Os primeiros filósofos, capazes de transmitir os seus pensamentos, aos contemporâneos, e os anotar para os vindouros, dedicaram-se ao cosmos, dedicaram-se á ordem do universo organizado; outras correntes do pensamento se seguiram: foi a organização social, a ordem jurídica, económica; a ordem da vida, do homem, da consciência, do raciocínio e do pensamento, … mas, antes da ordem e como seu fundamento relacional, existem as designações nominais identitárias; as relações de ordem surgem da diferença igualitária entre diferentes designações nominais. A analogia comparativa entre a dualidade: simultaneamente igual – simultaneamente diferente, produz os vários elementos da ligação relacional ordenada; são as partículas: maior – menor, alto – baixo, a frente – a trás, em cima – em baixo, … entre tantos e variados outros elementos da ligação comparativa que fundamenta a relação ordenada.
A hierarquia é uma sequência ordenada que se usa tradicionalmente para explicar, e compreender, as relações de ordem, no entanto, a hierarquia é apenas uma das imensas formas de traduzir sequências ordenadas. Efectivamente a hierarquia é apenas uma das imensas sequências ordenadas mas, também, a sequência é apenas uma das imensas formas de as relações de ordem se ordenarem. Em termos dos dados de dispersão estatística, os conjuntos de relações de ordem traduzidos por sequências permitem encontrar a moda e a mediana; as relações de ordem numérica também permitem encontrar a média no entanto em conjuntos de designações nominais identitárias apenas é permitida a cardinalidade da moda.
A funcionalidade da ordem, para os seres humanos, consiste na previsibilidade do seu determinismo; daí a sua utilidade em ciência, daí a tentativa de a encontrar, ainda que esta livremente se apresente de modo meramente probabilístico.
Por reducionismo fundamental dos elementos da ordem, a uma cardinalidade numérica, encontra-se o número três; efectivamente, por uma tríade numérica de ordem, cada parte ordenada apresenta ligação relacional com duas outras partes, mas perde-se a visão sistémica, a visão do conjunto. A relação entre o todo e as partes, tipifica uma abordagem sistémica, a abordagem da totalidade unificada, mas esta abordagem sistémica exclui as configurações ordinais puras; por exemplo: em qualquer ordinalidade hierárquica militar, cada posição, apenas se relaciona com os respectivos inferior e superior hierárquico. A abordagem da totalidade unificada transcende a ordem para alcançar uma cardinalidade generalizada; assim é que uma abordagem cardinalizante sistémica ainda mais amplificada, consideraria a ligação de todas as partes como apenas mais uma das partes entre as restantes. O supremo filosófico absoluto da abordagem sistémica conclui necessariamente que: o todo, é apenas uma parte entre as partes!
O conceito de liberdade teve, provavelmente, uma origem social, uma origem decorrente dos homens livres, por oposição à escravatura, contudo, muito cedo, na filogenia da história das ideias, iniciou o seu percurso através da cultura humana; no plano dos valores políticos e sociais, atingiu o auge com as revoluções liberais; continuou o seu trajecto, num percurso cognitivo cada vez mais amplo, com a conceptualização da liberdade absoluta, atingiu o pensamento filosófico; continuou a sua expansão para todas as ciências: a física, química, engenharias, matemática, … o grau de liberdade alcançou uma amplitude prática nunca antes imaginada: na mecânica e robótica conceptualiza-se o grau de liberdade cinemático, na química e termodinâmica são os movimentos das moléculas e partículas com as respectivas reacções químicas, energias de activação, gases e outras entidades reologicamente deformáveis, em probabilidades e estatística entende-se o grau de liberdade como resultante da diferença entre a máxima liberdade própria da aleatoriedade caótica dos elementos amostrais subtraindo as restrições causadas pelos parâmetros a estimar. Enquanto as aplicações práticas e teóricas do grau de liberdade se expandem pela imaginação criativa, surge a noção teórica da liberdade absoluta como um paradoxo irredutível; efectivamente, a definição de absoluto, como delimitação conceptual, encerra em si, o seu próprio limite, o seu fim e, por inerência expansiva, o fim da liberdade absoluta. Com a queda do absolutismo, entenda-se: a queda da liberdade e da ordem como entidades absolutas, surge o grau de liberdade como uma solução de compromisso; efectivamente o grau de liberdade resulta da liberdade possível subtraída das restrições causadas pela ordem; do indeterminismo libertário subtraído da ordem determinista; da imprevisibilidade causada pela desordem caótica subtraída da previsibilidade causada pela ordem estabelecida. A designação adequada do conceito, grau - de - liberdade, permite a sua aplicação em diferentes áreas do conhecimento humano; efectivamente, desde a física quântica com o seu principio da incerteza, ou a teoria do spin e do entrelaçamento ou emaranhamento quântico até problemas como matéria e energia escuras, ou a necessidade de variáveis ocultas para completar a explicação do mundo físico, tudo, nada mais do que uma aplicação do grau de liberdade traduzido em álgebra matemática pela quantidade de variáveis de um sistema ao qual se subtrai a quantidade de equações que permitem a sua resolução: quando a quantidade de variáveis supera a quantidade de equações perde-se determinismo e ganha-se incerteza; por mera curiosidade analógica, a entropia da informação surge quando a quantidade de perguntas é maior do que a quantidade de respostas, porquanto, algumas perguntas ficarão sem resposta. Em matemática patricista o grau de liberdade para a resolução de permutações por meios algébricos, ou seja, não recorrentes, exige um sistema cujo número de equações supera em uma unidade o número de multiplicações da respectiva permutação, assim: para n! permutações é exigido n + 1 equações. Efectivamente, sabe-se que as permutações correspondem à maior ordem diferencial possível de encontrar através da ordem matemática discreta da análise combinatória; a esta máxima ordem diferencial corresponde o máximo determinismo, as maiores restrições à liberdade e, por conseguinte, o mínimo ou menor grau de liberdade; ainda em análise combinatória, nos arranjos simples ou sem repetição, a ordem é importante mas nunca atinge a máxima ordem típica das permutações; assim, os arranjos, quaisquer que sejam, comportam sempre um grau de liberdade superior ao das permutações.
Os arranjos simples e as permutações sem repetição correspondem à mesma estrutura ordenada, tanto da álgebra abstracta como da análise combinatória discreta, simplesmente, em qualquer conjunto com n elementos, os arranjos correspondem a qualquer ordenação de k elementos entre os n elementos do conjunto total sendo, nos arranjos simples, k < n; por outro lado, nas permutações k = n; efectivamente, as permutações traduzem-se por uma lista ordenada e sem quaisquer repetições, cuja contagem total se sintetiza pelo padrão de repetição com a seguinte fórmula descrita em notação factorial: P(n,k) = n!/(n-k)! ou seja n(n-1)(n-2)(n-3) … (n-k+1).
Repare-se que a relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n – a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n - traduzida sinteticamente por sequencias de sucessivas subtracções de números potenciais com o mesmo expoente mas ordenadas pelo valor decrescente das suas bases – acabou por encontrar os fundamentos analógicos dos padrões de repetição que tipicamente se encontram na ordem definida nos arranjos sem repetição ou nas permutações simples; este padrão de repetição encontra-se formulado na primeira expressão inicial da função de Patrício: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n; efectivamente, este (n-k+1) tem a sua correspondência com o elemento factor de menor grau de liberdade que se encontra, tanto nos arranjos simples como nas respectivas permutações.
Mais, matematicamente os arranjos e as permutações são apenas produtórios que obedecem ao principio multiplicativo pelo que a fórmula clássica dos arranjos simples e permutações: P(n,k) = n!/(n-k)! pode ser traduzida por um produtório assim formulado: ∏k-1p=0(n-p). Por conseguinte, considerando que as permutações P(n,k) são apenas um caso particular da fórmula mais geral dos arranjos sem repetição designados A(n,k), surge a seguinte igualdade: A(n,k) = n!/(n-k)! = ∏k-1p=0(n-p).
Por simples criatividade cognitiva torna-se possível fazer k-1= n-g criando, assim, a seguinte formulação: A(n,k) = ∏n-gp=0(n-p) com n-g = k-1 ou seja: n-g+1= k.
Torna-se agora bem visível a semelhança analógica da expressão n-g+1 tanto ao nível das definições clássicas de arranjo e permutação simples como das respectivas definições produtoriais mas, acima de tudo, a sua analogia comparativa com a primeira expressão inicial da função de Patrício: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n e compreende-se perfeitamente que n-g+1 traduz um dos modos de, em analise combinatória, usando a função de Patrício, quantificar os graus de liberdade que existem num conjunto total de liberdade aleatória n ao qual se vão colocando sucessivas restrições crescentes no cálculo dos arranjos ou permutações simples.
Eis chegado o momento de aplicar a abordagem sistémica; efectivamente o cálculo dos arranjos ou permutações nada mais revela do que uma interacção com padrões de repetição ordenados entre dois conjuntos dos quais um, o maior n, contém todos os graus de liberdade possível para esse conjunto e o outro, o menor k, contém restrições que diminuem esses graus de liberdade. Os padrões de repetição que se estabelecem na ordem que resulta da interacção entre os dois conjuntos podem, pela abordagem sistémica, mas também por simples substituição matemática, originar novas formulações equivalentes: tanto das fórmulas de definição clássica como nas fórmulas produtoriais como, finalmente, na expressão inicial de Patrício; com efeito:
n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n
k! = Σkg=0(kg)(-1)g(k+1-g)k
Agora, a simples substituição matemática na fórmula: A(n,k) = n!/(n-k)! irá criar modos de pensamento para a resolução prática de problemas; outro tanto poderia ser efectuado com as fórmulas produtoriais dos arranjos e permutações resultando num alargamento significativo da respectiva abordagem sistémica.
Finalmente, a ilustração pictórica e analógica do grau de liberdade pela teoria da liberdade de escolha faz pensar em quatro amigos que decidem ir comer a um restaurante e, para isso reservam uma mesa quadrada. Obviamente, o primeiro a chegar ao restaurante tem liberdade total para escolher o lugar em que se vais sentar; o segundo tem liberdade para escolher qualquer lugar menos o do primeiro, o terceiro tem liberdade para escolher qualquer lugar menos os lugares onde se sentaram o primeiro e segundo amigos, por fim o ultimo apenas tem o lugar que lhe resta. O grau de liberdade de escolha foi decrescendo sucessivamente do primeiro para o último amigo a chegar ao restaurante e a ordem pela qual eles se sentavam ia ficando cada vez mais definida porém, ressalve-se que o número total de modos diferentes de todos se sentarem organizadamente estava previamente calculado pelo total de permutações simples possíveis. Esta analogia comparativa, quando extrapolada para os confins da reflexão filosófica abrangente permite concluir que a liberdade total, assim como o determinismo ordenado absoluto encerram em si um absurdo da racionalidade existencial.
Doutor Patrício Leite, 29 de Junho de 2021
