O cibermundo e a
cibersegurança ficam, com esta publicação, mais frágeis, um bocadinho mais
fracos e vulneráveis. O propósito deste ensaio, de carácter cognitivo, é
meramente estético, não tem pretensões técnicas no domínio das ciências
matemáticas e computacionais; procura apenas, e tão-somente, usar a estética do
pensamento num encadeamento racional, filosófico, relacionado com padrões
numéricos capazes de explicar a ordem, a ordem primeira, o fundamento de todas
as ordens existentes. Assume-se e aceita-se que algures, na prova pessoal da realidade
vivida, se verifica a coexistência de ordem e desordem, de determinismo
previsível e de caos aleatório; aceita-se que a ordem conhecida, se relaciona e
fundamenta padrões de repetição predeterminados e previsíveis; aceita-se que os
padrões encontrados têm a sua explicação filosófica na estética da
racionalidade matemática com os números primos, como, sendo os primeiros, a
resultar dessa ordem fundamental; porém todos os números assentam numa base
numérica, procura-se então, e explica-se, o fundamento racional matemático de
todas as bases numéricas, encontra-se alguma ordem capaz de explicar a
racionalidade das bases numéricas e verifica-se que há uma certa noção de
continuidade infinitesimal nas bases, essa continuidade tem tradução na análise
infinitesimal com primitivas, ou integrais, e derivadas; mas, a ordem
encontrada nos números primos tem, também, outros padrões; observam-se longas
listas de números primos e verifica-se que, com excepção dos números 2 e 5,
todos os restantes terminam em 1, 3, 7 ou 9 e multiplicando entre si, quaisquer
destes números, pois resulta sempre um número terminado em 1, 3, 7 ou 9;
torna-se então necessário não apenas a procura de uma base numérica adequada
aos números primos mas também encontrar estruturas algébricas abstractas
capazes de fundamentar racionalmente a ordem de novas operações matemáticas;
constata-se que se pode trabalhar com o conjunto dos números primos como uma
totalidade única, assim, com a utilização de matrizes matemáticas podem, não
apenas ser realizadas operações sobre números concretos resultantes da base de
Patrício mas também sobre o conjunto total destes números ou então sobre o
conjunto dos números primos; as matrizes matemáticas foram, e são, muito usadas
nas tecnologias de criptografia e, sobretudo nas designadas tecnologias com
criptografia de chave publica, ou assimétrica, as matrizes de números primos,
mas também dos números da base de Patrício, podem constituir um risco acrescido
para a segurança informática, sobretudo quando acompanhadas com operações como somatórios
e produtórios destas matrizes; também a existência de um número, cada vez
maior, de múltiplos dos números primos, assim como os estudos relacionados com
os cálculos de probabilidades e vários raciocínios de carácter filosófico, mas
também racional, ou até do domínio das crenças emocionais, em relação com os
axiomas, conduzem á constatação imperiosa da finitude dos números primos em
relação com vários paradoxos filosóficos; a finitude dos números primos agrava
o risco de ciberameaças e diminui a segurança das comunicações e transmissões
de dados mas também implica em diferentes agrupamentos com famílias finitas de
números primos relacionadas com os vários múltiplos numa ordem primeira de
carácter teleológico, ou seja, fundamentada no fim e não no princípio; por
conseguinte, fundamentada no fim, ou finitude, dos números primos; se os
números primos são finitos então, terá de existir pelo menos um múltiplo, comum
a todos eles; o múltiplo comum a todos os números primos e, por isso, divisível
por todos eles, será encontrado quando se trabalha com produtórios,
decompostos, ou não, em funções polinomiais, assim como somatórios, sucessões e
progressões, sempre na base numérica de Patrício em cooperação posicional com a
base decimal e com a utilização de novas sequências operacionais definidas pela
álgebra abstracta; por outro lado, se os números primos são finitos e existe,
pelo menos, um múltiplo comum a todos eles, pois também se torna racional que a
disposição numa escala, ordenada crescentemente, de todos os números primos,
implica necessariamente em se encontrar um último número primo; o teorema do
número primo comporta um interessante paradoxo, já que considera os números
primos como naturais mas a função de contagem dos números primos também envolve
os números naturais como variáveis, por outro lado, o paradoxo ainda se torna
mais interessante ao comparar o teorema do número primo com a função de
Patrício, de facto, pelo teorema do número primo chega-se à conclusão que no
extremo infinito dos números naturais existe apenas um número primo, por outro
lado, a função de Patrício, cuja variável Z pode ser qualquer expressão, ou número,
incluindo os primos, quando funcionando em conjunto com a respectiva base
numérica e os números do triangulo de Pascal, permite verificar que o número 1
é precisamente o primeiro da base numérica de Patrício e do triangulo de
Pascal, ou seja, um começa onde o outro acaba numa circularidade paradoxal
resolúvel através das contagens da análise combinatória em matemática discreta,
ou finita, associada à teoria clássica do calculo probabilístico; o fundamento
teleológico e determinístico da ordem primeira fica descrito e conhecido porém,
conhecer os fundamentos da ordem, não significa conhecer a determinação prévia
e exacta do aparecimento de um número primo concreto ao longo de uma sequência
ordenada crescentemente; a terceira linha do triângulo de Pascal, permite
estabelecer uma estética relação de paridade entre uma função obtida através de
raciocínios filosófico matemáticos dedutivos, após inversão entre a base e o
expoente da expressão terminal da função de Patrício, resultando uma igualdade
que relaciona combinações com repetição e simples assim como uma função
exponencial, mas apenas quando, no triangulo de Pascal, n = 3; ora se n = 3 é
um algarismo, ou número primo, pertencente à base numérica de Patrício, pois
também se verifica que a relação de paridade implica na existência de
simetrias, porém, as simetrias sendo, por excelência, o modo mais eficaz de
encontrar padrões de repetição, também, são melhor estudadas e compreendidas a
partir da geometria; é pois, com um esboço geométrico que se termina este
ensaio, deixando em aberto a possibilidade real de encontrar, a muito curto
prazo, o sistema capaz de prever a determinação exacta da sucessão numérica de
números primos concretos, num risco acrescido para a actual cibersegurança do
mundo.
Se agora, por puro
diletantismo cognitivo, for desconsiderada e excluída a dualidade dialéctica
antitética e paradoxal entre a continuidade numérica infinitesimal dos números
reais e a descontinuidade dos números inteiros, numa tentativa de encontrar a
ordem primeira, podem ser efectuadas, em termos da análise funcional,
sucessivas primitivações, ou integrações, deste polinómio que surgirá como uma
função polinomial representativa de qualquer número, assim:
Sendo assim, as letras a e b
designam os algarismos, ou dígitos, de uma determinada base numérica, a partir
dos quais se inicia a complementação; salienta-se que os algarismos ou dígitos,
constituintes dessa base numérica, devem estar previamente dispostos numa
escala ordenada e a complementação segue sucessivamente essa ordem. A letra c
refere-se ao valor do ângulo que pode ocorrer simultaneamente em conjunto com o
resultado dessa operação de complementação.
Sabendo que o conjunto dos números de
Patrício contém o conjunto dos números primos, ou primeiros, (com excepção do 2
e do 5) e que é possível a inter-conversão recíproca entre somatórios,
sucessões e progressões aritméticas obtidas a partir da base numérica de
Patrício com os números da base decimal, pois, torna-se evidente a necessidade
imperiosa de existirem simetrias e respectivos padrões numéricos relacionados
com os números primos, ou primeiros. Esta previsibilidade determinística e
ordenada do aparecimento dos números primos, ao longo de uma escala ordenada,
já antes se tinha verificado para as situações de convertibilidade entre
sequências de produtórios e os múltiplos comuns dos números primos, através do
uso dos números da base numérica de Patrício e dos números da base decimal. Na
verdade, os padrões de repetição numérica que se encontram patentes na ordem,
plasmada e determinada através dos produtórios e dos somatórios, com o uso dos
números de Patrício, não se alteram com o aparecimento dos números primos ao
longo da respectiva escala ordenada; ora se os números primos surgissem de modo
completamente aleatório e imprevisível, seria pois suposto que, essa ordem,
sofresse algum tipo de alteração ou distorção, o que, de facto, não se
verifica, portanto, é de concluir que o aparecimento dos números primos, ou
primeiros, é previsível e determinado, estando incluído na ordem representada
pelos somatórios e produtórios resultantes do uso da base de Patrício. Os
somatórios dos produtórios da matriz de Patrício, permitem a translocação, ou
transposição, das simetrias encontradas nos números primos da base de Patrício para
as simetrias não primas da base decimal. A possibilidade, ainda que não
comprovada, de usar a nova operação algébrica, designada por complementação,
poderia ser útil nas situações dos somatórios de números de Patrício, como
método para agilizar os cálculos já que os números primos, ou primeiros, quando
surgem na escala ordenada, não alteram a ordem, nem os fundamentos da ordem
primeira.
Considerando a figura geométrica da base de Patrício, definida no plano, pois torna-se possível a realização de cálculos em termos de geometria analítica e, depois, também a análise funcional infinitesimal com primitivação, ou melhor, o cálculo integral definindo uma área. A base numérica heterogénea de Patrício apenas tem de respeitar as distâncias entre os algarismos que a constituem pelo que os ângulos entre os lados da figura geométrica podem variar numa trigonometria geométrica, capaz de encontrar simetrias e padrões angulares em relação com os números primos. A formação tridimensional de sólidos geométricos, assim como a visualização pictórica e a planificação desses sólidos em figuras geométricas facilita a captação de simetrias e padrões geométricos que podem ser traduzidos em relações matemáticas determinantes da ordem encontrada na disposição dos números primos ao longo da escala ordenada. Não são apenas envolvidos ramos da matemática como a trigonometria, a geometria e a aritmética mas outras áreas do saber, como a topografia, ou a própria teoria dos grafos, inclusivamente os grafos angulares de Patrício, podem ser estudados a partir desta base heterogénea; por exemplo, se entre as muitas figuras geométricas que se podem construir, forem constituídos triângulos equiláteros e a seguir uma pirâmide, ou quase pirâmide, pois o estudo torna-se facilitado para os grafos angulares de Patrício em relação com os números primos, ou primeiros.
É a junção das bases, decimal
com a base heterogénea de Patrício, que torna fundamentalmente possível uma
análise e compreensão mais facilitada do modo como os números primos surgem e
se dispõem ao longo dos números naturais, ou inteiros.
Filosofia introdutória da ordem
Algures, na racionalidade
conceptual das estruturas cognitivas humanas, encontra-se a dualidade paradoxal
simétrica analógica como fundamento filosófico matemático da ordem primeira. Se
o estranho paradoxo dualístico de conceber num só ente identitário o ser e o
seu contrário como, o sempre e o nunca, o tudo e o nada, o ser e o não ser, a
ordem e a desordem; resultante da simetria etimologicamente analógica, é pois
fundamentalmente, nessa analogia paradoxal simetricamente dualista, que se
encontra o fundamento filosófico de toda a ordem matematicamente racional.
Os números primos, ou
primeiros, parecem conseguir escapar a uma cardinalidade capaz de fundamentar a
ordinalidade da ordem primeira porém, as simples noções conceptuais,
paradoxalmente identidades dualísticas de, maior e menor, permitem
imediatamente a elaboração e colocação ordenada dos números primos numa escala
numérica.
Sistemas e bases numéricas
Em termos das teorias da
comunicação, mas também das ciências cognitivas, os números funcionam como
signos linguísticos com um significante, designado habitualmente por algarismo,
e um significado ou conceito abstracto que se forma na mente de cada pessoa. Uma
base numérica é um conjunto de significantes, ou algarismos. A base numérica mais
frequentemente encontrada, a nível mundial, é a base dez, portanto constituída
por dez algarismos diferentes para representar todos os números.
Com o avanço das ciências da
computação e a compreensão de que, em termos de software, os processadores
funcionam numa lógica digital binária, tornou-se frequente o estudo e
compreensão dos sistemas numéricos mas também a conversão de números entre
diferentes bases numéricas com predomínio para a decimal, hexadecimal, octal e
binária.
Bases numéricas posicionais e não posicionais
Tradicionalmente as bases
numéricas têm sido agrupadas em posicionais, se o valor de cada algarismo
depende da posição que este ocupa na constituição do respectivo número, e não
posicionais para as restantes situações. Apesar desta classificação tradicional
dominante, as bases numéricas também podem ser classificadas, com base na
distância relativa entre algarismos sucessivos em, homogéneas e heterogéneas.
Bases numéricas com distâncias homogéneas e heterogéneas
As bases numéricas cujos
algarismos, sucessivamente ordenados, mantêm sempre a mesma “distância”
sucessiva dizem-se homogéneas; é o caso dos sistemas numéricos tradicionais
cujos algarismos das bases, distam ordenada e sucessivamente, entre si, de uma
unidade mas também se podem subdividir outras bases homogéneas com “distâncias”
sucessivas de duas unidades como por exemplo nos subconjuntos dos números pares
ou então no subconjunto dos números ímpares. As bases numéricas cujos
algarismos sucessivamente ordenados não têm sempre a mesma “distância” relativa
e sucessiva entre si dizem-se heterogéneas.
Conjunto dos números pares e impares como bases numéricas homogéneas
Em termos da álgebra abstracta
é possível extrair, da base numérica decimal, dois conjuntos ou grupos de
números: o conjunto dos números pares com o qual se podem efectuar as operações
de adição, subtracção, multiplicação e divisão constituindo uma estrutura
algébrica; mas também o conjunto dos números impares através do qual se
constitui uma estrutura algébrica com a qual se podem efectuar operações de
multiplicação e divisão. È pois, possível, extrair bases numéricas homogéneas
com apenas números pares ou impares. As bases numéricas apenas para números
pares, ou ímpares, extraídas da base decimal, são homogéneas porque a distância
entre dois dígitos, ou algarismos sucessivos, dispostos numa escala ordenada é
sempre de duas unidades.
Fórmula geral dos números no sistema posicional com bases numéricas homogéneas
No sistema numérico
posicional, constata-se que, todo e qualquer número, pode ser representado, por
um polinómio com a seguinte fórmula geral:
N = an-1bn-1 + an-2bn-2 + …
+ a1b1 + a0b0 + a-1b-1
+ a-2b-2 + … + a-mb-m
Com:
N = um qualquer número
a = algarismos, dígitos ou
coeficientes do número
b = base do sistema numérico
n = quantidade de dígitos ou
algarismos inteiros
m = quantidade de dígitos ou
algarismos fraccionários
Tornando a representação polinomial
mais compacta e apenas para números inteiros surge a seguinte fórmula:
Sendo a primitivação e a
derivação movimentos da analise matemática, com sentidos opostos, pois a
derivação e a primitivação, ou integração indefinida, poderiam ser
sucessivamente efectuadas no sentido de encontrar os fundamentos da ordem
primeira plasmada nos números. A integração definida, num determinado
intervalo, irá fornecer uma interessante e curiosa perspectiva dos representantes
numéricos.
Conjunto dos números primos e bases numéricas heterogéneas
Entre as bases numéricas
heterogéneas, que são provavelmente infinitas, há uma relacionada com os
números primos, ou primeiros, que ganha destaque.
Se procedermos a uma reflexão
cuidadosa sobre os números primos concluímos que, com excepção dos números dois
(2) e cinco (5), todos os restantes números primos terminam em, um (1), três
(3), sete (7) e nove (9).
Se agora considerarmos estes
quatro algarismos ordenados de forma crescente como um sistema numérico de base
quatro pois compreendemos, imediatamente, que entre um (1) e três (3) distam
duas unidades; entre três (3) e sete (7) distam quatro unidades; entre sete (7)
e nove (9) distam duas unidades e entre nove (9) e, novamente e ciclicamente,
um (1) distam duas unidades; trata-se pois de um sistema numérico heterogéneo
de base quatro.
Em termos da álgebra
abstracta, os fundamentos de sistemas numéricos homogéneos permitem realizar
operações aritméticas como soma, subtracção, multiplicação e divisão; sistemas
numéricos com bases heterogéneas permitem a realização de outras operações
matemáticas definidas a partir das estruturas algébricas.
Relações entre bases numéricas homogéneas e heterogéneas
Por semelhança com as correspondências
que podem ocorrer entre bases numéricas meramente homogéneas, também é possível
efectuar operações de relações entre bases numéricas homogéneas e heterogéneas.
Se em bases homogéneas como, por exemplo, a base decimal e a binária, é
possível efectuar correspondências entre números e respectivas operações
matemáticas; pois também se podem efectuar relações e correspondências entre
bases homogéneas e heterogéneas como, por exemplo, entre a base decimal e a
base dos números primos, esta última fundamentada nos algarismos, ou dígitos,
1, 3, 7 e 9 pelo que destas correspondências e relações surge aquela que
designo por base numérica heterogénea de
Patrício ou simplesmente base
numérica de Patrício através da qual é possível realizar operações
matemáticas, como a multiplicação, que embora seja uma operação binária
fundamentada na base homogénea decimal, quando realizada através da base numérica de Patrício, mantém as mesmas
propriedades que lhe estão associadas à base decimal.
Álgebra abstracta
Com o sistema numérico
heterogéneo de base quatro, designado base
numérica de Patrício e constituído pelos algarismos, ou dígitos, 1, 3, 7 e
9, formam-se todos os números primos (excepção dos números 2 e 5); os números
primos, por semelhança com os números pares ou ímpares, constituem um conjunto
de números. Sabemos da álgebra abstracta que um conjunto mais uma operação
binária constitui estruturas algébricas simples como os semigrupos, monóides,
grupoides, quase grupos e grupos.
A conjunção entre números
provenientes da base numérica homogénea decimal com os da base numérica heterogénea de Patrício permite definir o conjunto
dos números terminados em 1, 3, 7 e 9; deste conjunto, designado números de Patrício, alguns são números
primos ou primeiros. O conjunto dos números
de Patrício, portanto terminados em 1, 3, 7 e 9 pode ser associado com uma
operação binária, a multiplicação, constituindo uma estrutura algébrica. As
propriedades da multiplicação, como operação binária, sobre o conjunto dos números de Patrício, números terminados
em 1, 3, 7 e 9, não se alteram, pois mantém-se a propriedade comutativa,
associativa, distributiva, o elemento neutro e o fechamento já que o produto de
dois números terminados em 1, 3, 7 ou 9 será sempre um número terminado em 1,
3, 7 ou 9; portanto pertencente ao conjunto dos números designados por números de Patrício.
Em termos da álgebra abstracta
é agora possível definir duas novas operações matemáticas capazes de permitir
futuros avanços, estudo fundamentado e compreensão, da estrutura algébrica da ordem
primeira; são elas a suplementação e a complementação.
Suplementação como nova operação algébrica
A suplementação é uma nova
operação algébrica que consiste, muito simplesmente, em partindo de qualquer
número de um qualquer sistema numérico posicional, lhe acrescentar um
suplemento, ou seja, consiste muito simplesmente em colocar nesse número, numa
determinada posição, por exemplo, na sua posição mais à direita possível, um ou
vários algarismos ou dígitos, da base
numérica heterogénea de Patrício portanto 1, 3, 7 ou 9, transformando esse
número num dos números de Patrício
que terminando em 1, 3, 7 ou 9 pode, ou não, ser número primo ou primeiro.
Complementação como nova operação algébrica
Para compreender a
complementação, como uma nova operação que ajuda a fundamentar uma estrutura
algébrica, é necessário considerar que em termos da notação posicional, os
números surgem como uma sucessão dos algarismos da respectiva base numérica. Em
qualquer base numérica, sucessivamente ordenada, é possível escolher um par dos
seus algarismos, ou dígitos, designado complementar; é este par complementar
inicialmente escolhido que funciona como centro de simetria; torna-se evidente
que a simetria por complementaridade entre algarismos, pode ser voluntariamente
escolhida e determinada; assim, a partir deste ponto inicial de simetria,
voluntariamente escolhido, todos os outros algarismos da base ordenada terão
uma correspondência, por complementaridade, desde que seja seguida a ordem
sequencial escalada dos algarismos dessa base.
A operação de complementação
pode ocorrer sobre simples algarismos, ou dígitos, de uma qualquer base
numérica posicional mas também sobre quaisquer números dessa base e os
resultados podem ser expressos, ou não, sobre a forma de uma matriz algébrica; por
conseguinte, a operação complementação não diz apenas respeito aos algarismos e
números resultantes de uma base numérica mas também à sua disposição em matrizes,
às operações de complementação com matrizes assim como as várias operações de
complementação relacionadas com quaisquer outras estruturas algébricas ou
matemáticas. A operação de complementação, enquanto estrutura posicional, relaciona-se
intrinsecamente com a formação de ângulos, isto é, com a angularidade resultante
da rotação, ou posição angular, entre os resultantes complementares; esse
ângulo pode assumir qualquer valor.
EXEMPLO EXPLICATIVO
Vamos considerar o tradicional
sistema posicional decimal, portanto a base 10, com 10 algarismos, ou 10 dígitos,
como base de partida. Os algarismos deste sistema estão ordenados, pelo valor
da sua cardinalidade, numa escala crescente, ou decrescente.
Por escolha voluntária
decidimos que o centro de simetria, na operação complementação, seria 0 – 9; a
partir daqui, tendo em atenção a sequência ordenada de todos os algarismos
desta base, surgem todos os pares complementares, assim: 0 – 9; 1 – 8; 2 – 7; 3
– 6; 4 – 5; o respectivo ângulo, também voluntariamente escolhido, é de zero
graus. Se agora fizermos incidir a operação de complementação sobre um qualquer
número, por exemplo 1963, pois o seu número complementar, para zero graus de
rotação, será 8036; agora, a disposição representativa destes dois números
complementares pode ser efectuada através de uma matriz de 2 por 4, para 0
graus de rotação, ou então de 4 por 2, para 90 graus de rotação.
O símbolo da operação complementação
A operação complementação pode
ser simbolizada pelo símbolo do ângulo com os dois algarismos da complementação
inicialmente escolhida. O símbolo do ângulo significa que pode existir
complementação associada com rotação dos respectivos números complementares, essa
rotação assume o valor de determinado ângulo.
Quando os números
complementares são representados por matrizes, estas últimas podem ter os seus
termos individuais dispostos de modo diferente, conforme o respectivo ângulo de
complementação; essa disposição angular altera-lhes as linhas e colunas e, por
conseguinte, também os resultados das operações matemáticas em que podem estar
envolvidas.
Complementação entre bases numéricas homogéneas e heterogéneas
Qualquer operação algébrica de
complementação pode ser definida e efectuada tanto dentro da mesma base
numérica, que pode ser homogénea ou heterogénea, como também entre diferentes
bases numéricas.
Se considerarmos a base numérica heterogénea de Patrício
portanto com os algarismos 1, 3, 7 e 9, cujos complementares da base decimal,
serão respectivamente 8, 6, 2 e 0 (desde que o par de complementares escolhido
como ponto de simetria seja 0 – 9 e o ângulo de complementação seja zero graus)
pois então, após a complementação, qualquer número primo, terminado em 1, 3, 7
ou 9 passará a terminar em 8, 6, 2 ou 0, portanto todos os números primos serão
transformados em números com divisores; atenção que as operações de adição,
subtracção, multiplicação e divisão não são biunívocas nem automaticamente
convertíveis entre números complementares pelo que, quando realizadas numa base
ou sistema numérico, não se convertem automaticamente para a outra base ou
sistema numérico. Este tipo de raciocínio é, no entanto, de significativa
utilidade já que a complementação, mas também a suplementação, não têm de ser
efectuadas para toda a extensão sucessiva de algarismos ao longo de um número
mas podem, apenas e tão-somente, ser efectuadas para parte desse número, por
exemplo, para o algarismo, ou algarismos, posicionados mais à direita do
número, o que não só facilita os cálculos como também permite avanços no
sentido de descobrir e compreender a ordem primeira.
Matrizes matemáticas
Chegados a este ponto sintetiza-se
que, por intermédio de uma quase - ordem, ou seja, há uma ordem rudimentar pela
qual é possível designar ou nomear algarismos, através de signos linguísticos; depois
uma ordem mais avançada já permite agrupar esses algarismos em bases numéricas
que podem ser, ou não, posicionais; de seguida os algarismos são colocados na
respectiva escala ordenada dessas bases posicionais que serão categorizadas em
homogéneas ou heterogéneas. Também no domínio das operações matemáticas se acrescentam,
às tradicionais operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão, mais
duas operações; a suplementação e a complementação. Por diletantismo
abordam-se, de modo leviano e passageiro, em termos de análise matemática, as
primitivas ou integrais e respectivas derivadas do representante polinomial de
qualquer número numa base numérica posicional, mas avança-se rapidamente para a
compreensão das estruturas algébricas abstractas associadas a uma base numérica
heterogénea, designada base numérica heterogénea
de Patrício que, em conjunto com os respectivos números, se torna
fundamental para a compreensão da ordem inerente aos números primos, ou
primeiros.
Continuando:
Com os quatro algarismos (1,
3, 7 e 9) da base numérica heterogénea
de Patrício, com os respectivos conjugados entre esta base numérica e a
base decimal mas também com os complementares da base numérica de Patrício,
entre si próprios, é possível criar matrizes. Estas matrizes são importantes já
que permitem compreender e realizar operações matemáticas, em simultâneo, com
todos os algarismos capazes de representar o conjunto no qual está incluído o
conjunto dos números primos (excepção para o 2 e 5).
Pode-se observar que, nestas
matrizes, designadamente nas matrizes quadradas, de ordem 2, a soma dos
elementos da diagonal principal é igual à soma dos elementos da diagonal
secundária sendo igual a 10 para a base numérica heterogénea de Patrício;
também nesta base a soma de todos os elementos, da matriz, é igual a 20.
Sobre estas matrizes quadradas
e complementares podem ser realizadas várias operações matemáticas como, por
exemplo, a adição:
A adição da matriz da base de
Patrício com a respectiva complementar do sistema decimal por complementaridade
0 – 9 e ângulo de valor zero, tem como resultado uma matriz com todos os
elementos iguais a nove.
Importância das matrizes dos números primos
As matrizes têm tido, de um
modo geral, uma ampla aplicação, tanto nas ciências naturais como nas humanas.
Também nas ciências da computação a sua utilidade é enorme sendo utilizadas em
várias áreas, incluindo a criptografia, porém o desenvolvimento de computadores
com processadores cada vez mais potentes obriga a uma sofisticação cada vez
maior dos métodos de encriptar dados, no sentido de manter elevada a segurança
da informação. A criptografia actualmente usa-se nas várias áreas do poder
político, económico e militar, ou seja, sempre que se manifeste necessária uma
comunicação ou transmissão sigilosa de dados. Os algoritmos criptográficos de
chave simétrica são habitualmente mais incómodos e fáceis de decifrar por isso,
têm surgido, algoritmos assimétricos também designados de chave pública; alguns
dos, actualmente, mais utilizados algoritmos de criptografia são assimétricos e
baseados nos números primos pela dificuldade acrescida que isso causa em
descobrir o código de desencriptação. As matrizes, que sempre tiveram utilidade
nesta área da actividade humana, são agora, aqui, associadas aos números primos
no sentido de promover o desenvolvimento das ciências da encriptação.
Compreende-se que o estudo e aplicação das matrizes de números primos, quando
efectuados por equipas de investigação, desenvolvimento e espionagem, ao nível
dos grandes estados e empresas multinacionais, diminuam, numa primeira fase, a cibersegurança
mundial, mas também, é notório que o desenvolvimento tecnológico de
computadores quânticos, com elevadíssima capacidade de processamento dos dados,
promove esse risco acrescido. Acredita-se que a integração, entre os fundamentos
da ordem primeira e a computação quântica, após o reboliço inicial, caminhará
para um mundo cada vez mais seguro em termos da cibersegurança.
Fórmula geral dos números aplicada aos primos ou primeiros
A aplicação da fórmula geral
dos números, no sistema posicional, descrita acima, vai agora ser aplicada para
cada um dos algarismos, portanto 1, 3, 7 e 9, constituintes dos números
primeiros ou primos naturais (com excepção de 2 e 5), assim, aplicando a
fórmula N = an-1bn-1 + an-2bn-2
+ … + a1b1 + a0b0 vem:
Para qualquer número
terminado em 1 resulta:
Número terminado em 1 = an-1bn-1 + an-2bn-2
+ … + a1b1 + 1
Para qualquer número
terminado em 3 resulta:
Número terminado em 3 = an-1bn-1 + an-2bn-2
+ … + a1b1 + 3
Para qualquer número
terminado em 7 resulta:
Número terminado em 7 = an-1bn-1 + an-2bn-2
+ … + a1b1 + 7
Para qualquer número
terminado em 9 resulta:
Número terminado em 9 = an-1bn-1 + an-2bn-2
+ … + a1b1 + 9
Com a aplicação desta fórmula
surge um polinómio representante de todo e qualquer número natural terminado em
1, 3, 7 e 9, nos quais se incluem os números primos. Este polinómio
representante dos números pode ter outros modos de apresentação.
Fórmula geral dos números, em somatório, aplicada aos primos ou
primeiros
Tornando a representação
polinomial mais compacta, com apresentação em somatório, e aplicação aos
números primos naturais, vem:
A aplicação de somatórios
permite apresentar de forma mais compacta e simplificada os quatro grupos de
polinómios representantes de todos os números terminados em 1, 3, 7 e 9.
Matriz dos números primos como uma matriz de somatórios
A matriz que contém os
somatórios representantes de todos os números terminados em 1, 3, 7 e 9
designada Matriz de Patrício, é uma
matriz quadrada que contém também os números primos já que o conjunto dos
números primos está contido no conjunto dos números terminados em 1, 3, 7 e 9.
Produtórios com a matriz de Patrício
A matriz de Patrício apresenta um conjunto de somatórios que
representam um conjunto de polinómios que, por sua vez, representam números
terminados em 1, 3, 7 e 9. Sendo uma matriz quadrada torna-se possível realizar
operações de multiplicação com outras matrizes quadradas, representantes dos
números deste conjunto, no entanto, a formalização concreta torna-se difícil em
termos de abstracção algébrica, porém, mais difícil ainda ao operar com
produtórios.
Somatórios com a matriz de Patrício
É possível realizar a soma
sucessiva e sequencial das matrizes de Patrício, ou seja, funciona como uma
soma de somatórios de polinómios representativos dos números.
Síntese conceptual sobre produtórios e somatórios realizados com a matriz de Patrício
Síntese conceptual sobre produtórios e somatórios realizados com a matriz de Patrício
A realização de produtórios e
somatórios, assim como produtórios de somatórios e somatórios de produtórios,
com a base e matriz de Patrício, revela padrões numéricos muito interessantes
que, no caso dos somatórios poderá envolver sucessões, sobretudo aritméticas;
no caso dos produtórios surgem repetições sucessivas do produto da base inicial
que, por surgirem de forma cíclica e repetitiva, manifestam padrões de
repetição envolvendo os números primos na compreensão da ordem primeira. Mais
adiante serão efectuados cálculos concretos com somatórios e produtórios simples
envolvendo a base de Patrício e revelando padrões de repetição numérica que conduzem
à conclusão de uma ordem paradoxalmente finita para a compreensão dos números
primos ou primeiros.
DEMONSTRAÇÃO DA FINITUDE DOS NÚMEROS PRIMOS OU
PRIMEIROS
Considerações e reflexões sobre os números primos
Nas demonstrações, cálculos e
argumentos, será usada a base numérica de Patrício mas também a decimal, tanto podendo
ocorrer em simultâneo como em separado. Serão usadas matrizes dos algarismos
dessas bases mas também dos números dos respectivos conjuntos numéricos. Será
dada preponderância ao trabalho com números naturais mas pode-se avançar
automaticamente para os reais e regressar imediatamente aos naturais. Serão
referidas as operações matemáticas tradicionais, como adição, subtracção,
multiplicação e divisão, mas também as novas operações aqui definidas algebricamente
como suplementação e complementação. Serão aceites erros por meros lapsos de
linguagem e escrita mas também erros sistemáticos relacionados com a falta de
preparação matemática assim como com o cansaço e fadiga que estas coisas acarretam.
Será usada argumentação de natureza matemática mas também da natureza mental,
humana, assim como, filosófico – racional.
Afirmação de Patrício: Com excepção da unidade (número um) TODOS OS NÚMEROS
TERMINADOS EM 1, 3, 7 e 9 OU SÃO PRIMOS OU SÃO MULTIPLOS DE PRIMOS.
Demonstração probabilística da finitude dos números primos
Considerando a teoria das
probabilidades e a respectiva definição clássica de probabilidade vem:
Probabilidade = Número de casos favoráveis /
Número de casos possíveis.
Se restringirmos o conjunto
dos números naturais apenas ao conjunto dos números terminados em 1, 3, 7 e 9,
portanto números de Patrício, que podem, ou não, ser primos; podemos agora
subdividir este conjunto no conjunto dos números primos e nos restantes, assim
fica:
primos = conjunto dos números
primos
conjunto total = conjunto dos
números primos e não primos, terminados em 1, 3, 7 e 9.
Probabilidade de ocorrência de
um número primo = primos / conjunto
total
Explicação: Quando ocorre um
número primo, os seus múltiplos, também terminados em 1, 3, 7 e 9, são em
quantidade muito maior pelo que a quantidade de números primos presente no
conjunto total decresce até se tornarem ausentes, porém concluindo, tornam-se
ausentes porque são em quantidade finita.
Paradoxo probabilístico dos números primos
Considerando a definição
clássica de probabilidades como Probabilidade de ocorrência de um número primo
= número de casos de números primos /
(número de casos de números primos + número de casos de múltiplos de primos),
torna-se evidente que se os números primos tivessem infinitos múltiplos, então
o primeiro número primo que ocorresse esgotaria a probabilidade de futuras
ocorrências já que o denominador da fracção correspondente à definição de
probabilidades seria infinito e por conseguinte o resultado da fracção seria
zero; ora isto para apenas um número primo, agora imagine-se infinitos números
primos, então os seus múltiplos seriam infinitos, de infinitos, de infinitos, …
ou seja, … uma infinidade de infinitos, e sempre, … com ausência de números
primos já que num conjunto infinito de números não primos, também não pode
estar contido o conjunto dos números primos, pois, o infinito preenche esse
conjunto de números não primos. O absurdo a que a racionalidade deste paradoxo
nos conduz, obriga-nos a aceitar a finitude dos números primos.
Paradoxo da infinita indeterminação da probabilidade dos números primos
Se considerarmos que os
números primos são infinitos e os restantes números (naturais ou inteiros)
também são infinitos, então a probabilidade de ocorrência de um número primo
torna-se indeterminada, ou seja:
Probabilidade de ocorrência de
um número primo = número de casos de números primos / (número de casos de números primos + número de casos dos números
restantes) = infinito / infinito,
ora sabe-se que infinito / infinito
= indeterminado ou indefinido.
A prática demonstra sempre e
continuadamente que conforme se caminha para o infinito, conforme nos
deslocamos, ao longo dos números naturais, para o infinito, pois a quantidade de
números primos que ocorre é cada vez menor; a distribuição das frequências de
ocorrência de um número primo decresce conforme se caminha para o infinito; mas
tendo em atenção a estatística, com as leis dos grandes números e as
frequências de ocorrência, designadamente a frequência relativa, permite
estimar a probabilidade de ocorrência de um número primo, que decresce
continuamente até se anular; isto em contraste paradoxal com a fracção
probabilística, infinito / infinito
= indeterminado. Portanto, por redução ao paradoxo do absurdo, os números
primos têm de ser finitos.
Múltiplos de números primos na base de Patrício
Comparando o trabalho mental
realizado com os múltiplos da base decimal com o trabalho na base de Patrício,
conclui-se que a criação e ensino de uma tabuada respectiva iria facilitar a
realização dos cálculos necessários, entretanto, considerando a base de
Patrício, constituída pelos algarismos primos 1, 3, 7 e 9, e que todos os
números provenientes desta base, em cooperação posicional com a base decimal,
ou são primos ou múltiplos de números primos, pois torna-se cognitivamente racional
que a distribuição da frequência de ocorrência de números primos decresça, ou
diminua continuamente, conforme se caminha em direcção ao infinito; de facto, todas
as vezes que ocorrer um número primo ele vai ter imensos múltiplos, todos a
terminar nos algarismos 1, 3, 7 e 9, já que multiplicando um número terminado
em 1, 3, 7 ou 9 por outro número terminado em 1, 3, 7 ou 9 tem como resultado
um número que, por sua vez, também termina em 1, 3, 7 ou 9; depois há os
múltiplos comuns e os múltiplos dos múltiplos comuns, e assim sucessivamente, todos
nesta base, todos a terminar nos algarismos 1, 3, 7 e 9 portanto, como os
números primos terminam em 1, 3, 7 e 9 e a quantidade destas terminações
numéricas vai sendo, cada vez mais, ocupada por números não primos, pois então
ela vai escasseando para os números primos que, por isso, se tornam cada vez
mais raros, isto é, ocorrem cada vez menos até desaparecerem, até deixarem de
ocorrer; ou seja, até terminarem, até acabarem, por isso os números primos são
finitos.
Mentalidade emocional da finitude dos números primos
Há nos fundamentos culturais
do raciocínio humano uma certa atractividade romântica, emocional, pelo conceito
de infinito; também por aprendizagem vicariante e instituição de reflexos
condicionados, é frequente as pessoas, ainda que sem pensamento ou reflexão prévios,
afirmarem, por exemplo, que os números primos são infinitos porque pertencem
aos números naturais e os naturais são infinitos; ora, nada disso se consegue
demonstrar, ou provar, nem uns, nem outros, nem a relação entre ambos. Ao longo
da história da matemática, todos aqueles que provaram, ou demonstraram, que os
números primos são infinitos foram pessoas atraídas emocionalmente pelo
conceito de infinito e que, por isso, sempre partiram da crença ou convicção
emocional básica nesse infinito; chamaram axiomas aos seus pontos de partida
porém, todos esses ditos axiomas estavam, estão, e estiveram inquinados à
partida, havia, e há, sempre uma crença básica e fundamental que ofuscava, e
ofusca, a mente humana e conduzia, e conduz, a uma falsa sensação da infinitude
dos números primos; depois, por efeitos da autoridade que essas pessoas
exerceram, a transmissão das suas demonstrações nunca foi questionada até as
bases fundamentais dessa crença, infundada e irracional, no infinito e assim,
progrediu o desenvolvimento de uma cultura do infinito quando, na verdade, os
números primos são, inequivocamente, finitos. Na verdade, a axiomática
dogmática da crença irracional no infinito, nunca foi demonstrada, nunca
ninguém demonstrou a racionalidade lógica, dedutiva, indutiva ou qualquer
outra, da existência do infinito. Por outras palavras, nunca ninguém demonstrou
que o infinito é infinito.
Filosofia dualística finitude / infinitude
A etimologia da palavra,
infinito, surge como uma forma de negação daquilo que é finito, porém, aquilo
que se nega é o finito, é exactamente o finito que se está a negar, aquilo que
se nega é exactamente aquilo que se sabe que existe, e por isso se pode negar,
aquilo que não se sabe se existe, também se não pode negar; é por isso que os
defensores das ideias de infinito, apenas negam o que sabem, com toda a
certeza, que existe, o finito. Provavelmente tudo começou quando o homem,
desconhecendo o fim de alguma coisa, ou objecto concreto, afirmou o seu
infinito porém, com a generalização deste conceito ele ganhou foros de
cidadania passando a envolver crenças irracionais, inclusivamente, de carácter
místico e religioso. O infinito é, meramente, desconhecido e não se consegue
provar, por conseguinte, dever-se-ia substituir, no campo da matemática, a
terminologia infinito por desconhecido. Obviamente que em matemáticas discretas
se admite a descontinuidade, onde há descontinuidade existe fim, por
conseguinte, no conjunto dos números naturais, mas também nos inteiros, a
descontinuidade implica a finitude, por isso se afirma que, também
filosoficamente, os números primos são finitos.
Em termos dualísticos, o
conceito matemático de infinito, tem abrangido a simetria de duas operações: a adição
e a divisão. A adição, assim como a subtracção, envolvem o infinito com as
respectivas sucessões de números discretos sem fim; a multiplicação, assim como
a respectiva divisão, envolvem o infinito quando consideram, por exemplo, a
divisão em segmentos cada vez mais pequenos até ao infinitamente pequeno, dando
origem à continuidade da análise infinitesimal. Esta continua descontinuidade
aditiva dos números discretos em associação com os múltiplos da multiplicação,
fundamenta um paradoxo dualístico irredutível dos números primos, desde a sua
definição, unicamente resolúvel através da sua finitude.
Determinismo da ordem probabilística no infinito
Considerado que o jogo de
probabilidades, tanto, assumindo a definição clássica como na estatística,
resulta do acaso e que, no acaso, não existe uma ordem predeterminada e capaz
de alterar a probabilidade de ocorrência do caso, por conseguinte, por exemplo,
na amostra, a probabilidade de ocorrência; a aleatoriedade significa
precisamente que não existe determinismo prévio mas apenas e puramente acaso,
ou seja, sem qualquer causa determinante, portanto os resultados surgem única e
exclusivamente em função do acaso e não de qualquer ordem determinística previamente
estabelecida. Assim, na aleatoriedade do acaso não existe ordem.
Considerando que não que se
conhece qualquer ordem pré estabelecida que determine o aparecimento de números
primos ao longo da escala crescente de números naturais e, por isso, eles
surgem aleatoriamente, surgem ao acaso.
Considerando que, na
distribuição dos números primos, conforme caminhamos ao longo dos números
naturais, de forma crescente, os números primos surgem cada vez menos, surgem
mais escassamente, são cada vez em menor quantidade; então no infinito não
surgem números primos, não aparecem números primos; porém, se eles surgissem
aleatoriamente ao acaso, sem qualquer ordem pré determinada, ou pré
estabelecida, então, em termos do raciocínio lógico probabilístico, na
imensidão do infinito não existiria aleatoriedade, não existiria acaso; na
imensidão do infinito tudo estaria ordenado, na imensidão do infinito, o
determinismo seria completo.
Aqui, o que se procura são os
fundamentos da ordem primeira, os fundamentos da ordem que determinam o
aparecimento dos números primos, ou primeiros; se os fundamentos da ordem
primeira não se encontram nos antecedentes, isto é, se conhecidamente os
números primos não têm divisores (além de 1 e o próprio número) pois têm
múltiplos, portanto, se a ordem primeira não se encontra nos antecedentes e os
números primos surgem ordenadamente, então a ordem primeira tem de estar nos
consequentes, nos múltiplos dos números primos; a ordem primeira tem um
carácter teleológico. A ordem primeira organiza-se, não do princípio para o
fim, mas sim do fim para o princípio. A noção de que a ordem tem um carácter
decrescente, diminui quando se caminha dos antecedentes para os consequentes, diminui
quando se caminha do princípio para o fim, também se verifica com a designada entropia
(desordem ou irreversibilidade) de sistemas termodinâmicos; aqui, em termos de
raciocínios lógico probabilísticos, verifica-se com a sucessão dos números
primos, ou primeiros.
Definição paradoxal dos números primos
Desde a sua definição que os
números primos comportam um paradoxo; considerar primo, ou primeiro, aquele
número que apenas admite como divisores a si próprio, e à unidade, implica imediatamente,
conhecer a regra, ou identidade fundamental da divisão, segundo a qual:
dividendo = divisor X quociente + resto, portanto, o antagonismo paradoxal
entre as simetrias aritméticas e geométricas, da adição e da multiplicação,
está presente nos números primos, por definição, desde a sua origem. Esta regra,
esta identidade fundamental da divisão, é o fundamento de todas as relações de
proporção encontradas na matemática ou, como corolário, pode-se também afirmar
que grande parte do pensamento matemático se desenvolveu em torno dos números
primos e das várias relações matemáticas de proporcionalidade; não foi apenas a
proporcionalidade directa e a inversa, com que tudo começou, seguiram-se as
relações de proporcionalidade em trigonometria, depois continuaram com as
funções exponenciais e as logarítmicas e muitas outras se descobriram e
continuam a desenvolver.
Os números primos e a analogia da proporcionalidade
Considerando a regra, ou
identidade, fundamental da divisão: dividendo = divisor X quociente + resto,
rapidamente se compreende que número primo é todo aquele cujo resto é diferente
de zero, para todos os divisores diferentes dele próprio e da unidade, portanto
diz-se que não tem tais divisores. Pode-se agora, generalizar e estender, por
analogia conceptual, esta expressão a todas as estruturas algébricas correlatas,
de tal modo que quando numa qualquer estrutura algébrica, numa função
matemática de qualquer natureza, numa fracção, num quociente, num rácio ou numa
razão, enfim, sempre que exista um numerador
e um denominador, se o resto,
transposto para os números naturais, ou inteiros, for igual a zero, pois não se
trata de um número, ou expressão de natureza prima, se o resto não for igual a
zero pois trata-se de um número, ou expressão, de natureza prima, ou primeira.
É considerando esta generalização
da analogia conceptual que, após reflexão aprofundada e efectuando as
necessárias correcções de proporcionalidade calculada, se afirma a finitude dos
números primos a partir da definição clássica de probabilidade: Probabilidade =
Número de casos favoráveis / Número
de casos possíveis; já que tendo em atenção o conjunto dos números primos e a
frequência relativa da estatística de ocorrência de um numero primo, a
probabilidade tende para zero quando se caminha para o infinito, ou seja, no
infinito há zero ocorrências de números primos, mas se há zero ocorrências de
números primos no infinito, então não há números primos no infinito, se não há
números primos no infinito então os números primos são finitos.
Proporcionalidade em bases numéricas heterogéneas
As relações de
proporcionalidade dependem das operações matemáticas de adição, subtracção,
multiplicação e divisão; também é sabido que toda e qualquer relação de
proporcionalidade só têm sentido a partir de bases numéricas cujas distâncias
entre os seus algarismos ordenados sejam homogéneas, é isto que ocorre na base
decimal; a base numérica de Patrício, constituída ordenadamente pelos
algarismos 1, 3, 7 e 9, é heterogénea já que as distâncias entre algarismos podem
ser de duas ou quatro unidades; são pois necessárias, outras operações
matemáticas, como a complementação e a suplementação para lidar com os números
primos, no entanto, a cooperação entre a base de Patrício e a decimal, torna
possível a realização de todas as operações, relativizando a noção de número
primo e obrigando a admitir a sua finitude.
Sucessões e limites de sucessões envolvendo números primos
Ainda tendo em atenção a
regra, ou identidade, fundamental da divisão em relação com as
proporcionalidades e considerando as fracções, ou quocientes, como um numerador
e um denominador; é possível verificar e demonstrar que a sucessão ordenada de
forma crescente dos números primos, como conjunto numerador, vai ter um
denominador, constituído pelo conjunto dos números primos mais os seus múltiplos,
também em sucessão ordenada crescentemente, sempre maior que o conjunto dos
números primos pelo que o limite desta sucessão será zero, portanto estas
sucessões e respectivos limites também provam e demonstram a finitude dos
números primos.
Famílias de números primos
Os números primos, ou
primeiros, agrupam-se e constituem famílias porém, as famílias também se
agrupam constituindo agregados familiares maiores, sempre com laços de
parentesco. Os laços de parentesco são desenvolvidos através dos múltiplos. De
cada vez que na sucessiva ordem numérica surge um número primo, parece que este
não tem antecedentes familiares, porém vai originar sucessores, os seus
múltiplos que, por sua vez, acabam por se relacionar com as famílias de números
primos já existentes, através dos múltiplos comuns.
Considerando que, com excepção
do número um, todo e qualquer número terminado em 1, 3, 7 e 9 ou é primo ou
múltiplo de um número primo pois, então, os números primos surgem como uma
sucessão numérica natural ordenada de modo crescente e ocorrida na base numérica de Patrício sobre a
cooperação posicional da base numérica decimal. O pensamento matemático
tradicional tem admitido que não é possível prever, a priori, o número primo que vai ocorrer na ordem dessa sucessão, os
pensadores tradicionais admitem desconhecer a regularidade ou os padrões de
repetição relacionados com os números primos. Ainda que se desconheça a
regularidade sucessória dos números primos, é possível estudar, compreender e
conhecer, de modo previsível, a sucessão ordenada dos familiares de números
primos, isto é dos seus múltiplos em interacção recíproca e ordenada.
Conhecendo a regularidade previsível, sucessória e ordenada, do conjunto
numérico constituído pelos múltiplos dos números primos, torna-se pois, possível,
prever a ordem exacta de sucessão dos números primos; é por isso que as
famílias de números primos são muito importantes.
Bases e relações familiares entre números primos
Quando se regride, na procura das
primeiras famílias de números primos, encontram-se os algarismos, agora
numéricos 1, 3, 7 e 9, da base numérica
heterogénea de Patrício como origem das primeiras famílias primas. A partir
destas surgem os agregados de famílias; também a partir de novos números
primos, surgem novas famílias. As relações familiares que se estabelecem entre
números primos, famílias e agregados de famílias desenvolvem-se sempre, trabalhando
na base de Patrício em cooperação
posicional com a base decimal, assim:
Família do número 1 = qualquer
número é múltiplo de1
Família do número 3 = 3, 9,
21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69, … n3
Família do número 7 = 7, 21,
49, 63, 77, 91, 119, 133, 147, …n7
Família do número 9 = 9, 27,
63, 81, 99, 117, 153, 171, 189, …n9
Família do número 11 = 11, 33,
77, 99, 121, 143, 187, 209, …n11
Família do número 13 = 13, 39,
91, 117, 143, 169, 221, 247, … n13
Família do número 17 = 17, 51,
119, 187, 221, 289, 323, 357, … n17
Família do número 19 = 19, 57,
133, 171, 209, 247, 323, 361, … n19
Família do número 21 = 21, 63,
147, 189, 231, 273, 357, … n21
Família do número p = 1xp, 3xp,
7xp, 9xp, 11xp, 13xp, 17xp, … nxp (sendo p = número primo e n = número da base
de Patrício).
Entre a família do número 3 e
a do número 9 estabelece-se um relacionamento muito forte e particular já que o
número 9 é múltiplo de 3 assim, parece que os múltiplos de 9 também são
múltiplos de 3, porém os múltiplos de 3 não são necessariamente múltiplos de 9.
Por exemplo, 147 é múltiplo de 3 mas não de 9; de facto, o mínimo múltiplo
comum entre 3 e 7 é 21 e calcula-se que 21 x 7 = 147, assim, 147 é um múltiplo
comum entre 3 e 7 mas não é múltiplo de 9. O mínimo múltiplo comum entre 3, 7 e
9 é 63 pelo que, usando sempre a base numérica de Patrício, os múltiplos de 63
também são múltiplos de 3, 7 e 9. É com base nas relações entre os números
primos e os seus múltiplos comuns, assim como nas relações que sucessivamente se
estabelecem entre os múltiplos dos múltiplos, que se forma uma rede de relações
familiares capaz de prever a regularidade da ocorrência, sucessória e ordenada,
no conjunto numérico constituído pelos múltiplos dos números primos e depois,
por exclusão de partes, também nos números primos.
EUREKA! – ORDEM PRIMEIRA!
Fundamentos da Ordem Primeira
Reconhece-se que, trabalhando
sempre na base numérica de Patrício, com as operações de multiplicação ou de
divisão, os números resultantes destas operações, primos ou não, terminam
sempre em 1, 3, 7 ou 9; por conseguinte, na sequência deste raciocínio, surge
um outro, ou seja, trabalhar com os múltiplos dos números primos na base numérica heterogénea de Patrício em
cooperação posicional com a base decimal induz, por generalização cognitiva, a
ideia de que existirá pelo menos um número que será múltiplo de todos os
números primos; isto é, um número que ao dividir por todo e qualquer número
primo da base de Patrício (portanto com excepção de 2 e 5) todos terminando em
1, 3, 7 ou 9, dará resto zero.
É inequívoco que existem
imensos dividendos, ou múltiplos, de cada número primo, e este, ao funcionar
como divisor, será sempre inferior a metade do dividendo, mas o que se pretende
é encontrar pelo menos um múltiplo que seja divisível, por todos, e cada um dos
números primos; ou seja, pretende-se encontrar um múltiplo comum a todos os
números primos. O trabalho com as bases, os números primos e as várias relações
entre os números primos e entre os seus múltiplos permite, por generalização
cognitiva de um raciocínio lógico indutivo concluir que existem pelo menos dois
números que satisfazem essa condição, no entanto, a racionalidade lógica
permite admitir a existência de muitos mais, isto é imensos, para não dizer
infinitos, já que os números primos são finitos. O uso da razão humana e das
estruturas cognitivas para encontrar as fórmulas gerais desses números são, em
tudo, semelhantes, ou seja:
Por um lado, pode ser feito
através do produtório dos números primos ordenados de modo sucessivamente
crescente; por outro lado também se pode fazer através do produtório dos
números de Patrício (que terminam em 1, 3, 7 ou 9) ordenados de modo crescente.
Compreendendo que o conjunto
dos números primos está contido no conjunto dos números de Patrício, torna-se
facilmente entendível que qualquer um destes produtórios fornece um múltiplo
comum de qualquer número primo abstractamente determinado, ou até, por
generalização, de todo o conjunto dos números primos.
Se destes produtórios resultam
múltiplos de números primos, então na regra, ou identidade, fundamental da
divisão: dividendo = divisor X quociente + resto, quando efectuada utilizando
números primos como divisores, o resultado destes produtórios como dividendos,
pois resultará um quociente cujo resto será igual a zero. Trabalhando agora a
respectiva relação entre numerador e denominador com as proporcionalidades
directa e inversa é possível fazer com que os números primos surjam como uma
função de proporcionalidade.
Ordem Primeira e funções geradoras de números primos
Tendo em atenção que as
fórmulas dos produtórios de números primos, assim como as dos produtórios dos
números de Patrício, são capazes de possibilitar a escolha de pelo menos um
múltiplo comum, na disposição ordenada de forma crescente até um determinado
número primo, abstractamente determinado; pois utilizando essas fórmulas é
agora possível definir funções geradoras de números primos com variáveis
dependentes e independentes, domínios e contra domínios etc.
Estas funções partem da
estrutura básica verificada analogicamente nas relações de proporcionalidade,
no entanto a existência de produtórios torna essa proporcionalidade única para
uma nova categoria de funções a estudar no âmbito da análise funcional
infinitesimal.
A imensidão dos múltiplos comuns dos números primos
Trabalhando sempre na base
numérica de Patrício, portanto com os números terminados em 1, 3, 7 e 9, a
partir do momento em que se encontra um, e um só que seja, múltiplo de todos os
números primos pois a quantidade de múltiplos de todos os números primos
torna-se imensa já que os múltiplos desse número, a partir da base numérica de
Patrício, também serão múltiplos de todos os números primos; ainda utilizando
única e exclusivamente esta base numérica, a função exponencial dos múltiplos
comuns de números primos também gera múltiplos comuns de números primos e o
produtório dos múltiplos comuns de números primos, que surge como o produtório
de um produtório, também gera múltiplos comuns de números primos e assim
sucessivamente numa série de produtórios desenvolvidos a partir da base
numérica de Patrício.
A imensidão gera imensidão já
que, trabalhando sempre com a base numérica de Patrício, tanto o exponencial,
ou a função exponencial, de um produtório como o produtório de um exponencial,
ou da função exponencial, de múltiplos comuns de números primos geram múltiplos
comuns de números primos.
Produtórios e ciclos ou sequências da base numérica de Patrício
A realização de produtórios na
base numérica heterogénea de Patrício permite calcular o número de ciclos, ou
sequências, dessa base em relação com o aparecimento de números primos e a sua
distribuição ao longo de uma escala ordenada de modo sucessivamente crescente.
Seja o seguinte produtório e
sequências designadas por Sn:
1x3x7x9 = primeiro ciclo ou
sequência designada S1 = 189
1x3x7x9x11x13x17x19 = tem 2
ciclos ou sequências com S2 = 11x13x17x19 = 46189
1x3x7x9x11x13x17x19x21x23x27x29 =
tem 3 ciclos ou sequências com S3 = 21x23x27x29 = 378189
1x3x7x9x11x13x17x19x21x23x27x29x31x33x37x39
= tem 4 ciclos ou sequências com S4 = 31x33x37x39 = 1476189
1x3x7x9x11x13x17x19x21x23x27x29x31x33x37x39x41x43x47x49
= tem 5 ciclos ou sequências com S5 = 41x43x47x49 = 4060189
1x3x7x9x11x13x17x19x21x23x27x29x31x33x37x39x41x43x47x49x51x53x57x59
= tem 6 ciclos ou sequências com S6 = 51x53x57x59 = 9090189
A fórmula geral do produtório
é:
Produtório = S1xS2xS3xS4xS5x … x Sn.
Produtório = S1xS2xS3xS4xS5x … x Sn.
A fórmula geral da sequência,
como sendo um tipo de progressão matemática, é:
Sn = (10n)4 + 20(10n)3 + 130(10n)2 + 300(10n) + 180.
Sn = (10n)4 + 20(10n)3 + 130(10n)2 + 300(10n) + 180.
É evidente que a relação geral
desta sequência (Sn) pode
ser matematicamente trabalhada e assumir qualquer outra apresentação, gráfica ou
pictórica, no entanto o importante, a notar, é que se mantém a relação entre os
números. Como é do conhecimento geral a inter-conversão entre produtórios e
funções, ou expressões, polinomiais não é qualquer novidade, no entanto aqui, é
de observar que, enquanto o produtório inicial se faz a partir dos números da base
numérica heterogénea de Patrício em cooperação posicional com a base decimal,
já a sequência ou sucessão numérica se faz na base decimal.
A análise deste produtório
permite retirar algumas conclusões imediatas; por exemplo, fica-se a saber que
surgindo 189 como resultado do
primeiro produto da base numérica de Patrício, ele é também um múltiplo comum
de 1, 3, 7 e 9 mas não é o mínimo múltiplo comum já que sendo 63 um múltiplo
comum, este é menor do que 189; por
outro lado, ao longo do produtório, em cada ciclo ou sequência sucessiva, vai
surgindo o número de vezes que esse produto da base numérica de Patrício, mas
também múltiplo comum, se repete; considerando que os múltiplos comuns funcionam
como dividendos e os números primos como divisores com resto igual a zero, isto
permite realizar cálculos relacionados com o aparecimento dos números primos
mas também com a sua distribuição já que as sequências, ou ciclos, não têm que
se iniciar no princípio da base de Patrício mas, por exemplo, imediatamente
após aparecer um número primo e o intervalo calculado com o produtório pode ser
previamente determinado. A inter-convertibilidade, que se verifica, entre o uso
dos números da base numérica de Patrício e os números da base decimal induz o
pensamento e raciocínio lógico para a possibilidade da existência de simetrias
nos números primos; também as sucessões e progressões numéricas verificadas
fazem pensar nas matemáticas discretas e os vários ramos da análise
combinatória em associação com a matemática dos números primos; o facto de os
algarismos 189 se repetirem no fim
de cada ciclo ou sequência induz, no pensamento, a possibilidade, não
comprovada, de usar a nova operação algébrica, designada por suplementação,
como método para agilizar os cálculos com números primos, ou primeiros.
Somatórios e sucessões ou progressões da base numérica de Patrício
A realização de somatórios
envolvendo a base numérica heterogénea de Patrício, em cooperação posicional com
a base decimal, permite definir e estudar sucessões e progressões aritméticas
assim como a inter-relação recíproca entre ambas estas bases numéricas, numa
melhor compreensão da ordem primeira e do modo como os números primos surgem
sucessivamente numa escala crescentemente ordenada.
Seja o seguinte somatório e ciclos ou sequências
designadas por Un:
Somatório = 1+3+7+9+11+13+17+19+21+23+27+29+31+33+37+39+41+43+47+49+
… + …
1+3+7+9 = U1 = 20 - primeiro ciclo ou sequência
11+13+17+19 = U2
= 60 - segundo ciclo ou sequência
21+23+27+29 = U3 = 100 - terceiro ciclo ou sequência
31+33+37+39 = U4
= 140 - quarto ciclo ou sequência
41+43+47+49 = U5 = 180 – quinto ciclo ou sequência
51+53+57+59 = U6
= 220 – quinto ciclo ou sequência
Daqui se retira a seguinte
relação:
Un = Un-1 + 40, com n> =2 (portanto com n
maior ou igual a 2).
Considerando Un
como a designação para esta progressão aritmética, pois, a fórmula do seu termo
geral é:
Un = 20 + 40(n – 1)
A fórmula geral do somatório
é:
Somatório = U1+U2+U3+U4+U5+ … Un
Somatório = U1+U2+U3+U4+U5+ … Un
Sequências operacionais em álgebra abstracta
Pensar em sequências ou
sucessões matemáticas, progressões aritméticas e geométricas, somatórios e
produtórios; é pensar em estruturas numéricas cuja estabilidade da ordem
permite, com uma só operação matemática, ou então, um conjunto de operações
rígido e estável, operar e provocar a variabilidade de números, ou algarismos.
Por exemplo, um somatório é apenas uma estrutura que utilizando sempre a mesma
operação matemática, a adição, provoca variação nos algarismos, ou números, com
ele relacionados. Por criatividade racional, resultante de um antagonismo
conceptual, dialéctico dualístico, podem-se estruturar algebricamente operações
matemáticas que fundamentem, não sequências ou sucessões numéricas, não
alterações ou variações de números e algarismos; mas sim sequências ou
sucessões de operações matemáticas, sequências ou sucessões de operações
matemáticas definidas previamente no âmbito de estruturas algébricas capazes de
entender, e compreender, a ordem primeira dos números primos. Em termos das
ciências da computação, as sequências finitas de operações funcionam como
algoritmos, também entendidos tradicionalmente como estruturas de decisão; na
matemática dos números primos, as sequências de operações algébricas podem ser
finitas ou infinitas, com muitas ou poucas operações, todas algebricamente
definidas.
EXEMPLO EXPLICATIVO
Vamos considerar o número 7, e
também algarismo primo; a partir unicamente deste número primo é possível
desenvolver uma sequência algébrica operacional assim:
Sequência algébrica = + 7 x 7
– 7 / 7 x 7 – 7 x 7 complementação 7 x 7 – 7 + 7 x 7 suplementação x 7 / 7
suplementação 7 complementação 7 – 7 – 7 – 7 + 7 / 7 – 7 x 7 x 7 + 7
complementação 7 + 7 + 7, … = sequência operacional algébrica infinita.
Obviamente, esta sequência de operações algébricas foi escolhida ao acaso pois
o que se pretende, com este exemplo, é clarificar de modo demonstrativo o
conceito de sequência operacional algébrica onde o destaque, portanto a
atenção, não vai para o número mas sim para as operações algébricas previamente
definidas e que surgem de modo sequencial.
O conceito, e utilização, das
sequências operacionais algébricas, ajudam a compreender a ordem inerente aos
números primos assim como os fundamentos da ordem primeira.
Números primos e função de Patrício
O conjunto dos números
naturais, ou os inteiros, ao conterem os números primos implicam imediatamente
nos raciocínios da matemática discreta e da análise combinatória como, mais um,
método de abordagem possível; claro que terminando todos os números primos em
1, 3, 7 ou 9 se torna possível, com as técnicas da análise combinatória,
calcular as combinações com e sem repetição, arranjos, com e sem repetição,
permutações, etc. destes números, porém, é mais importante reconhecer que a
inter-conversão recíproca entre produtórios e somatórios faz lembrar a função
de Patrício.
Sabe-se que, no triângulo de
Pascal, apenas a primeira e a terceira linhas são completamente preenchidas por
números da base numérica de Patrício.
A função de Patrício, assim
como a respectiva igualdade combinacional, podem ser usadas conjuntamente com
os números da base numérica de Patrício para a situação em que n = 1; isto é,
para a primeira linha do triângulo de Pascal. Se agora, nesta função, a
variável Z
for substituída pela fórmula do produtório dos números primos, ou então dos
números de Patrício, ambos tendo como resultados os múltiplos comuns, pois
então será interessante estudar e compreender o modo como os múltiplos comuns
variam com as combinações, mas atenção, compreenda-se que a igualdade
combinacional, isto é, a igualdade estabelecida para as combinações com e sem
repetição, como não poderia ser de outro modo, apenas pode ser observada para n
= 1, cujo factorial, por ser também = 1, tem relação imediata com a respectiva função
inversa mas também com a teoria e definição clássica de probabilidades que
variam entre zero (0) e um (1), e mais, também com o teorema dos números
primos.
Função de Patrício e teorema dos números primos
Considerando a função de
Patrício e a respectiva base numérica com os algarismos 1, 3, 7 e 9, entende-se
que para n = 1, resulta, factorial = 1 e a variável Z poderá assumir qualquer valor que
a relação estabelecida pela função não se altera; acontece que, pelo teorema do
número primo se verifica que o resultado da função de contagem de números
primos vai diminuindo quando se avança nos números naturais até se encontrar
uma relação que, no infinito, tende para 1; isto é, precisamente o resultado do
factorial, na função de Patrício, qualquer que seja o valor de Z, desde
que n = 1; portanto, ainda que Z fosse substituído pela função de contagem de
números primos, por qualquer número primo, ou outro, o resultado da função de
Patrício seria sempre = 1, ou seja, precisamente igual ao limite do teorema do
número primo; relacionando a função de patrício com as contagens da análise
combinatória e a teoria clássica das probabilidades e agora, com a teoria do
número primo, surgem resultados interessantes sobre o paradoxo da infinitude
dos números primos.
Função de Patrício e simetrias dos números primos
Considerando que no triângulo
de Pascal a linha número 3 corresponde totalmente a números, ou algarismos, da
base numérica heterogénea de Patrício, ou números primos, então é possível
aplicar a função de Patrício cujo resultado do factorial é um número par.
Também neste triângulo, unicamente para n = 3, trocando a base pelo expoente,
na expressão onde se encontra a variável Z pois torna-se possível desenvolver a igualdade
funcional de Patrício; isto é, igualar o número de combinações com repetição ao
número de combinações simples, numa paridade numérica reveladora de simetrias. Há
pois uma relação entre números da base heterogénea de Patrício, números primos
e as simetrias em matemática mas, as simetrias são fundamentais para a procura
de padrões de repetição, aliás, vários raciocínios lógico matemáticos, aqui
desenvolvidos, têm como fundamento a procura de padrões de repetição que, por
sua vez, assentam nas simetrias. Por outro lado, as simetrias são, por
excelência, do domínio da geometria.
Geometria dos números primos
Associar a geometria com as
bases numéricas é um modo de procurar simetrias e padrões de repetição capazes
de conduzir a generalizações matemáticas. Na base decimal todos os algarismos
constituintes têm, entre si, distâncias iguais ou homogéneas; a distância entre
dois algarismos sucessivos, numa escala ordenada da base decimal, é de uma
unidade; portanto a partir da base decimal diz-se que os algarismos, e os
números sucessivos, distam de uma unidade entre si. Ainda que se dividisse a
base decimal nos conjuntos dos números pares e ímpares, a base numérica
resultante continuaria a ser homogénea, simplesmente os algarismos sucessivos,
e de igual modo para os números sucessivos resultantes, distariam entre si, de
duas unidades, na verdade, os números ímpares, assim como os pares, distam
entre si de duas unidades. A base decimal é, de longe, a mais conhecida entre
as pessoas; com o desenvolvimento das ciências da computação, também a base
binária passou a ser reconhecida, no entanto, para estudar e compreender os
números primos, ou primeiros, torna-se necessário partir de outra base
numérica: a base numérica heterogénea de Patrício.
Como todos os números primos
(com excepção de 2 e 5) terminam em 1, 3, 7 ou 9, foi necessário procurar uma
base numérica capaz de permitir a realização de operações matemáticas com estes
algarismos. Por comparação com a base decimal, também a sequência posicional
dos algarismos, nesta base, é cíclica, assim: a seguir ao 9 vem o 11 que dista
2 unidades, entre 1 e 3, assim como entre 7 e 9, as respectivas distâncias são
também de 2 unidades, no entanto entre 3 e 7 a distância é de 4 unidades; como
as distâncias entre os algarismos e, depois, os números, são diferentes
conforme a disposição na escala ordenada, então esta base é heterogénea e foi
designada base numérica heterogénea de Patrício ou simplesmente base numérica
de Patrício. Esta base numérica permite realizar operações matemáticas que se
aproximam mais dos números primos.Considerando a figura geométrica da base de Patrício, definida no plano, pois torna-se possível a realização de cálculos em termos de geometria analítica e, depois, também a análise funcional infinitesimal com primitivação, ou melhor, o cálculo integral definindo uma área. A base numérica heterogénea de Patrício apenas tem de respeitar as distâncias entre os algarismos que a constituem pelo que os ângulos entre os lados da figura geométrica podem variar numa trigonometria geométrica, capaz de encontrar simetrias e padrões angulares em relação com os números primos. A formação tridimensional de sólidos geométricos, assim como a visualização pictórica e a planificação desses sólidos em figuras geométricas facilita a captação de simetrias e padrões geométricos que podem ser traduzidos em relações matemáticas determinantes da ordem encontrada na disposição dos números primos ao longo da escala ordenada. Não são apenas envolvidos ramos da matemática como a trigonometria, a geometria e a aritmética mas outras áreas do saber, como a topografia, ou a própria teoria dos grafos, inclusivamente os grafos angulares de Patrício, podem ser estudados a partir desta base heterogénea; por exemplo, se entre as muitas figuras geométricas que se podem construir, forem constituídos triângulos equiláteros e a seguir uma pirâmide, ou quase pirâmide, pois o estudo torna-se facilitado para os grafos angulares de Patrício em relação com os números primos, ou primeiros.
A junção de ambas as bases,
uma homogénea e outra heterogénea tem como resultado uma base heterogénea capaz
de permitir a compreensão dos fundamentos da ordem primeira.
Compreender os fundamentos da
ordem primeira não significa descobrir uma fórmula matemática mágica e capaz de
fornecer a sequência ordenada previsível e determinada dos números primos, significa
sim, descobrir o determinismo da ordem que lhes está subjacente.
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Doutor Patrício Leite,
28 de Julho de 2018Ficheiro Completo e Actualizado para Download