Sumário
Para a racionalidade do pensamento
humano, apenas se admitem potências fraccionárias em que, para qualquer número,
em concreto, tanto as bases como os expoentes são fracções, ou quocientes, como
componentes estruturais dos números produtoriais, no entanto, a base numérica
em que o produtório se exprime, é também muito importante, de facto, é
substancialmente diferente um produtório escrito na base decimal de um outro
escrito na base binária, hexadecimal ou outra; aqui a palavra base assume dois
significados já que se aplica à base da potência considerada, para um número em
concreto, mas também à base numérica na sua totalidade de trabalho; na
realidade, as implicações para a realização e conclusão do cálculo matemático
vão ter resultados substancialmente diferentes, conformando-se sempre à base
numérica em que se trabalha com os números produtoriais.
Poderia ser colocado o
problema do número zero (0), de facto, qualquer número que multiplique por zero
(0) tem como resultado zero (0), porém ao ser assumido como indexador
precisamente o mesmo valor do número considerado, pois pensa-se que o problema
resultante da multiplicação pelo número zero fica resolvido e, além do mais,
através deste artifício, também o próprio número zero (0) pode, assim, ser incluído
numa representação numérica como sendo a expressão de um produtório.
Após uma breve introdução que
explica a necessidade de desenvolvimento cognitivo para o avanço do
conhecimento, é abordado o conceito de número reconhecendo-se que a existência
dos números reais comporta um problemático paradoxo; aceita-se que a cada
conjunto numérico se associam diferentes expressões algébricas e criticam-se os
números complexos em defesa dos potenciais; com os números potenciais a
compreensão das expressões algébricas evolui mas é através dos factoriais, ou
melhor, dos números produtoriais que todos os conjuntos numéricos são mais
completamente entendidos; é efectuado um pequeno desenvolvimento inicial da
teoria dos números produtoriais com a sua aplicação ao estudo analítico de
novas funções assim como ao novo cálculo integral e diferencial em comparação
como cálculo tradicional; finalmente é referida alguma aplicabilidade prática
da teoria dos números produtoriais assim como uma reflexão filosófica que os
implica no avanço do conhecimento epistemológico.
Introdução
A imaginação e criação de
ideias e conceitos têm, sempre, precedentes cognitivos e de memória capazes de
permitir o seu avanço e desenvolvimento; foi esta a situação actual, cuja
relação com a função de Patrício conduziu para uma interacção entre somas e subtracções
mas, também, multiplicações sucessivas com potências, ou exponenciais.
O facto de os números
potenciais implicar a multiplicação sucessiva das respectivas bases; o facto de
os factoriais também configurarem uma multiplicação repetitiva e, finalmente, o
facto de a função de Patrício relacionar somas com números potenciais e
factoriais, libertou a criatividade para uma teoria dos números, bem mais
abrangente do que as actuais e capaz de estabelecer novas categorias e
conjuntos numéricos fundamentados em pura coerência lógica, sem quaisquer
acrescentos de números por homenagem a matemáticos famosos ou problemas da
antiguidade mas, tão-somente, louvando a razão humana numa nova categorização
numérica.
Evolução do conceito de número
A natureza quantitativa do
conceito de número terá, provavelmente, relação com as actividades humanas nos
primórdios da sua existência gregária. A sedentarização humana e a pastorícia foram,
talvez, os maiores contributos para as contagens que permitiram a eclosão dos
números, actualmente, designados naturais. Se, por um lado, a contagem dos
animais permitiu o aparecimento dos números naturais pois, por outro, o aumento
ou diminuição do número, ou quantidade, desses animais permitiu o aparecimento
dos números inteiros. Assim, aos números naturais, com a simples contagem dos
animais associa-se sempre uma operação aritmética, ou seja, a adição, por outro
lado, ao movimento dos animais com o seu aumento ou diminuição, já se associam
duas operações aritméticas, os seja, a adição e a subtracção na constituição
dos números inteiros que, por simetria, podem ser negativos ou positivos.
As relações entre os números
continuaram pelo que a divisão surge como uma nova operação aritmética.
Constatou-se que da divisão não resultavam sempre números inteiros mas, em algumas
situações surgiam problemas como as dizimas infinitas periódicas; tornou-se
assim necessário um novo conjunto de números constituído por todos os números e
operações aritméticas anteriores mais os quocientes, ou fracções, cuja divisão
não tinha por resultado um número inteiro; este novo conjunto numérico foi
designado de racional. A divisão e a multiplicação são duas operações
aritméticas que, para validamente se expressarem, necessitam da continuidade
infinitesimal, por outro lado, algumas dízimas infinitas não periódicas e
outros números, designados irracionais, de natureza algébrica ou
transcendental, vieram a constituir, conjuntamente com os números racionais, o
corpo dos números reais.
A operação aritmética da
multiplicação, associada com a impossibilidade de calcular a raiz quadrada de
números negativos, conduziu o ser humano para a necessidade engenhosa de
imaginar a raiz quadrada de menos um, como unidade imaginária para um vasto
corpo numérico designado por números complexos.
Problemática paradoxal dos números reais
Sabe-se que conforme, no
conceito de número, se caminha para um grupo, cada vez mais alargado, ou mais lato,
se vai incluindo sempre os anteriores conjuntos dos números; assim por exemplo,
no caso dos racionais pois todos os inteiros podem ser traduzidos por uma
fracção; por outro lado, os números reais constituem um grupo de
características heterogéneas já que, além dos racionais, envolvem também
números irracionais que não podem ser escritos sobre a forma de fracção mas,
por vezes, em homenagem a determinadas personalidades, são incluídos números
que dizem ser o resultado de expressões algébricas matematicamente trabalhadas,
ora isto vem perturbar o desenvolvimento coerente da teoria dos números mais
parecendo que a actual teoria procura uma racionalização, arranjando razão para
ter razão, desconsiderando a lógica do pensamento racional que lhe deveria
proporcionar consistência; torna-se pois necessária, uma nova categorização, no
agrupamento dos conjuntos numéricos; até porque há problemas e interrogações
que se colocam aos números reais que, por configurarem resultados paradoxais,
dificultam a aceitação das soluções encontradas.
Vejamos:
Diz-se que os números reais
aceitam o infinito e a continuidade porém sabe-se que tanto os racionais como
os irracionais, ainda que estes últimos sejam de natureza algébrica ou
transcendental, pois todos aceitam sempre a ordem; mas a ordem é, pela sua
natureza fundamental, finita e descontínua; face a este paradoxo surge a
seguinte interrogação: - Como é possível que de uma ordem finita e descontínua
possam surgir números contínuos e infinitos? Colocando a pergunta de outra
maneira: - Será possível a existência de números reais, que nem sejam racionais
nem irracionais, nem tenham qualquer ordem que os fundamente, e façam a ponte
de continuidade infinita entre os vários números racionais e irracionais?
Exemplificando:
Sabe-se que; raiz quadrada de
2 = 1,414213562373…; se agora somar 1 fica = 2,414213562373…; se agora somar
7/3 fica = 4,747546895706…; portanto, qualquer número real, ainda que
irracional, ainda que dízima infinita, periódica ou não periódica, tem sempre
uma expressão matemática, de natureza polinomial, ou então transcendental, que
o origina, que o fundamenta, que lhe dá a origem fundamentada numa ordem, mas
essa ordem é, por natureza, finita e descontínua; então pergunto: - Como é
possível que os números reais sejam contínuos e infinitos? Reformulando a
pergunta: – Será que existem números reais, como por exemplo, dizimas infinitas
periódicas, ou não periódicas, que não tenham por fundamento uma expressão
matemática fundamentada numa ordem, naturalmente, finita e descontínua?
Resolver este paradoxo é
caminhar para uma nova categorização dos números; uma categorização mais lógica
e mais coerente com o pensamento, raciocínio e razão humanas.
Associação entre expressões algébricas e números
Partindo dos números naturais,
até aos complexos, cada novo conjunto não apenas inclui e ultrapassa todos os
anteriores como também, fenómeno semelhante, ocorre com as respectivas operações
aritméticas que lhe estão associadas. Assim, com os números naturais podem ser
criadas e desenvolvidas expressões algébricas que apenas contemplam a operação
adição, com os inteiros já é contemplada a adição e a subtracção, com os
racionais passa a ser também contemplada a divisão e finalmente com os reais
assumem-se as quatro operações básicas, ou elementares, da aritmética. As expressões
algébricas serão tão complicadas e completas quanto o conjunto dos números e
operações aritméticas que lhes deram origem e entram na sua constituição. Os
números complexos, de acordo com o respectivo modelo explicativo actual, são
constituídos, todos e cada um, por expressões polinomiais; portanto, cada uma
das expressões, próprias de cada número complexo envolve, no mínimo e em simultâneo,
duas operações aritméticas sendo que, nos termos da ardilosa teoria actual dos
números complexos, todas as expressões matemáticas poderão ser construídas a
partir deste corpo numérico. Na verdade o corpo dos números complexos não
existe, trata-se apenas de um ardil, como qualquer outro que o ser humano,
dotado de razão, poderia criar, porém, substituir um número por um polinómio,
ainda que sendo uma actividade imaginativa e criativa, não faz qualquer falta
para a realização de cálculos ou outras operações matemáticas, nem sequer para
a teoria dos números, é por isso que se critica a teoria dos números complexos
apresentando, como resultado substitutivo, a proposta dos números potenciais.
Crítica aos números complexos
Os números complexos, na
tentativa de calcular a raiz quadrada de números negativos, ao assumirem ardilosamente
a unidade imaginária “i”, aceitando como resultado que i2 = -1,
estão implicitamente a cometer das maiores atrocidades irracionais contra as
regras de potenciação; de facto, é consensual que na multiplicação de duas
potências com base igual, pois, dá-se a mesma base e somam-se os expoentes; por
outro lado se o expoente é igual, pois, mantém-se o expoente e efectua-se a
multiplicação das bases; mas também se sabe que na potência de uma potência
mantém-se a base e se multiplicam os expoentes; finalmente, reconhece-se que
quando o expoente de uma potencia é uma fracção pois resulta uma raiz cujo
índice é o denominador dessa fracção com a base elevada ao respectivo
numerador.
Trabalhando agora com as
regras da potenciação, surge um paradoxo relacionado com as raízes quadradas de
números negativos, assim, vem:
Considerando x2 + 1
= 0 resulta x2 = - 1 portanto x = (- 1)1/2
Obviamente que a designada
unidade imaginária não faz qualquer falta, nem se justifica, já que a raiz
quadrada de (- 1) = (- 1)1/2; por outro lado, tendo em atenção as
regras da potenciação, surge o seguinte paradoxo:
(- 1)1/2 * (- 1)1/2
= (- 1)1/2+1/2 = (- 1)1 = - 1 ou seja, dá-se a mesma base
e somam-se os expoentes;
por outro lado (- 1)1/2
* (- 1)1/2 = [(- 1) * (- 1)]1/2 = (1)1/2 ou
seja, mantém-se o expoente e efectua-se a multiplicação das bases; mas também
se sabe que, pela regra da potência de uma potência (- 1)1/2 * (- 1)1/2
= [(- 1)1/2]2 = (- 1)2/2 = - 1 em conclusão;
conforme a regra de potenciação que se utiliza assim o resultado alcançado;
curiosamente, os defensores dos números complexos e da unidade imaginária,
apenas aceitam, como válida, uma destas formas de resolver a expressão
matemática, facto este que configura uma atroz irracionalidade. Em qualquer das
situações parece que aceitar a raiz quadrada de (- 1) = (- 1)1/2
permite efectuar todos os cálculos associados com a unidade imaginária e ainda
avançar no desenvolvimento da teoria dos números com uma nova categoria
numérica designada por números potenciais.
Os números potenciais
Conforme já antes acontecia
com os números racionais, também agora, com a potenciação, e os respectivos
números, é possível efectuar todos os cálculos já anteriormente descritos para
os outros conjuntos numéricos e, efectivamente, acrescentar novos cálculos e
novas operações matemáticas. A finalidade máxima, agora alcançada, da
potenciação, consiste nos números potenciais com base e expoente racionais; de
facto, esta estrutura numérica com base e expoente racional ou constituídos por
fracções, permite exprimir todos os números, inclusivamente os imaginários já
que a unidade imaginária apenas consiste em: i = raiz quadrada de (- 1) = (- 1)1/2.
Ao nível da conversão entre os números complexos conforme anteriormente
definidos e os números potenciais, agora determinados, os cálculos a efectuar
tornam-se muito facilitados, por exemplo:
Consideremos, ao acaso, o
seguinte número complexo:
z = 1 + 2i vem:
z = 1 + 2(-1)1/2 efectuando os
cálculos,
z = 1 + 41/2 * (-1)1/2 =
1 + [4 * (-1)]1/2 = 1 + (-4)1/2 com isto torna-se possível
realizar cálculos matemáticos com toda e qualquer expressão numérica de
natureza polinomial ou qualquer outra, sem ultrapassar a racionalidade da razão
humana.
A estrutura numérica potencial
pode ser escrita por uma forma geral assim: z = (n/m)p/q agora,
quando m = 1 resulta como base um número natural, ou inteiro, elevado a um
expoente racional; se entretanto também q = 1, pois então o resultado é um
número cuja base é natural, ou inteira, elevada a um expoente também natural,
ou inteiro; obviamente que, em qualquer número potencial, tanto a base como o
expoente podem ser fraccionários, ou inteiros, positivos ou negativos e os
cálculos efectuados apenas precisam de seguir as regras do cálculo matemático
já previamente estabelecidas.
A forma geral para a escrita
de um número potencial, assim: z = (n/m)p/q permite representar
qualquer número, desde os naturais até aos complexos, e efectuar, sem qualquer
dificuldade, os respectivos cálculos matemáticos. O trabalho com números
complexos pode, agora, ser facilitado pelo uso dos números potenciais, porém, o
conjunto dos números potenciais não é tudo, já que é, apenas e tão-somente, um
degrau, na ascensão, para outros conjuntos numéricos mais completos e avançados
na teoria dos números.
Números potenciais, funções polinomiais e funções exponenciais
Qualquer número potencial é constituído
por uma base e um expoente; obviamente tanto a base como o expoente podem
pertencer a qualquer conjunto numérico, desde os naturais até aos racionais; é
agora que a partir da análise de funções se conclui que quando a base é
variável e o expoente constante, pois trata-se de uma função polinomial; por
outro lado, quando a base é constante e o expoente variável, pois trata-se de uma
função exponencial; quando tanto a base como o expoente, são ambos variáveis
pois trata-se de funções mistas, com natureza simultaneamente polinomial e
exponencial.
A noção conceptual de que, qualquer
número é um número potencial, portanto com uma base e um expoente e, por outro
lado, num número potencial, tanto a base como o expoente podem ser variáveis,
permite a evolução do pensamento e raciocínio para estruturas numéricas cada
vez mais complicadas e completas.
Factoriais e produtórios
Um factorial é, basicamente,
um número potencial cujo expoente é constantemente igual a um e cuja base é variável,
dentro de determinadas regras. Como é do conhecimento geral, os números
inteiros podem ser positivos ou negativos, essa propriedade significa que, por
inerência, os números inteiros têm associada uma operação matemática de adição
ou subtracção; esta operação acompanha o desenvolvimento da teoria ao longo dos
novos conjuntos numéricos que se vão acrescentando; os factoriais têm
associada, por inerência, a operação matemática de multiplicação mas, os
factoriais constituem apenas conceitos mais alargados de números potenciais
pelo que também podem ser considerados como números, no entanto, os números factoriais
são apenas casos particulares de entidades numéricas ainda mais latas e mais
abrangentes, ou seja, os produtórios. Todos os números, assim como todas as
expressões matemáticas, descritas até ao presente, são apenas casos
particulares de produtórios, estes constituem, pois, o mais abrangente conjunto
numérico conhecido, aqui descrito sinteticamente numa teoria designada por
teoria dos números produtoriais.
Números produtoriais
Enquanto um número potencial é
constituído por uma base e um expoente, ambos constantes e se considera que se
algum destes parâmetros variar, pois se trata de funções, polinomiais ou
exponenciais; já os números produtoriais, incluem todos os anteriores mas
também a estrutura numérica com variação da base, do expoente, ou de ambos em
simultâneo.
Na realidade, em termos da
teoria dos números, a evolução do pensamento humano considerou, numa primeira
etapa, apenas a operação matemática da soma depois, com os números inteiros,
incluiu também a subtracção, posteriormente com os quocientes, fracções ou
números racionais, foi também considerada a divisão e finalmente com os números
potenciais completaram-se as quatro operações aritméticas básicas vindo juntar
a multiplicação à teoria dos números. A evolução da racionalidade humana não
foi progressivamente linear; de facto, numa primeira fase, apesar de os números
potenciais já funcionarem conjuntamente com as quatro operações aritméticas
básicas, a sua estrutura era rígida e estática; se com a variação do expoente,
nos números potenciais, surgiram as designadas funções exponenciais, por outro
lado, a variação das bases, em termos de soma e de subtracção, deu origem às
designadas funções polinomiais, porém, com a variação das bases por
multiplicação sucessiva surgiram os números factoriais que já permitiam algum
dinamismo funcional, no entanto, é finalmente através dos produtórios de
números potenciais cujas bases e expoentes são totalmente variáveis e constituídas
por fracções, ou quocientes, que se completa o desenvolvimento pleno da teoria
dos números.
Os números como produtórios
Conforme já foi
reconhecidamente assumido neste ensaio, qualquer número actualmente aceite e
definido como tal, natural, inteiro, racional, etc., se pode exprimir sobre a
forma de um produtório. Uma das maneiras imaginadas e concebidas para
representar um número por um produtório consiste em considerar a fórmula ∏ni=n =
ni de facto, esta fórmula permite imediatamente
compreender que sendo n = qualquer número em concreto, natural, inteiro,
racional, etc., pois, a sua expressão sobre a forma de um produtório, é
imediata.
Outra maneira, utilizando
imaginação criativa, poderia consistir em apenas representar os números
naturais como produtórios; nesta situação pois os inteiros negativos teriam que
ter colocado o sinal negativo precisamente antes do produtório representante do
respectivo número, os números racionais consistiriam das respectivas fracções,
ou quocientes, e proceder-se-ia analogamente para com todos os números que se
desejasse representar sobre a forma de um produtório. Nestas questões, o
importante não é tanto a forma gráfica que se assume para representar os
números produtoriais, mais importante é o próprio conteúdo inerente à inteligência
e razão humana assim como as possibilidades que os números produtoriais trazem
para o avanço e evolução do cálculo e desenvolvimento da matemática.
Classificação dos produtórios
Fundamentalmente, considerando
os números ou expressões algébricas, sempre de natureza potencial ou
exponencial, pois, os produtórios podem ser classificados em três categorias:
- Produtórios de números, ou
expressões potenciais, cuja base é constate e o expoente variável.
- Produtórios de números, ou
expressões potenciais, cuja base é variável e o expoente constante.
- Produtórios de números, ou
expressões potenciais, cuja base e expoente são, ambos, variáveis.
Cada uma destas situações
poderia, agora, ser desenvolvida mais pormenorizadamente, através de algumas
exemplificações.
Produtório de uma constante e função exponencial
Se é certo, e sabido, que os
números factoriais funcionam apenas como casos especiais de produtórios, é
também reconhecido que, através das respectivas propriedades, o produtório de
uma constante é igual a essa constante elevada ao último elemento a ser
multiplicado; ou seja: ∏xi=1
a = ax, sendo a = constante; por conseguinte, se a constante
considerada fosse o número Neperiano (e), pois, surgiria a função exponencial
cuja base seria o número de Neper: ∏xi=1 e = ex,
naturalmente, que esta função tem sido muito estudada pela sua importância em várias
ciências naturais e humanas mas também nas ciências aplicadas à tecnologia.
A função logarítmica como inversa da exponencial no caso dos
produtórios
Como se reconhece, a função logarítmica
é inversa da função exponencial, assim, aplicando a inversão logarítmica ao
caso concreto do produtório de uma constante vem: loge (∏xi=1
e) = x,
encarar os produtórios como instrumentos, participantes activos, da análise
funcional infinitesimal torna as conclusões, e os resultados alcançados, em
elementos muito interessantes e estimulantes para a clareza e avanço do raciocínio
humano.
Produtório de uma variável e função factorial
Se, agora, for
considerado o caso concreto do produtório de um número potencial cuja base é
variável com o expoente constante e, por outro lado, se o expoente, constante,
for igual a 1 (um) vem: ∏xi=1 i = x!, ou seja, o produtório da
variável índice é, por excelência, a função factorial. A função factorial
também tem a respectiva função inversa; ou seja, se o produtório consiste de
uma série de produtos, ou multiplicações, pois, a respectiva função inversa
terá de contemplar uma série de quocientes, ou divisões.
Produtório do produto de uma constante por uma variável índice
e respectiva função
Continuando a considerar a
interacção analógica conceitual entre os produtórios e a análise funcional infinitesimal
vem o produtório do produto de uma constante(a) por uma variável índice, como mais um exemplo elucidativo, seja: ∏xi=1 ai = ax.∏xi=1
i = ax.x!, ou seja, surge agora uma função que mais não é do
que o produto de uma função exponencial por uma função factorial; também, nesta
situação concreta, a função resultante terá uma função inversa e poderá ser
estudada em termos da análise funcional infinitesimal.
Produtórios e funções
A aplicação da
análise funcional, aos exemplos aqui descritos, permite avançar no raciocínio e
estudo de mais uma, nova, categoria de funções; por conseguinte, tanto no caso
concreto da constante, como da variável índice, como do produto da constante
pela variável índice, sempre se tratou de funções; ou seja, a expressão analítica
das respectivas funções foi:
y = a (no caso, concreto, da constante com a
= constante)
y = x (no caso, concreto, da variável com x
= variável índice)
y = ax (no caso, concreto, do produto de uma
constante por uma variável com a = constante sendo x = variável)
A forma geral
de todas as funções cujos exemplos aqui foram referidos é diz respeito a uma
função afim, assim: y = ax + b, claro que as designações das letras
representantes (a, b, x, y), tomam, neste tipo geral de funções, os valores esperados
para cada caso concreto.
Após
a aplicação dos produtórios resultaram funções com as seguintes formas:
y = ax (no caso, concreto, da
constante com a = constante)
y = x! (no caso, concreto, da variável com x
= variável índice)
y = ax.x! (no caso, concreto, do
produto de uma constante por uma variável com a = constante sendo x = variável).
O produtório
surge pois como uma aplicação, ou função, capaz de transformar uma categoria de
funções numa outra categoria de funções; portanto, capaz de transformar um
conjunto de partida, ou domínio, constituído por um tipo de funções, num
conjunto de chegada, ou contra-domínio, de outro tipo de funções.
Primitivas, derivadas e produtórios
Em termos da
análise infinitesimal tradicional de funções, sabe-se que a primitiva, ou
melhor, a integral de uma função exprime o somatório do acrescento infinitesimal
a essa função, por conseguinte, estes acrescentos infinitesimais relacionam-se
com a integração, ou primitivação, e pode-se generalizar o conceito, ou raciocínio,
afirmando que a primitivação, assim como a derivação de funções, em termos
tradicionais, têm relação recíproca com os somatórios. Na realidade a soma e a
subtracção são apenas aspectos de uma mesma operação matemática tipificada numa
forma de simetria comum e podem ser expressas por um somatório. Por outro lado a
multiplicação e a divisão, ou seja, os produtos e quocientes, são aspectos de
uma mesma operação matemática tipificada numa forma de simetria comum e podem
ser expressas por um produtório; surge pois uma nova categoria de primitivas e
derivadas; ou seja, aquelas primitivas, ou integrais, e derivadas que
resultando do produto infinitesimal, se expressam através de produtórios.
Em termos da
terminologia a utilizar pode-se falar em funções primitivas e derivadas quando
imperam os somatórios infinitesimais como uma força da tradição, nesta situação
usa-se apenas a palavra ”primitiva” ou então, a palavra “derivada”; por outro
lado, pode-se falar em primitivas produtoriais ou derivadas produtoriais, como
referencia a estas novas funções, quando imperam os produtórios infinitesimais;
é neste contexto que se concretiza com as exemplificações já aqui referidas.
Considerando as
seguintes funções:
y = a
y = x
y = ax
As respectivas
primitivas tradicionais são:
y = a.x + C
y = x2/2 + C
y = a.x2/2 + C
Aplicando as
regras dos produtórios, pois, as respectivas primitivas produtoriais poderiam,
caso as respectivas regras fossem consideradas como válidas para a primitivação,
ser:
y = ax
y = x!
y = ax.x!
Como se pode
concluir, da comparação entre a primitivação tradicional e a primitivação
produtorial verifica-se que, em termos do procedimento, das regras a aplicar e
das respectivas funções obtidas, os resultados são substancialmente diferentes;
salienta-se a ressalva de que, em conformidade com aquilo que ocorre para as
derivadas e primitivas tradicionais, pois também as regras de primitivação e
derivação produtoriais têm de ser melhor adequadas de modo a uniformizar os
respectivos conteúdos e resultados; no entanto, é importante reter que os
conceitos e raciocínios utilizados, por analogia com as situações tradicionais,
mantêm a sua validade na aplicação dos produtórios a situações de funções,
assim como às suas respectivas derivadas e primitivas ou integrais.
A soma de Riemann e o produto de Patrício
A conhecidíssima
soma de Riemann, sobre a qual existe abundante informação divulgada, e os seus vários
aspectos, estudados e trabalhados, permite, de um modo geral, calcular a área
delimitada por uma função e, por conseguinte, a integral como sendo o limite da
sua respectiva soma.
Por analogia
comparativa, salvaguardando as respectivas especificações típicas do trabalho
com factoriais, surge o produto produtorial de Patrício como um auxiliar do cálculo
integral produtorial que, aqui, emerge como uma nova ferramenta matemática.
Assim, o
produto de Patrício assume a fórma:
Produto de
Patrício = ∏ni=1
f(xi).xib/xia
Breve crítica ao cálculo integral
tradicional
O cálculo
integral tradicional procurou, originalmente, determinar a área sob uma curva
no plano cartesiano através do somatório de pequenos rectângulos cuja base (dx),
ou seja, a diferença do valor de x, se localiza no eixo das abcissas e altura
(fx), ou seja, a função de x, se localiza no eixo das ordenadas; é agora que
surge uma pequena crítica inicial; de facto, o valor diferencial (dx)
calculado, poderia não se localizar no eixo das abcissas mas sim no eixo das
ordenadas, calculando assim, as diferenças, não através do eixo das abcissas
mas sim das ordenadas, ou seja, através do valor da função (fx) localizada no
eixo das ordenadas, efectivamente, após a respectiva adequação, os resultados
seriam invariavelmente iguais porém, seria assim, acrescentado ao arsenal
matemático tradicional um modo diferente de efectuar o calculo integral sem
alterar os resultados.
Produto de Patrício e cálculo integral
produtorial
O cálculo
integral tradicional surge como resultado do limite de um somatório da
multiplicação de uma função por intervalos, ou diferenças, entre valores
localizados no eixo das abcissas. O produto, e por inerência de simetria, o
quociente, constituem uma distinção diferenciada das simetrias relacionadas com
a soma e subtracção.
O novo cálculo
integral; ou seja, o cálculo integral produtorial, por analogia com o cálculo
integral tradicional, também surge como um limite porém, agora, trata-se do
limite de um produtório da multiplicação de uma função por um quociente,
portanto, uma razão ou proporção, entre valores localizados no eixo das
abcissas.
Assim, a
integral produtorial de Patrício assume a fórma:
Integral produtorial = limn
->∞ab∏ni=1 f(xi).xb/xa,
considerando os valores de a e b como pertencendo ao eixo das abcissas.
A título de exemplo, salienta-se que, para
uma função constante, quaisquer que sejam os valores de xb ou xa
pois, o quociente, xb/xa = 1 pelo que o resultado do integral
produtorial será sempre uma função exponencial, como, aliás, já tinha sido
descrito.
Esclarecimento
sobre cálculo integral produtorial
Assim como nas regras tradicionais de
primitivação se torna necessário adicionar uma constante, também, nas regras do
novo cálculo integral produtorial, e até, eventualmente, no produto de
Patrício, enquanto auxiliar do novo cálculo produtorial, poderá ser necessário
proceder a uma ligeira adequação no sentido de tornar os resultados mais
rigorosos. Aceita-se que a validade da tese, defendida pelo teorema fundamental
do cálculo, para a primitivação e derivação tradicionais, também se verifiquem
nas situações de derivação e integração produtorial constituindo estas últimas,
por conseguinte, operações inversas, através das quais resultam funções
inversas; assim, aceita-se que as derivadas produtoriais e as integrais
produtoriais constituem funções inversas; ressalta-se, no entanto, que neste
momento, para este ensaio, o mais importante consiste na produção criativa de novas
ideias, novos conceitos e novos raciocínios como ferramentas matemáticas
capazes de desenvolver a teoria produtorial dos números e avançar na sua
evolução, posteriormente poderá ser adicionado todo o restante rigor
matemático, eventualmente necessário.
Utilidade
do cálculo infinitesimal produtorial
Com as primitivas e derivadas, o cálculo
infinitesimal tradicional teve uma das suas primeiras e grandes aplicações na
física clássica, ou newtoniana, designadamente no campo da cinemática, com as
leis da velocidade, aceleração etc., posteriormente a sua aplicabilidade
generalizou-se para outras ciências, inclusivamente as engenharias e, até, as ciências
humanas.
O cálculo produtorial infinitesimal, cujo
desenvolvimento se inicia aqui, agora, neste ensaio, tem uma aplicação imediata
na nova física pentadimensional do movimento com a deformabilidade reológica do
espaço finito.
Quando nos primórdios da física se
considerava o espaço e o tempo como estáticos e imutáveis, as ferramentas
matemáticas do cálculo infinitesimal tradicional eram bastantes e suficientes;
posteriormente a teoria da relatividade, aceitando a curvatura do espaço,
exigiu novas ferramentas; acontece que a teoria da relatividade era, ainda,
muito estática; aceitava a deformabilidade do espaço mas apenas, e tão-somente,
numa direcção; a tetradimensionalidade da teoria da relatividade aceita a
deformabilidade do espaço-tempo mas apenas numa dimensão unidireccional; a nova
física aceita a deformabilidade reológica do espaço finito por maior, ou menor,
densificação que inclui e integra grandezas como a massa e o tempo num ambiente
pentadimensional; as ferramentas matemáticas tradicionais e da relatividade já não
são capazes de conferir o rigor agora exigido, torna-se, pois, imperativo o
desenvolvimento de novos conceitos e novos raciocínios; o cálculo infinitesimal
produtorial vem, matematicamente, auxiliar a explicar e quantificar a nova
física da reologia do espaço finito numa pentadimensionalidade turbilhonar que,
deformando-se sobre si próprio, inclui a densidade do espaço com base numa partícula
fundamental: o densitrão.
Criatividade
em análise infinitesimal
A rigidez estrutural do raciocínio humano, tem
conduzido o pensamento para uma unidireccionalidade permanente da análise
infinitesimal; aborda-se sempre a derivada, primitiva, ou integral, de uma variável,
ou função, em ordem a outra variável; escamoteia-se a criatividade; poderiam
ser tentadas novas abordagens mas, não são; por conseguinte se, iniciarmos,
agora, uma abordagem mais criativa, da análise infinitesimal produtorial, surge
uma conclusão filosófica mais fundamental da razão humana.
Como tese vamos considerar a função, y = x +
1, porém seja y = k, com k constante;
Por primitivação produtorial desta função,
sendo y = k, constante, vem: primitiva produtorial de y = kx;
portanto, a primitiva produtorial = (x + 1)x contrasta nitidamente
com o que seria de esperar para a respectiva primitiva produtorial de uma
função variável; este tipo de criatividade também pode ser executado para as primitivas
e derivadas tradicionais porém, agora, neste caso e para esta situação
concreta, vejamos a interpretação: o que a função y = x + 1 tem de constante é
a sua infinita continuidade assim, ao tornar a função y = x + 1, numa
constante, está-se precisamente a dar relevo à sua continuidade que, ao ser produtoriamente
primitivada, remete prontamente para uma ordem própria dos arranjos com
repetição da análise combinatória; é esta analogia criativa que em análise infinitesimal
permite avançar imediatamente para os fundamentos filosóficos da ordem e da
racionalidade humanas.
Reflexão
filosófica final
Praticamente, todo o cálculo, de certo modo,
até a matemática em geral, têm historicamente assentado as suas bases
fundamentais na racionalidade da proporção como o seu fundamento existencial.
De facto, os quocientes, os rácios, as razões, os números racionais, enfim,
toda a racionalidade da razão humana pode ser expressa como um relação entre um
numerador e um denominador; é este quociente que permite e oferece a relação de
proporcionalidade mas, é também, através de uma constante de proporcionalidade,
ainda que por vezes unitária, sempre presente, que se expandem as várias
categorias da proporcionalidade. Epistemologicamente, pode-se afirmar que o desenvolvimento
científico e tecnológico tem avançado, em grande parte, graças à compreensão e
utilização das várias formas de proporcionalidade, ainda que nem sempre
captáveis à primeira vista; as primeiras ciências, como a física, serviram-se da
proporcionalidade matemática, posteriormente, também as ciências humanas, como
as ciências económicas e sociais, continuaram nesse caminho. A aplicação das
relações de proporcionalidade directa, ou inversa, ao estudo clássico do
movimento, com Newton, faz todo o sentido; a alteração das relações de
proporcionalidade com a respectiva utilização, e defesa, pelas teorias da
relatividade, também faz sentido; porém, ressalta-se que, tanto as teorias clássicas
do movimento como as da relatividade, assumem o espaço como uma grandeza
estática e constante; ainda que a relatividade defenda a contractura do espaço,
pela velocidade, ou a curvatura cónica (elíptica, parabólica, hiperbólica) pela
massa, pois, há sempre uma constância desse espaço, é essa constância, essa
constante de proporcionalidade que se manifesta e encontra em todas essas
teorias. A teoria da densidade do espaço, com a respectiva alteração e
deformação reológica, desse espaço finito, assume a intervenção combinatória
dos vários elementos, por conseguinte, aceita os arranjos e as combinações, com
ou sem a incorporação da ordem, na noção e definição do conceito de movimento; também,
por força imperiosa da racionalidade humana, está obrigada a admitir a
proporcionalidade, de facto, a quantificação da razão humana, precisa da proporcionalidade
para se exprimir, porém, na teoria da densidade do espaço não há uma constante
de proporcionalidade; em teoria da densidade do espaço aceita-se que a sua
deformabilidade reológica é proporcional, mas não constantemente proporcional;
por isso, são necessárias novas ferramentas matemáticas para a quantificar;
essas ferramentas matemáticas são proporcionadas pelos números produtoriais com
os respectivos conceitos e raciocínios a eles inerentes. Em teoria da densidade
do espaço, a constante de proporcionalidade não existe, não é constante, é sim,
variável e essa variabilidade é quantificável pelo uso dos conceitos e números
produtoriais.
Doutor Patrício Leite, 21 de Outubro de 2018