COMPLEXIDADE NUMÉRICA, GRAFOS
E FUNÇÃO DE PATRÍCIO
Algures, neste universo
conceptual que habitamos, existem paradoxais padrões de repetição capazes de
fundamentar filosoficamente a ordem primeira. No âmbito matemático ainda tal não
conseguimos. A evolução do conceito de número tem sucessivamente ampliado os
conhecimentos e raciocínio humanos mas a complexidade numérica obriga ao
desenvolvimento continuado de novas teorias, e novos conhecimentos, no sentido
de nos aproximarmos, cada vez mais, da matematização dessa ordem primeira. A
função de Patrício tem, só por si, implicações imediatas na resolução de
problemas práticos encontrados na ordem do dia porém, torna-se necessário a sua
compreensão completa, desde a tradicional demonstração matemática, ainda que
apenas esboçada, até ao desenvolvimento de novas fórmulas, transformados e
funções resultantes da sua decomposição, assim como a evolução do respectivo
pensamento histórico e as implicações que esta função acarreta para a
matemática discreta actual mas também para o desenvolvimento integrado de uma
matemática do futuro que explique os grafos de Patrício, em relação com os
sólidos geométricos, a aritmética e outras áreas da matemática numa tentativa
sustentada em conseguir uma teoria dos números capaz de fundamentar a ordem
primeira.
Foi assim que reflectindo, por
vezes avançando mais rápido, outras vagarosamente; outras com lapsos já
corrigidos, outras com lapsos ainda por corrigir; surgiu este produto de uma
reflexão demorada e sistemática que, aqui e agora, torno público.
TEORIA PATRICISTA DOS NÚMEROS (COMPLEXOS)
Pensar na simplicidade e
complexidade, continuidade e descontinuidade, antecedentes e consequentes,
finitude e infinitude, constância e variabilidade, nada e tudo; constitui entre
vários outros elementos da entidade existencial organizacional dualística,
alguns dos fundamentos da reflexão filosófica matemática numérica. Começando
pelos antecedentes e consequentes, pode-se afirmar, com lógica de razão, que na
continuidade tudo é derivado de antecedentes ou primitivas e, como corolário,
para tudo existem consequências derivadas, desde o infinitamente primitivo até
ao infinitamente derivado e desde o infinitamente grande até ao infinitamente
pequeno numa análise infinitesimal da continuidade em constante variabilidade
da simplicidade e complexidade. Se iniciarmos a partir do nada, ou seja, de
coisa nenhuma, portanto da ausência de, ... esse nada ou coisa nenhuma pode ser
representado por zero(0); portanto zero(0) é nada, é coisa nenhuma, mas o zero
tem antecedentes, tem primitiva, e informam as regras organizacionais da
primitivação que a primitiva de zero(0) é: 0x + b, sendo b uma constante,
portanto; a derivada de uma constante é zero, a primitiva de zero é uma
constante, assim, antes de nada, antes do momento zero(0), tudo era constante
porém, se agora começar-mos a atribuir diferentes valores individuais a essa
constante ela passará a representar conjuntos, em conformidade com o tipo de
valores atribuídos; é assim que, para as contagens, surge o conjunto dos
números naturais e logo de seguida, se agrupados com os respectivos simétricos
negativos surgem os inteiros que por um mecanismo de inversão, ou mecanismos de
simetria inversa, originam os racionais com as dizimas infinitas periódicas,
mas as dizimas infinitas não periódicas e os mecanismos de potenciação e
radiciação, com as respectivas simetrias, originam o conjunto ou corpo dos
números reais. É a partir de nada ou zero(0) que por primitivação se origina
uma constante que representa os vários conjuntos de números desde que sobre ela
se façam incidir operações matemáticas, com alguma forma de simetria capaz de
originar os outros grupos, ou corpos, de números. Se agora, sobre essa
constante, realizarmos novamente um mecanismo de primitivação surge uma forma
numérica tipo: ax + b que corresponde exactamente à representação dos números
complexos com a parte real e a parte imaginária mas corresponde também à
representação analítica de uma recta ou função afim do tipo y = ax + b. Por
semelhança com os números naturais, inteiros, racionais e reais que resultam de
operações e simetrias matemáticas; também semelhantes operações e simetrias
podem ocorrer com os números complexos, no entanto, quando se primitiva o
conjunto ou corpo dos números reais, pois obtém-se o corpo ou conjunto dos
números complexos. Se agora primitivarmos os números complexos, ou seja, se
primitivarmos, ax + b, vamos obter ax2/2 + bx + c que é uma função
quadrática polinomial em relação com as cónicas, mas também sabemos que o cone
é o limite da pirâmide quando o número de arestas, da pirâmide, caminha ou se
desloca para o infinito; portanto o cone surge como uma derivada da pirâmide
quando o número de arestas da pirâmide caminha para infinito, logicamente acima
dos números complexos teremos o conjunto dos números cónicos ou quadráticos com
a forma ax2/2 + bx + c e se agora primitivarmos estes teremos o
conjunto dos números que designo por piramidais em franca associação com os
grafos piramidais de Patrício que são um dos grupos dos grafos angulares ou
trigonométricos de Patrício; este conjunto numérico, que designo por números
piramidais assume a forma geral ax3/6 + bx2/2 + cx + d.
As teorias dos números têm-se desenvolvido e evoluído com conceitos que chegam
a aceitar e envolver a teoria dos conjuntos; encarar agora os números como
funções matemáticas com destaque para as funções primitivas e derivadas alarga
o âmbito do pensamento humano; quando um pensador descobriu, desenvolveu e
aplicou a noção de infinito ao domínio da matemática logo outro, que mais tarde
o seguiu, divulgou o conceito de que há infinitos, infinitos; quando a partir
das matemáticas discretas se desenvolve a noção de ordem, logo a função de
Patrício, com os respectivos filamentos de Patrício, permite que em matemática
se conceba a noção de que existem infinitos níveis de ordem, ou seja, infinitas
ordens; porém, a ordem primeira, a ordem desencadeada pelos números primos,
ainda não está bem compreendida; actualmente pode-se lá chegar por exclusão,
mas não por inclusão. A função de Patrício, enquanto explicação de infinitas
ordens, também pode ser primitivada e derivada; as primitivas e derivadas da
função de Patrício vão, certamente, contribuir para o alcance da ordem
primeira.
APLICAÇÃO DA FUNÇÃO DE
PATRÍCIO A DIVISORES DE NÚMEROS
Por mero diletantismo
filosófico, o pensamento reflectido conclui que alcançar a ordem primeira
consiste em encontrar e exprimir uma ordem coerente e unificadora nos números
primos. Sabe-se, a partir da anatomia destes números e da funcionalidade dos
números inteiros, em geral, que com excepção de 2 e 5, todos os restantes números
primos terminam nos algarismos 1, 3, 7 e 9. As simetrias geométricas numéricas
podem assumir a paridade, com a implicação evidente da divisão por dois, como
capaz de afastar a primalidade; já uma simetria numérica geométrica assente na
imparidade, como por exemplo, a imparidade do número três, não consegue afastar
a primalidade de todos os números ímpares, apesar de permitir encontrar uma
distribuição da densidade numérica com uma elevada quantidade de divisores. Na
realidade cada número primo é uma singularidade, um elemento único de simetria
geométrica impar e, com excepção da unidade, que aqui se não considera
relevante, o número três é o menor divisor impar. Desde os primeiros tempos de
aprendizagem da matemática que se conhece a regra da divisibilidade pelo número
três. Qualquer número, cuja soma dos seus algarismos seja divisível por 3
também será, ele próprio, divisível por 3. Assim, o número: 123456789 é
constituído por 9 algarismos que somados dão: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
= 45 e como se verifica 45 / 3 = 15 pelo que o número 123456789 não é primo mas
se com estes algarismos escritos por outra ordem, criarmos outro número, tipo:
987654321 também a soma resultante é 45 pelo que este também não é primo. Por
conseguinte, com os 10 algarismos do sistema decimal, ou seja o sistema
numérico de base 10, arranjados ordenadamente de diferentes modos, chega-se à
conclusão, pela aplicação de permutações, ou factoriais, que existem 3628800
números diferentes e nenhum é primo, ou seja, factorial de 10, portanto: 10! =
3628800. Sabemos que os múltiplos de um número, como os resultantes das
permutações, nunca são primos, e por corolário; os números primos, com as já
referidas excepções, nunca resultam de operações como divisão ou multiplicação,
e se uma permutação de 10 é fácil de calcular porém, quando consideramos o
maior número que existe com os tais 10 algarismos, todos diferentes e sem se
repetirem, pois a permutação torna-se irrealizável. Vejamos então, num
computador, qual será o resultado da permutação: 9876543210! =? (incapacidade).
É aqui que entra a função de Patrício que, ao transformar uma permutação em
somatório de polinómios vai permitir permutar, ou calcular factoriais de
grandes números e quando lida com todos os algarismos do sistema numérico de
base decimal em associação com o número 3, como o menor divisor, vai encontrar
uma distribuição da densidade numérica capaz de excluir a primalidade de
números inteiros.
DEMONSTRAÇÃO DA FUNÇÃO DE
PATRÍCIO
A demonstração da Função de Patrício
pode ser efectuada assumindo Z um qualquer valor numérico; de facto a igualdade
numérica verifica-se para n = 1 mas também para n = n + 1, pelo que fica
provada a sua demonstração para qualquer valor de n; por outro lado a
propriedade associativa permite associar, ou não, o valor de Z tanto ao valor
de n como ao de n + 1, pelo que a função de Patrício também fica demonstrada
para qualquer valor de Z.
CONVERTIDA DE PATRÍCIO
Considerando que, na função de
Patrício, Z pode ser um qualquer número, então esse número também pode ser
representado por uma potência qualquer, assim: Z = YX. Torna-se pois
evidente que se, na função de Patrício, substituirmos Z por esse número Z = YX
então surge a convertida de Patrício como uma função exponencial ou, se
considerarmos os vários valores que n pode tomar, então teremos um conjunto de
funções exponenciais que podem ser estudadas na análise de funções.
A convertida de Patrício é um exemplo
de transformação dos filamentos de Patrício em funções exponenciais com as
respectivas consequências entre as matemáticas discretas e a continuidade da
análise infinitesimal. A introdução da potenciação, na função de Patrício,
conduz imediatamente o pensamento para as raízes dos números, designadamente
para as raízes quadradas de números negativos e, por consequência, para a
problemática dos números complexos associados aos filamentos de Patrício.
IGUALDADE FUNCIONAL DE
PATRÍCIO
Partindo da função de
Patrício, é possível constatar relações de intrigante curiosidade,
designadamente quando se verificam alterações, como descrevo de seguida, para o
termo correspondente à potência elevada a n e para o factorial ou permutação de
n (n!); na verdade, essa intrigante curiosidade consiste em inverter a base e o
expoente do respectivo termo ou potência mas também em transformar o factorial
numa expressão exponencial de expoente Z para de seguida constatar que quando o valor de
n = 3 (três), operando a descrita transformação e
ficando (n+Z–k)n transformado em n(n+Z–k) assim como n!
transformado em 2nnZ portanto, a partir dessa inversão entre o
expoente e a base e efectuando a transformação do factorial, ou permutação,
para uma expressão exponencial de expoente Z resulta uma igualdade que designei por igualdade funcional de Patrício a qual
tanto se verifica para as combinações simples como para as combinações
completas ou com repetição.
A curiosidade consiste em
compreender o porquê de esta igualdade apenas se verificar quando n for igual a
três (n = 3) e se observar tanto para as combinações simples como para as
completas. É claro que daqui, desde que n adopte outros valores, diferentes de
3, pois já se podem extrair várias funções exponenciais que estabelecem
relações de igualdade com somatórios de combinações, simples e completas, em
conjugação com fórmulas de arranjos com repetição; aspectos estes, muito úteis
e interessantes para a teoria das probabilidades, das contagens e da análise
combinatória mas também para estabelecer, através da análise infinitesimal, a
ligação entre a matemática discreta e a matemática da continuidade.
Generalizando para a filosofia matemática, a igualdade funcional de Patrício surge como um conjunto de funções
que transforma, com as respectivas inversões, conjuntos caóticos associativos
combinatórios em conjuntos de arranjos com ordem.
IGUALDADE COMBINACIONAL DE
PATRÍCIO
Uma outra curiosidade que se
pode extrair da função de Patrício consiste na igualdade que se obtém ou
estabelece quando, na igualdade
funcional de Patrício n toma o valor 1 (um); ou seja, se com n = 1 (um)
excluirmos a expressão correspondente ao transformado de n! em 2nnZ portanto, excluindo o termo 2nnZ obtém-se uma igualdade que designei por igualdade combinacional de Patrício a
qual torna iguais os valores correspondentes às combinações simples com os
valores correspondentes às combinações completas, ou com repetição, desde que
se mantenham inalterados os restantes parâmetros.
A análise e compreensão da igualdade combinacional de Patrício
permite, desde logo, antever a sua utilidade prática em estatística, para a
realização de novos cálculos de probabilidades, designadamente com distribuição
binomial mas também, se recordarmos que as probabilidades se deslocam entre 0 (zero)
e 1 (um), torna-se evidente que esta igualdade permite alargar o âmbito do cálculo
probabilístico em geral; por outro lado e num âmbito ainda mais alargado,
generalizando para as ciências da computação, a igualdade combinacional de Patrício permite, após uma cuidadosa
reflexão, avançar para a álgebra booleana actualmente associada, na prática,
aos circuitos e lógica digitais. Se generalizarmos a igualdade combinacional de Patrício para a filosofia matemática,
constatamos que quando nos conjuntos caóticos se assume a unidade, pois a
variabilidade da ordem não consegue alterar esses conjuntos caóticos associativos
combinatórios.
EVOLUÇÃO CONCEPTUAL DESDE OS
NÚMEROS DE STIRLING DE SEGUNDA ESPÉCIE ATÉ A FUNÇÃO DE PATRÍCIO, PASSANDO PELA
INTEGRAL OU SOMA DE RIEMANN
Os factoriais, ou permutações,
pelas dificuldades inerentes aos enormes valores que podem tomar, sempre
impressionaram o pensamento matemático; James Stirling acabou por completar a
demonstração de uma fórmula parcialmente descoberta por outro matemático e que,
por isso recebeu o seu nome; a fórmula de Stirling, estabelece um valor
aproximado para o cálculo de um factorial; no entanto, o pensamento deste
matemático foi mais longe e, com a sua fórmula explícita para os respectivos
números de Stirling de segunda espécie, o produto da sua reflexão avançou com
implicações nas relações de recorrência, funções geratrizes e partições; outros
pensadores se seguiram; mais tarde Riemann, com a sua soma ou integral, deixou
transparecer um pensamento analogicamente próximo de Stirling, sobretudo no
domínio e evolução das partições, mas procurando já a transição para uma
matemática da continuidade; finalmente é com Patrício Leite que se completa a
síntese dialéctica entre os factoriais, ou permutações, próprios de uma
matemática discreta e a continuidade da análise infinitesimal permitindo, com a
designada função de Patrício e as muitas e variadas outras funções que resultam
da sua decomposição e compreensão conceptual, também o cálculo de derivadas e
primitivas ou integrais.
PARTIÇÕES E FUNÇÃO DE PATRÍCIO
Compreende-se que o conceito
de partição, em matemática, possa dizer respeito a números inteiros, na teoria
dos números, mas também a conjuntos ou intervalos com implicações em análise e
álgebra combinatória.
Em qualquer das situações a função de Patrício com a sua variável Z, que
tanto pode significar um número como um intervalo, sempre em relação com os
filamentos de Patrício, vai permitir uma melhor compreensão da interacção entre
a análise combinatória e as partições matemáticas. As muitas e variadas
funções, fórmulas e igualdades matemáticas, que se extraem da função de
Patrício permitem também a sua aplicação a outras áreas da matemática com
evolução para uma nova teoria dos números; contudo torna-se imediatamente
evidente que o conceito de número de Bell, da análise combinatória, fica
automaticamente ultrapassado já que, até em conjuntos finitos, com a função de Patrício, o número de
partições não depende apenas da cardinalidade do conjunto mas também da
respectiva ordinalidade; ou seja, com o valor de Z a influenciar a ordem, pois também
essa ordem influencia a cardinalidade do conjunto finito.
A COMPLEXIDADE NUMÉRICA E A
FUNÇÃO DE PATRÍCIO
A partir da atitude que encara
todo e qualquer número como uma função matemática com as respectivas primitivas
e integrais e os respectivos limites de funções e derivadas; que encara os
conjuntos de números ou os respectivos corpos numéricos como resultantes de
primitivas ou derivadas de funções matemáticas; que encara a análise matemática
e a respectiva análise infinitesimal como fundamento da teoria dos números,
surge a função de Patrício como um interessante fundamento teórico do conceito
de número.
Retrospectivamente, quando na
função de Patrício se afirma que o valor de z é um número maior do que zero,
pois está-se a pensar nas contagens da matemática finita ou discreta e, nessas,
sabe-se que se trabalha com números naturais; no entanto é, de todo,
compreensível e entendível que o valor de z, na função de Patrício, pode ser
qualquer número incluindo os imaginários, do corpo dos complexos ou de qualquer
outro conjunto numérico que, com o avanço do conhecimento matemático, se venha
a desenvolver. Claramente o valor de z, na função de Patrício, faz a ligação
entre as matemáticas finitas ou discretas e a continuidade das matemáticas
infinitas da análise infinitesimal, por isso, z pode assumir qualquer valor de
qualquer conjunto ou corpo numérico actual mas também que se venha a
desenvolver no futuro; aliás, é a função de Patrício, com o seu estudo e
compreensão, que fundamenta o desenvolvimento de novos conjuntos ou corpos
numéricos.
ESTUDO DA FUNÇÃO DE PATRÍCIO
No estudo da função de
Patrício é importante aceitar que ela é constituída por um conjunto de funções
e, por isso, pode ser decomposta. É a partir da decomposição da função de
Patrício que surgem conjuntos de funções cujo estudo individual conduz a
interessantes resultados, entre vários outros, no campo da análise
combinatória, do triângulo de Pascal mas também da teoria dos números em
relação com a análise matemática infinitesimal.
Se na função de Patrício
transformarmos n! num somatório de incógnita designada por Y com um índice atribuído
a cada valor de k resulta que n! surge em função do somatório de Yk
.
Por exemplo: para k = 1 fica Y1
; para K = 2 fica Y2 ; para K = 3 fica Y3 e assim
sucessivamente.
Se considerarmos que Z
representa um número complexo então na terminologia matemática actual este não
será designado pela letra X mas sim Z, no entanto o resultado é uma função
matemática cujo Y surge em função de Z.
Exemplificando, vamos
considerar a linha quatro do triângulo de Pascal; portanto n = 4.
Para K = 0 vem:
Y0 = 1(-1)0(4
+ Z – 0)4 = (4 + Z)4 = Z4 + 16 Z3 +
96 Z2 + 256 Z + 256
Para K = 1 vem:
Y1 = 4(-1)1(4
+ Z – 1)4 = (- 4)(3 + Z)4 = (- 4)(Z4 + 12 Z3
+ 54 Z2 + 108 Z + 81) =
= - 4 Z4 - 48 Z3
- 216 Z2 - 432 Z - 324
Para K = 2 vem:
Y2 = 6(-1)2(4
+ Z – 2)4 = 6(2 + Z)4 = 6(Z4 + 8 Z3
+ 24 Z2 + 32 Z + 16) =
= 6Z4 + 48 Z3
+ 144 Z2 + 192 Z + 96
Para K = 3 vem:
Y3 = 4(-1)3(4
+ Z – 3)4 = (- 4) (1 + Z)4 = ( - 4)( Z4 + 4 Z3
+ 6 Z2 + 4 Z + 1) =
= - 4 Z4 - 16 Z3
- 24 Z2 - 16 Z - 4
Para K = 4 vem:
Y4 = 1(-1)4(4
+ Z – 4)4 = Z4
A decomposição da função de
Patrício conduz à conclusão imediata de que o triângulo de Pascal mas também as
combinações simples e, por extensão de raciocínio lógico, as combinações com
repetição assim como os arranjos, com e sem repetição, surgem como funções
polinomiais de graus variáveis, estudadas isoladamente ou agrupadas em
conjuntos, numa clara ligação entre a matemática finita ou discreta e a
continuidade da análise matemática infinitesimal com primitivas e integrais,
limites e derivadas, domínio e contradomínio, funções crescentes e
decrescentes, etc. Uma das possíveis contribuições para o avanço e
desenvolvimento da teoria dos números será agora exposta do modo seguinte.
POLINÓMIOS DE PATRÍCIO, NÚMEROS
COMPLEXOS E NOVOS CONJUNTOS OU CORPOS NUMÉRICOS
Pela decomposição da função de
Patrício vão surgir variados polinómios, aqui designados polinómios de Patrício, que servem para relacionar a primitivação,
a derivação, assim como a função de Patrício, numa coerente fundamentação
teórica capaz de explicar uma nova teoria dos números. Assim:
Vamos considerar que na função
de Patrício, n = 0, então k = 0, pelo que fica:
Y0 = 1(-1)0(0
+ Z – 0)0 = 1 ou seja = 0Z + 1
Se considerarmos que 1 é uma
constante, pois então, ela representa os conjuntos dos números naturais,
inteiros, racionais e inclusivamente o corpo dos números reais como estrutura
algébrica. Se agora encontramos a primitiva da constante 1 surge um número de
fórmula geral y = az + b, com z como variável, a como declive e b como
constante que se trata de um número complexo, ou representante de todos os
números complexos, mas que é também, para o corpo dos números reais, uma recta ou
função afim. Claro que na função de Patrício se terá, agora, de considerar n =
1 e portanto k pode adoptar os valores de 0 e de 1 assim:
Para K = 0 vem:
Y0 = 1(-1)0(1
+ Z – 0)1 = (1 + Z)1 = Z +1
Para K = 1 vem:
Y1 = 1(-1)1(1
+ Z – 1)1 = (- 1)(0 + Z)1 = - Z - 0
Comprova-se pois, que a
primitivação dos números reais origina o conjunto ou corpo dos números
complexos nas suas variadas formas de expressão.
Se agora efectuarmos a
primitivação dos números complexos vai surgir um outro conjunto ou corpo
numérico em associação com uma função quadrática polinomial e possível relação
com as cónicas, o que na função de Patrício surge com n = 2 e K = 0 ou K = 1 ou
K = 2 assim:
Para K = 0 vem:
Y0 = 1(-1)0(2
+ Z – 0)2 = (2 + Z)2 = Z2 +4Z + 4
Para K = 1 vem:
Y1 = 2(-1)1(2
+ Z – 1)2 = (-2) (1 + Z)2 = (-2)(Z2 + 2Z + 1)
= - 2Z2 - 4Z - 2
Para K = 2 vem:
Y2 = 1(-1)2(2
+ Z – 2)2 = Z2
Este conjunto, ou corpo, de
números quadráticos ou cónicos é o resultado da primitivação dos números
complexos sendo, por conseguinte, os números complexos obtidos a partir da
derivação dos números quadráticos ou cónicos.
Se continuarmos com o raciocínio próprio da
análise matemática, designadamente com a primitivação como método de obter
novos conjuntos, ou corpos numéricos, pois então primitivando vai surgir um
novo conjunto, ou corpo, que designei por corpo ou conjunto dos números
piramidais e fiz esta designação, de números piramidais, meramente porque considerei
que, em termos geométricos, a derivada da pirâmide quando o seu número de
arestas se desloca para o infinito, é precisamente o cone, pelo que utilizando
a função de Patrício, com n = 3 fica:
Para K = 0 vem:
Y0 = 1(-1)0(3
+ Z – 0)3 = (3 + Z)3 = Z3 + 9Z2 +
27Z +27
Para K = 1 vem:
Y1 = 3(-1)1(3
+ Z – 1)3 = (-3) (2 + Z)3 = (-3)( Z3 + 6Z2
+ 12Z + 8) = - 3Z3 - 18Z2 - 36Z - 24
Para K = 2 vem:
Y2 = 3(-1)2(3
+ Z – 2)3 = 3Z3 + 9Z2 + 9Z + 3
Para K = 3 vem:
Y3 = 1(-1)3(3
+ Z – 3)3 = - Z3
O uso da análise matemática
infinitesimal através de funções, incluindo as funções primitivas e derivadas,
constitui uma ferramenta capaz de fundamentar novos conjuntos, ou novos corpos numéricos
até ao infinito; é certo que ao longo da história do pensamento matemático o
aparecimento de novos corpos numéricos tem surgido sobretudo de forma empírica
e como resultado da necessidade de resolver problemas concretos mas, também é
certo que uma coerente fundamentação teórica permite avanços consistentes e
permanentes no desenvolvimento e consolidação da teoria dos números.
PRIMITIVAS E DERIVADAS DA
FUNÇÃO DE PATRÍCIO E SUA RELAÇÃO COM AS CONTAGENS DAS MATEMÁTICAS DISCRETAS
A análise de funções e o
cálculo infinitesimal, com as primitivas e derivadas, apenas são possíveis
quando a função é contínua no seu respectivo domínio. As matemáticas discretas
das contagens, porque são discretas ou descontínuas, não permitem a utilização
de todas as técnicas próprias da análise de funções. As permutações,
combinações e arranjos, presentes na análise combinatória das matemáticas
discretas, vedam ou impedem a típica e tradicional análise de funções com o
cálculo diferencial e integral no entanto, quando na função de Patrício se
assume que a variável Z possa assumir qualquer valor de qualquer corpo
ou conjunto numérico, está-se implicitamente a aceitar a utilização das
técnicas próprias da análise de funções que se adicionam às técnicas da análise
combinatória fazendo a ponte entre estas duas áreas da matemática.
OS NÚMEROS PIRAMIDAIS E OS
GRAFOS DE PATRÍCIO
Sendo sabido que a fórmula da
pirâmide assume a tridimensionalidade volumétrica de proporcionalidade entre a
sua área da base e a respectiva altura, também se compreende que o número de
vértices e arestas exerce uma influência directa nessa fórmula tridimensional. Sabe-se
que o volume, incluindo o de qualquer sólido geométrico, assume a
tridimensionalidade inerente aos números piramidais, no entanto, preferi o uso
da pirâmide porque esta facilita os cálculos, e o estabelecimento de relações
matemáticas, no trabalho com os grafos de Patrício. Tanto no plano da
primitivação sucessiva, a partir de 0 (zero), para alcançar os números
piramidais como através do uso da função de Patrício, com n = 3 (três) e o
respectivo grau dos polinómios resultantes; os resultados são idênticos para
efeitos da mera obtenção dos números, ou conjunto numérico, que designei por
piramidais; no entanto, o único aspecto comum a ressalvar é a sua
tridimensionalidade geométrica capaz de fundamentar um conjunto, ou até, um
corpo numérico. O estabelecimento de relações matemáticas entre áreas como a
geometria, a trigonometria, a álgebra e a análise funcional infinitesimal
permite abordar os grafos de Patrício e a respectiva angularidade, não apenas
nos corpos numéricos conhecidos mas também num mais vasto corpo, ou conjunto,
numérico designado por números piramidais.
PRIMITIVAS E DERIVADAS EM
GRAFOS DE PATRÍCIO
A partir do momento em que os
grafos angulares de Patrício são definidos por funções trigonométricas,
polinomiais ou outras, pois também se torna possível proceder ao uso do cálculo
infinitesimal no sentido de primitivar e derivar como forma de apoiar a
resolução de problemas. Na realidade toda esta reflexão tem, não apenas,
desenvolvido novos conceitos com a descoberta de novas relações matemáticas,
mas também efectuado a interligação entre diferentes áreas da matemática no
sentido de ampliar os conhecimentos capazes de, também, fornecer uma explicação
filosófica da ordem existencial.
RELAÇÃO DE EULER E RELAÇÃO
FUNDAMENTAL DA DIVISÃO
A reflexão filosófica
matemática conduz o pensamento, desde os mais simples padrões, com relações
numéricas e geométricas observadas na natureza, física e humana, até a
complexidade alcançada em fórmulas das contagens e funções da análise matemática,
cujo significado profundo, se torna difícil de compreender, inclusivamente para
os mais doutos entendidos nestas matérias.
Um conceito axiomático elementar
da fundamentação teórica matemática é a noção de simetria. Na realidade a
simetria matemática tem sido basicamente classificada em dois grupos distintos:
a simetria axial ou bilateral e a central ou circular. A profundidade da
reflexão matemática filosófica vai agora avançar na abordagem lógica, racional
dedutiva e analógica, destes conceitos. A simetria axial bilateral é entendida
na sua relação espelhada num eixo de reflexão com movimento translacional; já a
simetria central circular exprime a relação com um elemento central num
movimento rotacional. A simetria axial bilateral tem origem numa linha recta ou
função afim e a simetria central circular tem origem num ponto ou centro de
simetria. Pontos e linhas; uma linha é um ponto em movimento; linhas rectas e
ângulos, movimentos lineares de translação e movimentos angulares de rotação,
rectas e curvas, pontos e funções afins; são aspectos básicos de uma simetria
geométrica desenvolvida ao longo da história da matemática, desde os primórdios
da geometria, com Tales de Mileto e Euclides de Alexandria até a actualidade. Há
porém uma outra conceptualização de simetria relacionada com a teoria dos
números e a aritmética; desde logo, a primeira simetria distingue os números em
pares e ímpares; portanto, aplicando a relação fundamental da divisão: dividendo
(D) = divisor (d) x quociente (q) + resto (r), com o menor número natural como
divisor, diferente da unidade, resultam números pares quando o resto é zero (0)
e impares quando o resto é um (1). Numericamente falando; para qualquer número,
distinguem-se as simetrias, em simetria par e simetria impar, conforme o
resultado do resto (0 ou 1) na aplicação da relação fundamental da divisão cujo
divisor é o número dois (2). Por semelhança com as simetrias geométricas, em
que pode coexistir simetria axial bilateral e central circular, também as
simetrias numéricas ímpares podem ter alguma coexistência analógica funcional com
as pares, desde que o divisor, sendo obrigatoriamente um número impar, por
exemplo o número 3, tenha como resto, na relação fundamental da divisão, o
número zero (0). Na realidade, a simetria geométrica axial bilateral é apenas
um caso particular da simetria geométrica central circular, também por
semelhança, a simetria numérica par é apenas um caso particular da simetria
numérica impar. Por analogia comparativa, conclui-se que a simetria geométrica
axial bilateral se correlaciona com a simetria numérica par e a simetria
geométrica central circular se correlaciona com a simetria numérica ímpar. Os
números primos, ou primeiros, são casos únicos e singulares de simetria
numérica ímpar e simetria geométrica central circular, sendo a partir deles que
todas as outras simetrias se originam. Os problemas relacionados com as
simetrias, e com os números primos, têm a sua máxima expressividade nos números
inteiros; porém conforme nos deslocamos para outros corpos numéricos, como por
exemplo o corpo dos números complexos, assim se desloca a abordagem e visão das
simetrias. Um número complexo, quando transposto para o corpo dos números
reais, assume a forma de uma função afim; a representação gráfica de uma função
afim é uma linha recta que, por sua vez, funciona como um eixo de simetria bilateral
relacionada com os números pares mas, cujo declive, a tangente, permite, desde
logo, descrever um ângulo relacionado com a circularidade angular das simetrias
centrais próprias dos números ímpares. Assim, em termos de simetrias
geométricas, a observação topográfica da função afim, representante gráfica dos
números complexos, permite a visualização de topo, ocupando o topo da
respectiva recta representante o ponto central ou centro de simetria central
circular, já a visualização lateral permite observar um eixo de simetria
bilateral. A análise matemática, com o cálculo diferencial e integral, veio
fundir e correlacionar as simetrias geométricas axiais bilaterais com as
centrais circulares assim como as simetrias numéricas pares e ímpares, juntando
a geometria com a aritmética, tornando necessária uma nova teoria dos números
que Patrício Leite desenvolve a partir da primitivação e derivação de funções.
A relação de Euler para os
poliedros convexos, ao verificar: faces (F) + vértices (V) – arestas (A) = 2, já
estabelece um elo de ligação entre a aritmética e a geometria dos poliedros, no
entanto, é possível ir mais longe, avançar mais um pouco, assim, fazendo um
sistema de equações entre a relação de Euler e a relação fundamental da divisão,
é possível avançar no conhecimento axiomático das simetrias matemáticas.
Agora,
na equação da relação fundamental da divisão: dividendo (D) = divisor (d) x
quociente (q) + resto (r) coloca-se o número dois (2) como divisor e o resto
como zero (0) ou um (1) conforme se trabalhe com uma simetria par ou impar, ou
seja, uma simetria axial bilateral ou uma simetria pontual central circular;
por outro lado, na equação da relação de Euler, se trabalharmos com pirâmides,
pode-se substituir o numero de faces pelo de vértices, já que estas são iguais;
finalmente igualando as duas equações do sistema resulta uma expressão em que
os vértices e arestas surgem em função do dividendo e do quociente o que terá implicações
na teoria dos grafos mas também avançará, embora muito pouco, no estudo e
compreensão dos números primos, ou primeiros, cuja simetria numérica única e
geométrica central circular, ou rotacional, faz de cada um destes números uma
irrepetível singularidade.
Considerando portanto o
sistema de equações: faces (F) + vértices (V) – arestas (A) = 2; dividendo (D)
= divisor (d) x quociente (q) + resto (r), ou seja; F + V – A = 2; D = d x q +
r, salienta-se que este sistema pode ser aplicado a qualquer dos sólidos
geométricos poliédricos convexos porém, aplicando aqui apenas às pirâmides e
com o divisor = 2 surgem diferentes fórmulas conforme se considera o resto zero
(simetria numérica par) ou conforme se considera resto um (simetria numérica
impar).
Para resto = 0, vem o seguinte
sistema:
2V – A = 2 com D = 2q,
portanto resolvendo fica Aq = D(V – 1)
Para resto = 1, vem o seguinte
sistema:
2V – A = 2 com D = 2q + 1,
portanto resolvendo, de dois modos distintos, resultam duas fórmulas distintas:
Aq = (D-1)(V – 1) e outra, A = 2(V – D + 2q).
Já antes, com a fórmula de
Patrício, se tinham relacionado as linhas do triângulo de Pascal com as arestas
de grafos baseados em pirâmides, agora é também possível aplicar à relação
fundamental da divisão surgindo as arestas e vértices em função do dividendo e
quociente.
Assim, para uma simetria
geométrica central circular, ou rotacional, e uma simetria numérica ímpar, a
relação de fórmulas toma o seguinte aspecto:
A igualização de simetrias
geométricas e numéricas revela evidência imediata na teoria dos grafos pela
quantificação e realização de cálculos com alguns grafos; no respeitante aos
números primos o avanço será muito pequeno, no entanto é de notar que o relevo
matemático atribuído aos números primos predomina sobretudo para o conjunto dos
naturais e inteiros; os números complexos fazem surgir outro tipo de problemas,
por outro lado deve-se considerar que a estrutura posicional representativa de
um número complexo é analogicamente semelhante a uma função afim. A semelhança analógica
entre a estrutura representante dos números complexos, a relação fundamental da
divisão e a função afim fazem pensar nas relações de proporcionalidade
associadas com as operações aritméticas de multiplicação e divisão, porém,
sabe-se que através de multiplicação e divisão nunca se conseguirá prever ou
encontrar um número primo já que estes surgem, na recta ordenada, por exclusão
e não por inclusão; os números primos não permitem proporcionalidades com correspondência
biunívoca e, em termos de lógica matemática, os números primos não respeitam a
lógica bivalente pois estes surgem sempre através de processos lógicos de
negação e a negação de um número primo origina sempre um número não primo mas,
a negação de um número não primo já não origina sempre um número primo. Assim,
para a compreensão dos números primos, a lógica bivalente terá de ser
substituída por uma lógica dualista com apenas um valor lógico e um processo
lógico em que a negação do valor lógico não origina outro valor lógico mas, a
negação origina, somente, a negação.
PRIMITIVAS, INTEGRAIS,
DERIVADAS E LIMITES DE FUNÇÕES EM SÓLIDOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS
A geometria das figuras e
sólidos geométricos permite encarar a estruturação topológica do espaço, assim
como as respectivas transformações geométricas, pela análise incremental ou
infinitesimal capaz de alterar a forma da figura e sólido de tal modo que lhe é
atribuído um novo nome e uma nova identidade. Para a análise infinitesimal de
funções pode-se dizer que a primitiva ou integral de um ponto origina uma
linha, a primitiva da linha origina uma área, a primitiva da área origina um
volume e assim sucessivamente, tanto no sentido da primitivação, ou integração,
como no sentido da derivação. Em termos da geometria diferencial, com a
respectiva visualização topográfica, as transformações que ocorrem assumem um
paralelismo significativo com a análise infinitesimal das funções do cálculo
diferencial e integral; é assim que, por semelhança com os limites de funções,
e respectivas derivadas, umas figuras ou sólidos geométricos vão sofrendo
incrementos infinitesimais até se transformarem noutros sólidos ou figuras
distintas. Por exemplo, assume-se que um cubo, cujo numero de faces, ou
arestas, sofre incrementos até ao infinito, por analogia com o calculo
diferencial da análise de funções, pois se transforma numa esfera; por
conseguinte o limite ou derivada geométrica do cubo é a esfera e a primitiva ou
integral da esfera é o cubo; já no caso das pirâmides e segundo este raciocínio
analógico do cálculo infinitesimal, pois quando as arestas e as faces aumentam
até ao infinito surge o cone, como um sólido geométrico que ocupa um espaço, porém
na sua base surge o círculo como uma figura geométrica que ocupa uma área;
também aqui, se a derivada da pirâmide é o cone, pois a primitiva ou integral
do cone é a pirâmide.
Este raciocínio puramente
analógico não permite decalcar plenamente a realidade da derivação, e
primitivação, de funções efectuada através da análise infinitesimal para a realidade
da derivação, e primitivação, de sólidos e figuras geométricas; sabe-se pela análise
infinitesimal que as cónicas são curvas ou áreas cujas primitivas sucessivas,
ou integrais, vão corresponder aos respectivos volumes e sólidos geométricos designados
por cones, depois seriam as respectivas primitivas, ou integrais, desses cones
que se poderiam vir a designar por pirâmides, no entanto aqui, por derivação
puramente geométrica topográfica visual designo imediatamente tais integrais, e
primitivas, por pirâmides, com a finalidade de esclarecer e relacionar com os
grafos angulares piramidais de Patrício assim como a aplicabilidade das funções
derivadas e primitivas no apoio fundamentado a uma nova teoria dos números.
Doutor Patrício Leite, 2 de Julho de 2018