Teoria dos números produtoriais

Sumário
Após uma breve introdução que explica a necessidade de desenvolvimento cognitivo para o avanço do conhecimento, é abordado o conceito de número reconhecendo-se que a existência dos números reais comporta um problemático paradoxo; aceita-se que a cada conjunto numérico se associam diferentes expressões algébricas e criticam-se os números complexos em defesa dos potenciais; com os números potenciais a compreensão das expressões algébricas evolui mas é através dos factoriais, ou melhor, dos números produtoriais que todos os conjuntos numéricos são mais completamente entendidos; é efectuado um pequeno desenvolvimento inicial da teoria dos números produtoriais com a sua aplicação ao estudo analítico de novas funções assim como ao novo cálculo integral e diferencial em comparação como cálculo tradicional; finalmente é referida alguma aplicabilidade prática da teoria dos números produtoriais assim como uma reflexão filosófica que os implica no avanço do conhecimento epistemológico.

Introdução
A imaginação e criação de ideias e conceitos têm, sempre, precedentes cognitivos e de memória capazes de permitir o seu avanço e desenvolvimento; foi esta a situação actual, cuja relação com a função de Patrício conduziu para uma interacção entre somas e subtracções mas, também, multiplicações sucessivas com potências, ou exponenciais.
O facto de os números potenciais implicar a multiplicação sucessiva das respectivas bases; o facto de os factoriais também configurarem uma multiplicação repetitiva e, finalmente, o facto de a função de Patrício relacionar somas com números potenciais e factoriais, libertou a criatividade para uma teoria dos números, bem mais abrangente do que as actuais e capaz de estabelecer novas categorias e conjuntos numéricos fundamentados em pura coerência lógica, sem quaisquer acrescentos de números por homenagem a matemáticos famosos ou problemas da antiguidade mas, tão-somente, louvando a razão humana numa nova categorização numérica.        

Evolução do conceito de número
A natureza quantitativa do conceito de número terá, provavelmente, relação com as actividades humanas nos primórdios da sua existência gregária. A sedentarização humana e a pastorícia foram, talvez, os maiores contributos para as contagens que permitiram a eclosão dos números, actualmente, designados naturais. Se, por um lado, a contagem dos animais permitiu o aparecimento dos números naturais pois, por outro, o aumento ou diminuição do número, ou quantidade, desses animais permitiu o aparecimento dos números inteiros. Assim, aos números naturais, com a simples contagem dos animais associa-se sempre uma operação aritmética, ou seja, a adição, por outro lado, ao movimento dos animais com o seu aumento ou diminuição, já se associam duas operações aritméticas, os seja, a adição e a subtracção na constituição dos números inteiros que, por simetria, podem ser negativos ou positivos.
As relações entre os números continuaram pelo que a divisão surge como uma nova operação aritmética. Constatou-se que da divisão não resultavam sempre números inteiros mas, em algumas situações surgiam problemas como as dizimas infinitas periódicas; tornou-se assim necessário um novo conjunto de números constituído por todos os números e operações aritméticas anteriores mais os quocientes, ou fracções, cuja divisão não tinha por resultado um número inteiro; este novo conjunto numérico foi designado de racional. A divisão e a multiplicação são duas operações aritméticas que, para validamente se expressarem, necessitam da continuidade infinitesimal, por outro lado, algumas dízimas infinitas não periódicas e outros números, designados irracionais, de natureza algébrica ou transcendental, vieram a constituir, conjuntamente com os números racionais, o corpo dos números reais.
A operação aritmética da multiplicação, associada com a impossibilidade de calcular a raiz quadrada de números negativos, conduziu o ser humano para a necessidade engenhosa de imaginar a raiz quadrada de menos um, como unidade imaginária para um vasto corpo numérico designado por números complexos.

Problemática paradoxal dos números reais
Sabe-se que conforme, no conceito de número, se caminha para um grupo, cada vez mais alargado, ou mais lato, se vai incluindo sempre os anteriores conjuntos dos números; assim por exemplo, no caso dos racionais pois todos os inteiros podem ser traduzidos por uma fracção; por outro lado, os números reais constituem um grupo de características heterogéneas já que, além dos racionais, envolvem também números irracionais que não podem ser escritos sobre a forma de fracção mas, por vezes, em homenagem a determinadas personalidades, são incluídos números que dizem ser o resultado de expressões algébricas matematicamente trabalhadas, ora isto vem perturbar o desenvolvimento coerente da teoria dos números mais parecendo que a actual teoria procura uma racionalização, arranjando razão para ter razão, desconsiderando a lógica do pensamento racional que lhe deveria proporcionar consistência; torna-se pois necessária, uma nova categorização, no agrupamento dos conjuntos numéricos; até porque há problemas e interrogações que se colocam aos números reais que, por configurarem resultados paradoxais, dificultam a aceitação das soluções encontradas.
Vejamos:
Diz-se que os números reais aceitam o infinito e a continuidade porém sabe-se que tanto os racionais como os irracionais, ainda que estes últimos sejam de natureza algébrica ou transcendental, pois todos aceitam sempre a ordem; mas a ordem é, pela sua natureza fundamental, finita e descontínua; face a este paradoxo surge a seguinte interrogação: - Como é possível que de uma ordem finita e descontínua possam surgir números contínuos e infinitos? Colocando a pergunta de outra maneira: - Será possível a existência de números reais, que nem sejam racionais nem irracionais, nem tenham qualquer ordem que os fundamente, e façam a ponte de continuidade infinita entre os vários números racionais e irracionais?
Exemplificando:
Sabe-se que; raiz quadrada de 2 = 1,414213562373…; se agora somar 1 fica = 2,414213562373…; se agora somar 7/3 fica = 4,747546895706…; portanto, qualquer número real, ainda que irracional, ainda que dízima infinita, periódica ou não periódica, tem sempre uma expressão matemática, de natureza polinomial, ou então transcendental, que o origina, que o fundamenta, que lhe dá a origem fundamentada numa ordem, mas essa ordem é, por natureza, finita e descontínua; então pergunto: - Como é possível que os números reais sejam contínuos e infinitos? Reformulando a pergunta: – Será que existem números reais, como por exemplo, dizimas infinitas periódicas, ou não periódicas, que não tenham por fundamento uma expressão matemática fundamentada numa ordem, naturalmente, finita e descontínua?
Resolver este paradoxo é caminhar para uma nova categorização dos números; uma categorização mais lógica e mais coerente com o pensamento, raciocínio e razão humanas.

Associação entre expressões algébricas e números
Partindo dos números naturais, até aos complexos, cada novo conjunto não apenas inclui e ultrapassa todos os anteriores como também, fenómeno semelhante, ocorre com as respectivas operações aritméticas que lhe estão associadas. Assim, com os números naturais podem ser criadas e desenvolvidas expressões algébricas que apenas contemplam a operação adição, com os inteiros já é contemplada a adição e a subtracção, com os racionais passa a ser também contemplada a divisão e finalmente com os reais assumem-se as quatro operações básicas, ou elementares, da aritmética. As expressões algébricas serão tão complicadas e completas quanto o conjunto dos números e operações aritméticas que lhes deram origem e entram na sua constituição. Os números complexos, de acordo com o respectivo modelo explicativo actual, são constituídos, todos e cada um, por expressões polinomiais; portanto, cada uma das expressões, próprias de cada número complexo envolve, no mínimo e em simultâneo, duas operações aritméticas sendo que, nos termos da ardilosa teoria actual dos números complexos, todas as expressões matemáticas poderão ser construídas a partir deste corpo numérico. Na verdade o corpo dos números complexos não existe, trata-se apenas de um ardil, como qualquer outro que o ser humano, dotado de razão, poderia criar, porém, substituir um número por um polinómio, ainda que sendo uma actividade imaginativa e criativa, não faz qualquer falta para a realização de cálculos ou outras operações matemáticas, nem sequer para a teoria dos números, é por isso que se critica a teoria dos números complexos apresentando, como resultado substitutivo, a proposta dos números potenciais.

Crítica aos números complexos
Os números complexos, na tentativa de calcular a raiz quadrada de números negativos, ao assumirem ardilosamente a unidade imaginária “i”, aceitando como resultado que i2 = -1, estão implicitamente a cometer das maiores atrocidades irracionais contra as regras de potenciação; de facto, é consensual que na multiplicação de duas potências com base igual, pois, dá-se a mesma base e somam-se os expoentes; por outro lado se o expoente é igual, pois, mantém-se o expoente e efectua-se a multiplicação das bases; mas também se sabe que na potência de uma potência mantém-se a base e se multiplicam os expoentes; finalmente, reconhece-se que quando o expoente de uma potencia é uma fracção pois resulta uma raiz cujo índice é o denominador dessa fracção com a base elevada ao respectivo numerador.
Trabalhando agora com as regras da potenciação, surge um paradoxo relacionado com as raízes quadradas de números negativos, assim, vem:
Considerando x2 + 1 = 0 resulta x2 = - 1 portanto x = (- 1)1/2
Obviamente que a designada unidade imaginária não faz qualquer falta, nem se justifica, já que a raiz quadrada de (- 1) = (- 1)1/2; por outro lado, tendo em atenção as regras da potenciação, surge o seguinte paradoxo:
(- 1)1/2 * (- 1)1/2 = (- 1)1/2+1/2 = (- 1)1 = - 1 ou seja, dá-se a mesma base e somam-se os expoentes;
por outro lado (- 1)1/2 * (- 1)1/2 = [(- 1) * (- 1)]1/2 = (1)1/2 ou seja, mantém-se o expoente e efectua-se a multiplicação das bases; mas também se sabe que, pela regra da potência de uma potência (- 1)1/2 * (- 1)1/2 = [(- 1)1/2]2 = (- 1)2/2 = - 1 em conclusão; conforme a regra de potenciação que se utiliza assim o resultado alcançado; curiosamente, os defensores dos números complexos e da unidade imaginária, apenas aceitam, como válida, uma destas formas de resolver a expressão matemática, facto este que configura uma atroz irracionalidade. Em qualquer das situações parece que aceitar a raiz quadrada de (- 1) = (- 1)1/2 permite efectuar todos os cálculos associados com a unidade imaginária e ainda avançar no desenvolvimento da teoria dos números com uma nova categoria numérica designada por números potenciais.                   

Os números potenciais
Conforme já antes acontecia com os números racionais, também agora, com a potenciação, e os respectivos números, é possível efectuar todos os cálculos já anteriormente descritos para os outros conjuntos numéricos e, efectivamente, acrescentar novos cálculos e novas operações matemáticas. A finalidade máxima, agora alcançada, da potenciação, consiste nos números potenciais com base e expoente racionais; de facto, esta estrutura numérica com base e expoente racional ou constituídos por fracções, permite exprimir todos os números, inclusivamente os imaginários já que a unidade imaginária apenas consiste em: i = raiz quadrada de (- 1) = (- 1)1/2. Ao nível da conversão entre os números complexos conforme anteriormente definidos e os números potenciais, agora determinados, os cálculos a efectuar tornam-se muito facilitados, por exemplo:
Consideremos, ao acaso, o seguinte número complexo:
 z = 1 + 2i vem:
 z = 1 + 2(-1)1/2 efectuando os cálculos,
 z = 1 + 41/2 * (-1)1/2 = 1 + [4 * (-1)]1/2 = 1 + (-4)1/2 com isto torna-se possível realizar cálculos matemáticos com toda e qualquer expressão numérica de natureza polinomial ou qualquer outra, sem ultrapassar a racionalidade da razão humana.
A estrutura numérica potencial pode ser escrita por uma forma geral assim: z = (n/m)p/q agora, quando m = 1 resulta como base um número natural, ou inteiro, elevado a um expoente racional; se entretanto também q = 1, pois então o resultado é um número cuja base é natural, ou inteira, elevada a um expoente também natural, ou inteiro; obviamente que, em qualquer número potencial, tanto a base como o expoente podem ser fraccionários, ou inteiros, positivos ou negativos e os cálculos efectuados apenas precisam de seguir as regras do cálculo matemático já previamente estabelecidas.     
A forma geral para a escrita de um número potencial, assim: z = (n/m)p/q permite representar qualquer número, desde os naturais até aos complexos, e efectuar, sem qualquer dificuldade, os respectivos cálculos matemáticos. O trabalho com números complexos pode, agora, ser facilitado pelo uso dos números potenciais, porém, o conjunto dos números potenciais não é tudo, já que é, apenas e tão-somente, um degrau, na ascensão, para outros conjuntos numéricos mais completos e avançados na teoria dos números.  

Números potenciais, funções polinomiais e funções exponenciais
Qualquer número potencial é constituído por uma base e um expoente; obviamente tanto a base como o expoente podem pertencer a qualquer conjunto numérico, desde os naturais até aos racionais; é agora que a partir da análise de funções se conclui que quando a base é variável e o expoente constante, pois trata-se de uma função polinomial; por outro lado, quando a base é constante e o expoente variável, pois trata-se de uma função exponencial; quando tanto a base como o expoente, são ambos variáveis pois trata-se de funções mistas, com natureza simultaneamente polinomial e exponencial.
A noção conceptual de que, qualquer número é um número potencial, portanto com uma base e um expoente e, por outro lado, num número potencial, tanto a base como o expoente podem ser variáveis, permite a evolução do pensamento e raciocínio para estruturas numéricas cada vez mais complicadas e completas.     

Factoriais e produtórios
Um factorial é, basicamente, um número potencial cujo expoente é constantemente igual a um e cuja base é variável, dentro de determinadas regras. Como é do conhecimento geral, os números inteiros podem ser positivos ou negativos, essa propriedade significa que, por inerência, os números inteiros têm associada uma operação matemática de adição ou subtracção; esta operação acompanha o desenvolvimento da teoria ao longo dos novos conjuntos numéricos que se vão acrescentando; os factoriais têm associada, por inerência, a operação matemática de multiplicação mas, os factoriais constituem apenas conceitos mais alargados de números potenciais pelo que também podem ser considerados como números, no entanto, os números factoriais são apenas casos particulares de entidades numéricas ainda mais latas e mais abrangentes, ou seja, os produtórios. Todos os números, assim como todas as expressões matemáticas, descritas até ao presente, são apenas casos particulares de produtórios, estes constituem, pois, o mais abrangente conjunto numérico conhecido, aqui descrito sinteticamente numa teoria designada por teoria dos números produtoriais.

Números produtoriais
Enquanto um número potencial é constituído por uma base e um expoente, ambos constantes e se considera que se algum destes parâmetros variar, pois se trata de funções, polinomiais ou exponenciais; já os números produtoriais, incluem todos os anteriores mas também a estrutura numérica com variação da base, do expoente, ou de ambos em simultâneo.
Na realidade, em termos da teoria dos números, a evolução do pensamento humano considerou, numa primeira etapa, apenas a operação matemática da soma depois, com os números inteiros, incluiu também a subtracção, posteriormente com os quocientes, fracções ou números racionais, foi também considerada a divisão e finalmente com os números potenciais completaram-se as quatro operações aritméticas básicas vindo juntar a multiplicação à teoria dos números. A evolução da racionalidade humana não foi progressivamente linear; de facto, numa primeira fase, apesar de os números potenciais já funcionarem conjuntamente com as quatro operações aritméticas básicas, a sua estrutura era rígida e estática; se com a variação do expoente, nos números potenciais, surgiram as designadas funções exponenciais, por outro lado, a variação das bases, em termos de soma e de subtracção, deu origem às designadas funções polinomiais, porém, com a variação das bases por multiplicação sucessiva surgiram os números factoriais que já permitiam algum dinamismo funcional, no entanto, é finalmente através dos produtórios de números potenciais cujas bases e expoentes são totalmente variáveis e constituídas por fracções, ou quocientes, que se completa o desenvolvimento pleno da teoria dos números.
Para a racionalidade do pensamento humano, apenas se admitem potências fraccionárias em que, para qualquer número, em concreto, tanto as bases como os expoentes são fracções, ou quocientes, como componentes estruturais dos números produtoriais, no entanto, a base numérica em que o produtório se exprime, é também muito importante, de facto, é substancialmente diferente um produtório escrito na base decimal de um outro escrito na base binária, hexadecimal ou outra; aqui a palavra base assume dois significados já que se aplica à base da potência considerada, para um número em concreto, mas também à base numérica na sua totalidade de trabalho; na realidade, as implicações para a realização e conclusão do cálculo matemático vão ter resultados substancialmente diferentes, conformando-se sempre à base numérica em que se trabalha com os números produtoriais.

Os números como produtórios
Conforme já foi reconhecidamente assumido neste ensaio, qualquer número actualmente aceite e definido como tal, natural, inteiro, racional, etc., se pode exprimir sobre a forma de um produtório. Uma das maneiras imaginadas e concebidas para representar um número por um produtório consiste em considerar a fórmula ni=n = ni de facto, esta fórmula permite imediatamente compreender que sendo n = qualquer número em concreto, natural, inteiro, racional, etc., pois, a sua expressão sobre a forma de um produtório, é imediata.
Poderia ser colocado o problema do número zero (0), de facto, qualquer número que multiplique por zero (0) tem como resultado zero (0), porém ao ser assumido como indexador precisamente o mesmo valor do número considerado, pois pensa-se que o problema resultante da multiplicação pelo número zero fica resolvido e, além do mais, através deste artifício, também o próprio número zero (0) pode, assim, ser incluído numa representação numérica como sendo a expressão de um produtório.
Outra maneira, utilizando imaginação criativa, poderia consistir em apenas representar os números naturais como produtórios; nesta situação pois os inteiros negativos teriam que ter colocado o sinal negativo precisamente antes do produtório representante do respectivo número, os números racionais consistiriam das respectivas fracções, ou quocientes, e proceder-se-ia analogamente para com todos os números que se desejasse representar sobre a forma de um produtório. Nestas questões, o importante não é tanto a forma gráfica que se assume para representar os números produtoriais, mais importante é o próprio conteúdo inerente à inteligência e razão humana assim como as possibilidades que os números produtoriais trazem para o avanço e evolução do cálculo e desenvolvimento da matemática.

Classificação dos produtórios
Fundamentalmente, considerando os números ou expressões algébricas, sempre de natureza potencial ou exponencial, pois, os produtórios podem ser classificados em três categorias:
- Produtórios de números, ou expressões potenciais, cuja base é constate e o expoente variável.
- Produtórios de números, ou expressões potenciais, cuja base é variável e o expoente constante.
- Produtórios de números, ou expressões potenciais, cuja base e expoente são, ambos, variáveis.
Cada uma destas situações poderia, agora, ser desenvolvida mais pormenorizadamente, através de algumas exemplificações.

Produtório de uma constante e função exponencial
Se é certo, e sabido, que os números factoriais funcionam apenas como casos especiais de produtórios, é também reconhecido que, através das respectivas propriedades, o produtório de uma constante é igual a essa constante elevada ao último elemento a ser multiplicado; ou seja: xi=1 a = ax, sendo a = constante; por conseguinte, se a constante considerada fosse o número Neperiano (e), pois, surgiria a função exponencial cuja base seria o número de Neper: xi=1 e = ex, naturalmente, que esta função tem sido muito estudada pela sua importância em várias ciências naturais e humanas mas também nas ciências aplicadas à tecnologia.        

A função logarítmica como inversa da exponencial no caso dos produtórios
Como se reconhece, a função logarítmica é inversa da função exponencial, assim, aplicando a inversão logarítmica ao caso concreto do produtório de uma constante vem: loge (xi=1 e) = x, encarar os produtórios como instrumentos, participantes activos, da análise funcional infinitesimal torna as conclusões, e os resultados alcançados, em elementos muito interessantes e estimulantes para a clareza e avanço do raciocínio humano.

Produtório de uma variável e função factorial
Se, agora, for considerado o caso concreto do produtório de um número potencial cuja base é variável com o expoente constante e, por outro lado, se o expoente, constante, for igual a 1 (um) vem: xi=1 i = x!, ou seja, o produtório da variável índice é, por excelência, a função factorial. A função factorial também tem a respectiva função inversa; ou seja, se o produtório consiste de uma série de produtos, ou multiplicações, pois, a respectiva função inversa terá de contemplar uma série de quocientes, ou divisões.

Produtório do produto de uma constante por uma variável índice e respectiva função
Continuando a considerar a interacção analógica conceitual entre os produtórios e a análise funcional infinitesimal vem o produtório do produto de uma constante(a) por uma variável índice, como mais um exemplo elucidativo, seja: xi=1 ai = ax.∏xi=1 i = ax.x!, ou seja, surge agora uma função que mais não é do que o produto de uma função exponencial por uma função factorial; também, nesta situação concreta, a função resultante terá uma função inversa e poderá ser estudada em termos da análise funcional infinitesimal.

Produtórios e funções
A aplicação da análise funcional, aos exemplos aqui descritos, permite avançar no raciocínio e estudo de mais uma, nova, categoria de funções; por conseguinte, tanto no caso concreto da constante, como da variável índice, como do produto da constante pela variável índice, sempre se tratou de funções; ou seja, a expressão analítica das respectivas funções foi:
   y = a (no caso, concreto, da constante com a = constante)
   y = x (no caso, concreto, da variável com x = variável índice)
   y = ax (no caso, concreto, do produto de uma constante por uma variável com a = constante sendo x = variável)
A forma geral de todas as funções cujos exemplos aqui foram referidos é diz respeito a uma função afim, assim: y = ax + b, claro que as designações das letras representantes (a, b, x, y), tomam, neste tipo geral de funções, os valores esperados para cada caso concreto.
Após a aplicação dos produtórios resultaram funções com as seguintes formas:
   y = ax (no caso, concreto, da constante com a = constante)
   y = x! (no caso, concreto, da variável com x = variável índice)
   y = ax.x! (no caso, concreto, do produto de uma constante por uma variável com a = constante sendo x = variável).
O produtório surge pois como uma aplicação, ou função, capaz de transformar uma categoria de funções numa outra categoria de funções; portanto, capaz de transformar um conjunto de partida, ou domínio, constituído por um tipo de funções, num conjunto de chegada, ou contra-domínio, de outro tipo de funções.

Primitivas, derivadas e produtórios
Em termos da análise infinitesimal tradicional de funções, sabe-se que a primitiva, ou melhor, a integral de uma função exprime o somatório do acrescento infinitesimal a essa função, por conseguinte, estes acrescentos infinitesimais relacionam-se com a integração, ou primitivação, e pode-se generalizar o conceito, ou raciocínio, afirmando que a primitivação, assim como a derivação de funções, em termos tradicionais, têm relação recíproca com os somatórios. Na realidade a soma e a subtracção são apenas aspectos de uma mesma operação matemática tipificada numa forma de simetria comum e podem ser expressas por um somatório. Por outro lado a multiplicação e a divisão, ou seja, os produtos e quocientes, são aspectos de uma mesma operação matemática tipificada numa forma de simetria comum e podem ser expressas por um produtório; surge pois uma nova categoria de primitivas e derivadas; ou seja, aquelas primitivas, ou integrais, e derivadas que resultando do produto infinitesimal, se expressam através de produtórios.
Em termos da terminologia a utilizar pode-se falar em funções primitivas e derivadas quando imperam os somatórios infinitesimais como uma força da tradição, nesta situação usa-se apenas a palavra ”primitiva” ou então, a palavra “derivada”; por outro lado, pode-se falar em primitivas produtoriais ou derivadas produtoriais, como referencia a estas novas funções, quando imperam os produtórios infinitesimais; é neste contexto que se concretiza com as exemplificações já aqui referidas.
Considerando as seguintes funções:
y = a  
y = x  
y = ax  
As respectivas primitivas tradicionais são:
y = a.x + C 
y = x2/2 + C 
y = a.x2/2 + C 
Aplicando as regras dos produtórios, pois, as respectivas primitivas produtoriais poderiam, caso as respectivas regras fossem consideradas como válidas para a primitivação, ser:
y = ax  
y = x!  
y = ax.x!  
Como se pode concluir, da comparação entre a primitivação tradicional e a primitivação produtorial verifica-se que, em termos do procedimento, das regras a aplicar e das respectivas funções obtidas, os resultados são substancialmente diferentes; salienta-se a ressalva de que, em conformidade com aquilo que ocorre para as derivadas e primitivas tradicionais, pois também as regras de primitivação e derivação produtoriais têm de ser melhor adequadas de modo a uniformizar os respectivos conteúdos e resultados; no entanto, é importante reter que os conceitos e raciocínios utilizados, por analogia com as situações tradicionais, mantêm a sua validade na aplicação dos produtórios a situações de funções, assim como às suas respectivas derivadas e primitivas ou integrais.  

A soma de Riemann e o produto de Patrício
A conhecidíssima soma de Riemann, sobre a qual existe abundante informação divulgada, e os seus vários aspectos, estudados e trabalhados, permite, de um modo geral, calcular a área delimitada por uma função e, por conseguinte, a integral como sendo o limite da sua respectiva soma.
Por analogia comparativa, salvaguardando as respectivas especificações típicas do trabalho com factoriais, surge o produto produtorial de Patrício como um auxiliar do cálculo integral produtorial que, aqui, emerge como uma nova ferramenta matemática.
Assim, o produto de Patrício assume a fórma:
Produto de Patrício = ni=1 f(xi).xib/xia

Breve crítica ao cálculo integral tradicional
O cálculo integral tradicional procurou, originalmente, determinar a área sob uma curva no plano cartesiano através do somatório de pequenos rectângulos cuja base (dx), ou seja, a diferença do valor de x, se localiza no eixo das abcissas e altura (fx), ou seja, a função de x, se localiza no eixo das ordenadas; é agora que surge uma pequena crítica inicial; de facto, o valor diferencial (dx) calculado, poderia não se localizar no eixo das abcissas mas sim no eixo das ordenadas, calculando assim, as diferenças, não através do eixo das abcissas mas sim das ordenadas, ou seja, através do valor da função (fx) localizada no eixo das ordenadas, efectivamente, após a respectiva adequação, os resultados seriam invariavelmente iguais porém, seria assim, acrescentado ao arsenal matemático tradicional um modo diferente de efectuar o calculo integral sem alterar os resultados.

Produto de Patrício e cálculo integral produtorial
O cálculo integral tradicional surge como resultado do limite de um somatório da multiplicação de uma função por intervalos, ou diferenças, entre valores localizados no eixo das abcissas. O produto, e por inerência de simetria, o quociente, constituem uma distinção diferenciada das simetrias relacionadas com a soma e subtracção.
O novo cálculo integral; ou seja, o cálculo integral produtorial, por analogia com o cálculo integral tradicional, também surge como um limite porém, agora, trata-se do limite de um produtório da multiplicação de uma função por um quociente, portanto, uma razão ou proporção, entre valores localizados no eixo das abcissas.
Assim, a integral produtorial de Patrício assume a fórma:
Integral produtorial = limn ->abni=1 f(xi).xb/xa, considerando os valores de a e b como pertencendo ao eixo das abcissas.
A título de exemplo, salienta-se que, para uma função constante, quaisquer que sejam os valores de xb ou xa pois, o quociente, xb/xa = 1 pelo que o resultado do integral produtorial será sempre uma função exponencial, como, aliás, já tinha sido descrito.

Esclarecimento sobre cálculo integral produtorial
Assim como nas regras tradicionais de primitivação se torna necessário adicionar uma constante, também, nas regras do novo cálculo integral produtorial, e até, eventualmente, no produto de Patrício, enquanto auxiliar do novo cálculo produtorial, poderá ser necessário proceder a uma ligeira adequação no sentido de tornar os resultados mais rigorosos. Aceita-se que a validade da tese, defendida pelo teorema fundamental do cálculo, para a primitivação e derivação tradicionais, também se verifiquem nas situações de derivação e integração produtorial constituindo estas últimas, por conseguinte, operações inversas, através das quais resultam funções inversas; assim, aceita-se que as derivadas produtoriais e as integrais produtoriais constituem funções inversas; ressalta-se, no entanto, que neste momento, para este ensaio, o mais importante consiste na produção criativa de novas ideias, novos conceitos e novos raciocínios como ferramentas matemáticas capazes de desenvolver a teoria produtorial dos números e avançar na sua evolução, posteriormente poderá ser adicionado todo o restante rigor matemático, eventualmente necessário.

Utilidade do cálculo infinitesimal produtorial
Com as primitivas e derivadas, o cálculo infinitesimal tradicional teve uma das suas primeiras e grandes aplicações na física clássica, ou newtoniana, designadamente no campo da cinemática, com as leis da velocidade, aceleração etc., posteriormente a sua aplicabilidade generalizou-se para outras ciências, inclusivamente as engenharias e, até, as ciências humanas.
O cálculo produtorial infinitesimal, cujo desenvolvimento se inicia aqui, agora, neste ensaio, tem uma aplicação imediata na nova física pentadimensional do movimento com a deformabilidade reológica do espaço finito.
Quando nos primórdios da física se considerava o espaço e o tempo como estáticos e imutáveis, as ferramentas matemáticas do cálculo infinitesimal tradicional eram bastantes e suficientes; posteriormente a teoria da relatividade, aceitando a curvatura do espaço, exigiu novas ferramentas; acontece que a teoria da relatividade era, ainda, muito estática; aceitava a deformabilidade do espaço mas apenas, e tão-somente, numa direcção; a tetradimensionalidade da teoria da relatividade aceita a deformabilidade do espaço-tempo mas apenas numa dimensão unidireccional; a nova física aceita a deformabilidade reológica do espaço finito por maior, ou menor, densificação que inclui e integra grandezas como a massa e o tempo num ambiente pentadimensional; as ferramentas matemáticas tradicionais e da relatividade já não são capazes de conferir o rigor agora exigido, torna-se, pois, imperativo o desenvolvimento de novos conceitos e novos raciocínios; o cálculo infinitesimal produtorial vem, matematicamente, auxiliar a explicar e quantificar a nova física da reologia do espaço finito numa pentadimensionalidade turbilhonar que, deformando-se sobre si próprio, inclui a densidade do espaço com base numa partícula fundamental: o densitrão.

Criatividade em análise infinitesimal
A rigidez estrutural do raciocínio humano, tem conduzido o pensamento para uma unidireccionalidade permanente da análise infinitesimal; aborda-se sempre a derivada, primitiva, ou integral, de uma variável, ou função, em ordem a outra variável; escamoteia-se a criatividade; poderiam ser tentadas novas abordagens mas, não são; por conseguinte se, iniciarmos, agora, uma abordagem mais criativa, da análise infinitesimal produtorial, surge uma conclusão filosófica mais fundamental da razão humana.
Como tese vamos considerar a função, y = x + 1, porém seja y = k, com k constante;  
Por primitivação produtorial desta função, sendo y = k, constante, vem: primitiva produtorial de y = kx; portanto, a primitiva produtorial = (x + 1)x contrasta nitidamente com o que seria de esperar para a respectiva primitiva produtorial de uma função variável; este tipo de criatividade também pode ser executado para as primitivas e derivadas tradicionais porém, agora, neste caso e para esta situação concreta, vejamos a interpretação: o que a função y = x + 1 tem de constante é a sua infinita continuidade assim, ao tornar a função y = x + 1, numa constante, está-se precisamente a dar relevo à sua continuidade que, ao ser produtoriamente primitivada, remete prontamente para uma ordem própria dos arranjos com repetição da análise combinatória; é esta analogia criativa que em análise infinitesimal permite avançar imediatamente para os fundamentos filosóficos da ordem e da racionalidade humanas.

Reflexão filosófica final
Praticamente, todo o cálculo, de certo modo, até a matemática em geral, têm historicamente assentado as suas bases fundamentais na racionalidade da proporção como o seu fundamento existencial. De facto, os quocientes, os rácios, as razões, os números racionais, enfim, toda a racionalidade da razão humana pode ser expressa como um relação entre um numerador e um denominador; é este quociente que permite e oferece a relação de proporcionalidade mas, é também, através de uma constante de proporcionalidade, ainda que por vezes unitária, sempre presente, que se expandem as várias categorias da proporcionalidade. Epistemologicamente, pode-se afirmar que o desenvolvimento científico e tecnológico tem avançado, em grande parte, graças à compreensão e utilização das várias formas de proporcionalidade, ainda que nem sempre captáveis à primeira vista; as primeiras ciências, como a física, serviram-se da proporcionalidade matemática, posteriormente, também as ciências humanas, como as ciências económicas e sociais, continuaram nesse caminho. A aplicação das relações de proporcionalidade directa, ou inversa, ao estudo clássico do movimento, com Newton, faz todo o sentido; a alteração das relações de proporcionalidade com a respectiva utilização, e defesa, pelas teorias da relatividade, também faz sentido; porém, ressalta-se que, tanto as teorias clássicas do movimento como as da relatividade, assumem o espaço como uma grandeza estática e constante; ainda que a relatividade defenda a contractura do espaço, pela velocidade, ou a curvatura cónica (elíptica, parabólica, hiperbólica) pela massa, pois, há sempre uma constância desse espaço, é essa constância, essa constante de proporcionalidade que se manifesta e encontra em todas essas teorias. A teoria da densidade do espaço, com a respectiva alteração e deformação reológica, desse espaço finito, assume a intervenção combinatória dos vários elementos, por conseguinte, aceita os arranjos e as combinações, com ou sem a incorporação da ordem, na noção e definição do conceito de movimento; também, por força imperiosa da racionalidade humana, está obrigada a admitir a proporcionalidade, de facto, a quantificação da razão humana, precisa da proporcionalidade para se exprimir, porém, na teoria da densidade do espaço não há uma constante de proporcionalidade; em teoria da densidade do espaço aceita-se que a sua deformabilidade reológica é proporcional, mas não constantemente proporcional; por isso, são necessárias novas ferramentas matemáticas para a quantificar; essas ferramentas matemáticas são proporcionadas pelos números produtoriais com os respectivos conceitos e raciocínios a eles inerentes. Em teoria da densidade do espaço, a constante de proporcionalidade não existe, não é constante, é sim, variável e essa variabilidade é quantificável pelo uso dos conceitos e números produtoriais.
Doutor Patrício Leite, 21 de Outubro de 2018