significa que as diferenças unitárias entre mais de dois números sucessivos sejam sempre iguais ou, então, que o valor unitário considerado coincida com o valor unitário tido como natural e absoluto na progressão dos números naturais; efectivamente, o raciocínio acima exposto e conducente a esta fórmula: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n exemplifica uma situação em que existe apenas uma diferença entre dois números naturais sucessivos mas a distância, o espaço, entre esses números naturais sucessivos é diferente da unidade absoluta concebida para os números naturais; ou seja, apesar de existir apenas uma diferença entre números naturais sucessivos, é preciso quantificar o tamanho dessa diferença. Cumpre, agora, esclarecer a racionalidade filosófica deste pensamento. A filosofia do fundamento conceptual de número está na heterogeneidade; efectivamente, num campo homogéneo, tudo é igual, não existem números: numa igualdade totalitária, conceber uma diferença conceptual é um completo absurdo que, por simultaneamente afirmar e negar o que afirma, constitui um paradoxo linguístico da lógica bivalente. Por analogia comparativa com o dualismo cognitivo do signo linguístico em significante e significado pois, também, em questões numéricas, se podem definir o significante como o algarismo, ou representação visual, do número e o significado como a distancia entre os conceitos mentais evocados pelo significante. Por conseguinte, se os algarismos como significantes são diferentes pois, também, as distancias entre eles, como conceitos mentais significados, terão de ser diferentes. O conjunto formado pela totalidade dos diferentes números e a totalidade das diferentes distâncias entre esses números constitui o objectivo cognitivo desta reflexão. Mais, os números podem ser organizados numa base numérica padrão; como, por exemplo, ocorre no sistema decimal de base dez; pois, também as respectivas diferenças de distâncias entre os números, se podem organizar numa, qualquer, base padrão voluntariamente escolhida.
A numeração natural considera que entre dois números naturais sucessivos existe apenas uma diferença e que o valor dessa diferença é unitário. Assim, dois números, para serem dois e não, apenas um, têm de possuir entre eles, pelo menos, uma diferença; como acima descrito, entre dois números existem muitas e imensas diferenças porém, a condição sine qua non é a existência de, pelo menos, uma diferença. Agora, considerando que entre dois números sucessivos, existe apenas uma diferença, pois, o valor dessa diferença pode ser constante, isto é, sempre igual a si própria; ou pelo contrário, sempre diferente de si própria; pode também assumir muitos e imensos padrões de repetição com uma regularidade diferencial imediatamente constante ou então uma regularidade variável mas que, em algum ponto da sua existência diferencial, tende para uma convergência constante. A constância não admite diferenças e, por isso, a diferença entre constantes é nula, é igual a zero. Nos primeiros triângulos das diferenças aritméticas de Patrício, foi considerada a distância constantemente unitária dos números naturais, em consequência dessa consideração, foi alcançada a fórmula de Patrício Leite n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n porém, continuando a considerar-se distâncias constantes entre números seguidos, mas agora diferentes do valor unitário um, pois, obteve-se por generalização a fórmula: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n; obviamente que dn se coloca em ambos os lados da igualdade, por conseguinte, qualquer que seja o valor assumido por dn, enquanto variável que varia, pois, desde que essa variação tenha uma existência diferencial tendente para uma convergência constante, a igualdade mantém-se.
Padrão de variação da distância entre os números
Se na fórmula: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n; for considerada a sucessão de números naturais com a distância entre cada número sempre constante e igual a um, portanto d = 1, pois o resultado é a fórmula inicial de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n porém, anote-se, a distancia entre cada número pode, continuando sempre constante, ser igual a dois, d = 2; ou então igual a três, d = 3; etc, … torna-se imediatamente compreensível que nestas situações, considerando a constância da distância entre cada dois números sucessivos, pois, a diferença de distâncias é igual a zero. Finalmente, considerando que a distância entre cada número é sempre diferente, no entanto, esta diferença segue um padrão de repetição na sua variação, assim: d = Sn = 1 + 2+ 3 + 4+ 5 + 6 + … + n; pois, este padrão de variação da distância entre os números tem a sua tradução na fórmula: n!(Sn)n = Σnk=0(nk)(-1)k(Sn)n(n+z-k)n contudo, também aqui, a igualdade mantém-se. A partir daqui, considerando que o valor de z condiciona o início dos segmentos ou fragmentos de Patrício, pois, podemos deduzir a sua importância para a valoração das distâncias entre números sucessivos; porquanto, o tamanho, a distância ou espaço entre números naturais sucessivos tem a sua quantificação em relação com o valor de z, por conseguinte, os critérios da definição de unidade dos números naturais deixam de conceber essa unidade como absoluta mas sim relativa: entre dois números naturais sucessivos existe apenas uma diferença obtida pela operação de subtração, no entanto, compreende-se agora que as dimensões, espaço, distância ou tamanho dessa diferença tem em conta o valor do referencial z. Reflectindo, a permutação factorial de qualquer quantidade de objectos diferentes retorna a quantidade total de sequências; qualquer uma destas sequências, em relação com o valor z, tem um princípio, um fim e ocupa uma ordem posicional; sendo certo que qualquer uma destas sequências poderia ser escolhida como fundamento absoluto para os dados quantitativos da matemática, também é certo que a escolhida, pela humanidade, foi a sequência dos números naturais; os números naturais são diferentes, pelo que dois números naturais sucessivos têm, pelo menos, uma diferença entre si; salienta-se, contudo, que as dimensões ou tamanho desta diferença, melhor, a distância entre dois números naturais sucessivos não tem qualquer interferência na quantidade permutacional final de sequências mas sim na regularidade da amplitude das oscilações que permitem atingir essa quantidade permutacional final. A analogia comparativa com uma escada e respectivos degraus permite modelar as estruturas cognitivas para o entendimento deste problema matemático filosófico: por um lado assumindo, comparativamente, a existência de diferentes distâncias entre degraus sucessivos, por outro, as diferenças do tamanho ou dimensões de cada degrau sucessivo ao longo da escada.
Síntese conclusiva
Este ensaio começou no início de fevereiro deste ano de 2024. A sua finalidade, por semelhança com o ensaio anterior: recorrência da ordem, aqui publicado em 13 de outubro de 2023, consistiu na constante tentativa de interligar os padrões matemáticos descobertos por Patrício Leite com os antecedentes históricos e o desenvolvimento científico da matemática. Por simples prazer lúdico, foi efectuada e introduzida alguma racionalidade de originalidade criativa; foram centenas de horas dominadas pelo prazer da criação conceptual; foi mais uma obra do pensamento e do intelecto; foi a arte de pensar o pensamento como arte.
Doutor Patrício Leite
19 de Novembro de 2024
Ficheiro para download: Qual é a distância entre os números?
