FUNDAMENTOS DA ORDEM PRIMEIRA

O cibermundo e a cibersegurança ficam, com esta publicação, mais frágeis, um bocadinho mais fracos e vulneráveis. O propósito deste ensaio, de carácter cognitivo, é meramente estético, não tem pretensões técnicas no domínio das ciências matemáticas e computacionais; procura apenas, e tão-somente, usar a estética do pensamento num encadeamento racional, filosófico, relacionado com padrões numéricos capazes de explicar a ordem, a ordem primeira, o fundamento de todas as ordens existentes. Assume-se e aceita-se que algures, na prova pessoal da realidade vivida, se verifica a coexistência de ordem e desordem, de determinismo previsível e de caos aleatório; aceita-se que a ordem conhecida, se relaciona e fundamenta padrões de repetição predeterminados e previsíveis; aceita-se que os padrões encontrados têm a sua explicação filosófica na estética da racionalidade matemática com os números primos, como, sendo os primeiros, a resultar dessa ordem fundamental; porém todos os números assentam numa base numérica, procura-se então, e explica-se, o fundamento racional matemático de todas as bases numéricas, encontra-se alguma ordem capaz de explicar a racionalidade das bases numéricas e verifica-se que há uma certa noção de continuidade infinitesimal nas bases, essa continuidade tem tradução na análise infinitesimal com primitivas, ou integrais, e derivadas; mas, a ordem encontrada nos números primos tem, também, outros padrões; observam-se longas listas de números primos e verifica-se que, com excepção dos números 2 e 5, todos os restantes terminam em 1, 3, 7 ou 9 e multiplicando entre si, quaisquer destes números, pois resulta sempre um número terminado em 1, 3, 7 ou 9; torna-se então necessário não apenas a procura de uma base numérica adequada aos números primos mas também encontrar estruturas algébricas abstractas capazes de fundamentar racionalmente a ordem de novas operações matemáticas; constata-se que se pode trabalhar com o conjunto dos números primos como uma totalidade única, assim, com a utilização de matrizes matemáticas podem, não apenas ser realizadas operações sobre números concretos resultantes da base de Patrício mas também sobre o conjunto total destes números ou então sobre o conjunto dos números primos; as matrizes matemáticas foram, e são, muito usadas nas tecnologias de criptografia e, sobretudo nas designadas tecnologias com criptografia de chave publica, ou assimétrica, as matrizes de números primos, mas também dos números da base de Patrício, podem constituir um risco acrescido para a segurança informática, sobretudo quando acompanhadas com operações como somatórios e produtórios destas matrizes; também a existência de um número, cada vez maior, de múltiplos dos números primos, assim como os estudos relacionados com os cálculos de probabilidades e vários raciocínios de carácter filosófico, mas também racional, ou até do domínio das crenças emocionais, em relação com os axiomas, conduzem á constatação imperiosa da finitude dos números primos em relação com vários paradoxos filosóficos; a finitude dos números primos agrava o risco de ciberameaças e diminui a segurança das comunicações e transmissões de dados mas também implica em diferentes agrupamentos com famílias finitas de números primos relacionadas com os vários múltiplos numa ordem primeira de carácter teleológico, ou seja, fundamentada no fim e não no princípio; por conseguinte, fundamentada no fim, ou finitude, dos números primos; se os números primos são finitos então, terá de existir pelo menos um múltiplo, comum a todos eles; o múltiplo comum a todos os números primos e, por isso, divisível por todos eles, será encontrado quando se trabalha com produtórios, decompostos, ou não, em funções polinomiais, assim como somatórios, sucessões e progressões, sempre na base numérica de Patrício em cooperação posicional com a base decimal e com a utilização de novas sequências operacionais definidas pela álgebra abstracta; por outro lado, se os números primos são finitos e existe, pelo menos, um múltiplo comum a todos eles, pois também se torna racional que a disposição numa escala, ordenada crescentemente, de todos os números primos, implica necessariamente em se encontrar um último número primo; o teorema do número primo comporta um interessante paradoxo, já que considera os números primos como naturais mas a função de contagem dos números primos também envolve os números naturais como variáveis, por outro lado, o paradoxo ainda se torna mais interessante ao comparar o teorema do número primo com a função de Patrício, de facto, pelo teorema do número primo chega-se à conclusão que no extremo infinito dos números naturais existe apenas um número primo, por outro lado, a função de Patrício, cuja variável Z pode ser qualquer expressão, ou número, incluindo os primos, quando funcionando em conjunto com a respectiva base numérica e os números do triangulo de Pascal, permite verificar que o número 1 é precisamente o primeiro da base numérica de Patrício e do triangulo de Pascal, ou seja, um começa onde o outro acaba numa circularidade paradoxal resolúvel através das contagens da análise combinatória em matemática discreta, ou finita, associada à teoria clássica do calculo probabilístico; o fundamento teleológico e determinístico da ordem primeira fica descrito e conhecido porém, conhecer os fundamentos da ordem, não significa conhecer a determinação prévia e exacta do aparecimento de um número primo concreto ao longo de uma sequência ordenada crescentemente; a terceira linha do triângulo de Pascal, permite estabelecer uma estética relação de paridade entre uma função obtida através de raciocínios filosófico matemáticos dedutivos, após inversão entre a base e o expoente da expressão terminal da função de Patrício, resultando uma igualdade que relaciona combinações com repetição e simples assim como uma função exponencial, mas apenas quando, no triangulo de Pascal, n = 3; ora se n = 3 é um algarismo, ou número primo, pertencente à base numérica de Patrício, pois também se verifica que a relação de paridade implica na existência de simetrias, porém, as simetrias sendo, por excelência, o modo mais eficaz de encontrar padrões de repetição, também, são melhor estudadas e compreendidas a partir da geometria; é pois, com um esboço geométrico que se termina este ensaio, deixando em aberto a possibilidade real de encontrar, a muito curto prazo, o sistema capaz de prever a determinação exacta da sucessão numérica de números primos concretos, num risco acrescido para a actual cibersegurança do mundo.

Filosofia introdutória da ordem
Algures, na racionalidade conceptual das estruturas cognitivas humanas, encontra-se a dualidade paradoxal simétrica analógica como fundamento filosófico matemático da ordem primeira. Se o estranho paradoxo dualístico de conceber num só ente identitário o ser e o seu contrário como, o sempre e o nunca, o tudo e o nada, o ser e o não ser, a ordem e a desordem; resultante da simetria etimologicamente analógica, é pois fundamentalmente, nessa analogia paradoxal simetricamente dualista, que se encontra o fundamento filosófico de toda a ordem matematicamente racional.
Os números primos, ou primeiros, parecem conseguir escapar a uma cardinalidade capaz de fundamentar a ordinalidade da ordem primeira porém, as simples noções conceptuais, paradoxalmente identidades dualísticas de, maior e menor, permitem imediatamente a elaboração e colocação ordenada dos números primos numa escala numérica.

Sistemas e bases numéricas
Em termos das teorias da comunicação, mas também das ciências cognitivas, os números funcionam como signos linguísticos com um significante, designado habitualmente por algarismo, e um significado ou conceito abstracto que se forma na mente de cada pessoa. Uma base numérica é um conjunto de significantes, ou algarismos. A base numérica mais frequentemente encontrada, a nível mundial, é a base dez, portanto constituída por dez algarismos diferentes para representar todos os números.  
Com o avanço das ciências da computação e a compreensão de que, em termos de software, os processadores funcionam numa lógica digital binária, tornou-se frequente o estudo e compreensão dos sistemas numéricos mas também a conversão de números entre diferentes bases numéricas com predomínio para a decimal, hexadecimal, octal e binária.

Bases numéricas posicionais e não posicionais
Tradicionalmente as bases numéricas têm sido agrupadas em posicionais, se o valor de cada algarismo depende da posição que este ocupa na constituição do respectivo número, e não posicionais para as restantes situações. Apesar desta classificação tradicional dominante, as bases numéricas também podem ser classificadas, com base na distância relativa entre algarismos sucessivos em, homogéneas e heterogéneas.

Bases numéricas com distâncias homogéneas e heterogéneas
As bases numéricas cujos algarismos, sucessivamente ordenados, mantêm sempre a mesma “distância” sucessiva dizem-se homogéneas; é o caso dos sistemas numéricos tradicionais cujos algarismos das bases, distam ordenada e sucessivamente, entre si, de uma unidade mas também se podem subdividir outras bases homogéneas com “distâncias” sucessivas de duas unidades como por exemplo nos subconjuntos dos números pares ou então no subconjunto dos números ímpares. As bases numéricas cujos algarismos sucessivamente ordenados não têm sempre a mesma “distância” relativa e sucessiva entre si dizem-se heterogéneas.    

Conjunto dos números pares e impares como bases numéricas homogéneas
Em termos da álgebra abstracta é possível extrair, da base numérica decimal, dois conjuntos ou grupos de números: o conjunto dos números pares com o qual se podem efectuar as operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão constituindo uma estrutura algébrica; mas também o conjunto dos números impares através do qual se constitui uma estrutura algébrica com a qual se podem efectuar operações de multiplicação e divisão. È pois, possível, extrair bases numéricas homogéneas com apenas números pares ou impares. As bases numéricas apenas para números pares, ou ímpares, extraídas da base decimal, são homogéneas porque a distância entre dois dígitos, ou algarismos sucessivos, dispostos numa escala ordenada é sempre de duas unidades.
 
Fórmula geral dos números no sistema posicional com bases numéricas homogéneas
No sistema numérico posicional, constata-se que, todo e qualquer número, pode ser representado, por um polinómio com a seguinte fórmula geral:
N = an-1bn-1 + an-2bn-2 + + a1b1 + a0b0 + a-1b-1 + a-2b-2 + + a-mb-m
Com:
N = um qualquer número
a = algarismos, dígitos ou coeficientes do número
b = base do sistema numérico
n = quantidade de dígitos ou algarismos inteiros
m = quantidade de dígitos ou algarismos fraccionários
Tornando a representação polinomial mais compacta e apenas para números inteiros surge a seguinte fórmula:
Se agora, por puro diletantismo cognitivo, for desconsiderada e excluída a dualidade dialéctica antitética e paradoxal entre a continuidade numérica infinitesimal dos números reais e a descontinuidade dos números inteiros, numa tentativa de encontrar a ordem primeira, podem ser efectuadas, em termos da análise funcional, sucessivas primitivações, ou integrações, deste polinómio que surgirá como uma função polinomial representativa de qualquer número, assim:
Sendo a primitivação e a derivação movimentos da analise matemática, com sentidos opostos, pois a derivação e a primitivação, ou integração indefinida, poderiam ser sucessivamente efectuadas no sentido de encontrar os fundamentos da ordem primeira plasmada nos números. A integração definida, num determinado intervalo, irá fornecer uma interessante e curiosa perspectiva dos representantes numéricos. 

Conjunto dos números primos e bases numéricas heterogéneas
Entre as bases numéricas heterogéneas, que são provavelmente infinitas, há uma relacionada com os números primos, ou primeiros, que ganha destaque.
Se procedermos a uma reflexão cuidadosa sobre os números primos concluímos que, com excepção dos números dois (2) e cinco (5), todos os restantes números primos terminam em, um (1), três (3), sete (7) e nove (9).  
Se agora considerarmos estes quatro algarismos ordenados de forma crescente como um sistema numérico de base quatro pois compreendemos, imediatamente, que entre um (1) e três (3) distam duas unidades; entre três (3) e sete (7) distam quatro unidades; entre sete (7) e nove (9) distam duas unidades e entre nove (9) e, novamente e ciclicamente, um (1) distam duas unidades; trata-se pois de um sistema numérico heterogéneo de base quatro.
Em termos da álgebra abstracta, os fundamentos de sistemas numéricos homogéneos permitem realizar operações aritméticas como soma, subtracção, multiplicação e divisão; sistemas numéricos com bases heterogéneas permitem a realização de outras operações matemáticas definidas a partir das estruturas algébricas.

Relações entre bases numéricas homogéneas e heterogéneas
Por semelhança com as correspondências que podem ocorrer entre bases numéricas meramente homogéneas, também é possível efectuar operações de relações entre bases numéricas homogéneas e heterogéneas. Se em bases homogéneas como, por exemplo, a base decimal e a binária, é possível efectuar correspondências entre números e respectivas operações matemáticas; pois também se podem efectuar relações e correspondências entre bases homogéneas e heterogéneas como, por exemplo, entre a base decimal e a base dos números primos, esta última fundamentada nos algarismos, ou dígitos, 1, 3, 7 e 9 pelo que destas correspondências e relações surge aquela que designo por base numérica heterogénea de Patrício ou simplesmente base numérica de Patrício através da qual é possível realizar operações matemáticas, como a multiplicação, que embora seja uma operação binária fundamentada na base homogénea decimal, quando realizada através da base numérica de Patrício, mantém as mesmas propriedades que lhe estão associadas à base decimal.

Álgebra abstracta
Com o sistema numérico heterogéneo de base quatro, designado base numérica de Patrício e constituído pelos algarismos, ou dígitos, 1, 3, 7 e 9, formam-se todos os números primos (excepção dos números 2 e 5); os números primos, por semelhança com os números pares ou ímpares, constituem um conjunto de números. Sabemos da álgebra abstracta que um conjunto mais uma operação binária constitui estruturas algébricas simples como os semigrupos, monóides, grupoides, quase grupos e grupos.
A conjunção entre números provenientes da base numérica homogénea decimal com os da base numérica heterogénea de Patrício permite definir o conjunto dos números terminados em 1, 3, 7 e 9; deste conjunto, designado números de Patrício, alguns são números primos ou primeiros. O conjunto dos números de Patrício, portanto terminados em 1, 3, 7 e 9 pode ser associado com uma operação binária, a multiplicação, constituindo uma estrutura algébrica. As propriedades da multiplicação, como operação binária, sobre o conjunto dos números de Patrício, números terminados em 1, 3, 7 e 9, não se alteram, pois mantém-se a propriedade comutativa, associativa, distributiva, o elemento neutro e o fechamento já que o produto de dois números terminados em 1, 3, 7 ou 9 será sempre um número terminado em 1, 3, 7 ou 9; portanto pertencente ao conjunto dos números designados por números de Patrício.
Em termos da álgebra abstracta é agora possível definir duas novas operações matemáticas capazes de permitir futuros avanços, estudo fundamentado e compreensão, da estrutura algébrica da ordem primeira; são elas a suplementação e a complementação.

Suplementação como nova operação algébrica
A suplementação é uma nova operação algébrica que consiste, muito simplesmente, em partindo de qualquer número de um qualquer sistema numérico posicional, lhe acrescentar um suplemento, ou seja, consiste muito simplesmente em colocar nesse número, numa determinada posição, por exemplo, na sua posição mais à direita possível, um ou vários algarismos ou dígitos, da base numérica heterogénea de Patrício portanto 1, 3, 7 ou 9, transformando esse número num dos números de Patrício que terminando em 1, 3, 7 ou 9 pode, ou não, ser número primo ou primeiro.

Complementação como nova operação algébrica
Para compreender a complementação, como uma nova operação que ajuda a fundamentar uma estrutura algébrica, é necessário considerar que em termos da notação posicional, os números surgem como uma sucessão dos algarismos da respectiva base numérica. Em qualquer base numérica, sucessivamente ordenada, é possível escolher um par dos seus algarismos, ou dígitos, designado complementar; é este par complementar inicialmente escolhido que funciona como centro de simetria; torna-se evidente que a simetria por complementaridade entre algarismos, pode ser voluntariamente escolhida e determinada; assim, a partir deste ponto inicial de simetria, voluntariamente escolhido, todos os outros algarismos da base ordenada terão uma correspondência, por complementaridade, desde que seja seguida a ordem sequencial escalada dos algarismos dessa base.
A operação de complementação pode ocorrer sobre simples algarismos, ou dígitos, de uma qualquer base numérica posicional mas também sobre quaisquer números dessa base e os resultados podem ser expressos, ou não, sobre a forma de uma matriz algébrica; por conseguinte, a operação complementação não diz apenas respeito aos algarismos e números resultantes de uma base numérica mas também à sua disposição em matrizes, às operações de complementação com matrizes assim como as várias operações de complementação relacionadas com quaisquer outras estruturas algébricas ou matemáticas. A operação de complementação, enquanto estrutura posicional, relaciona-se intrinsecamente com a formação de ângulos, isto é, com a angularidade resultante da rotação, ou posição angular, entre os resultantes complementares; esse ângulo pode assumir qualquer valor.
EXEMPLO EXPLICATIVO
Vamos considerar o tradicional sistema posicional decimal, portanto a base 10, com 10 algarismos, ou 10 dígitos, como base de partida. Os algarismos deste sistema estão ordenados, pelo valor da sua cardinalidade, numa escala crescente, ou decrescente.
Por escolha voluntária decidimos que o centro de simetria, na operação complementação, seria 0 – 9; a partir daqui, tendo em atenção a sequência ordenada de todos os algarismos desta base, surgem todos os pares complementares, assim: 0 – 9; 1 – 8; 2 – 7; 3 – 6; 4 – 5; o respectivo ângulo, também voluntariamente escolhido, é de zero graus. Se agora fizermos incidir a operação de complementação sobre um qualquer número, por exemplo 1963, pois o seu número complementar, para zero graus de rotação, será 8036; agora, a disposição representativa destes dois números complementares pode ser efectuada através de uma matriz de 2 por 4, para 0 graus de rotação, ou então de 4 por 2, para 90 graus de rotação.

O símbolo da operação complementação
A operação complementação pode ser simbolizada pelo símbolo do ângulo com os dois algarismos da complementação inicialmente escolhida. O símbolo do ângulo significa que pode existir complementação associada com rotação dos respectivos números complementares, essa rotação assume o valor de determinado ângulo.
Sendo assim, as letras a e b designam os algarismos, ou dígitos, de uma determinada base numérica, a partir dos quais se inicia a complementação; salienta-se que os algarismos ou dígitos, constituintes dessa base numérica, devem estar previamente dispostos numa escala ordenada e a complementação segue sucessivamente essa ordem. A letra c refere-se ao valor do ângulo que pode ocorrer simultaneamente em conjunto com o resultado dessa operação de complementação.
EXEMPLO EXPLICATIVO
Quando os números complementares são representados por matrizes, estas últimas podem ter os seus termos individuais dispostos de modo diferente, conforme o respectivo ângulo de complementação; essa disposição angular altera-lhes as linhas e colunas e, por conseguinte, também os resultados das operações matemáticas em que podem estar envolvidas. 
  
Complementação entre bases numéricas homogéneas e heterogéneas
Qualquer operação algébrica de complementação pode ser definida e efectuada tanto dentro da mesma base numérica, que pode ser homogénea ou heterogénea, como também entre diferentes bases numéricas.
Se considerarmos a base numérica heterogénea de Patrício portanto com os algarismos 1, 3, 7 e 9, cujos complementares da base decimal, serão respectivamente 8, 6, 2 e 0 (desde que o par de complementares escolhido como ponto de simetria seja 0 – 9 e o ângulo de complementação seja zero graus) pois então, após a complementação, qualquer número primo, terminado em 1, 3, 7 ou 9 passará a terminar em 8, 6, 2 ou 0, portanto todos os números primos serão transformados em números com divisores; atenção que as operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão não são biunívocas nem automaticamente convertíveis entre números complementares pelo que, quando realizadas numa base ou sistema numérico, não se convertem automaticamente para a outra base ou sistema numérico. Este tipo de raciocínio é, no entanto, de significativa utilidade já que a complementação, mas também a suplementação, não têm de ser efectuadas para toda a extensão sucessiva de algarismos ao longo de um número mas podem, apenas e tão-somente, ser efectuadas para parte desse número, por exemplo, para o algarismo, ou algarismos, posicionados mais à direita do número, o que não só facilita os cálculos como também permite avanços no sentido de descobrir e compreender a ordem primeira.  

Matrizes matemáticas
Chegados a este ponto sintetiza-se que, por intermédio de uma quase - ordem, ou seja, há uma ordem rudimentar pela qual é possível designar ou nomear algarismos, através de signos linguísticos; depois uma ordem mais avançada já permite agrupar esses algarismos em bases numéricas que podem ser, ou não, posicionais; de seguida os algarismos são colocados na respectiva escala ordenada dessas bases posicionais que serão categorizadas em homogéneas ou heterogéneas. Também no domínio das operações matemáticas se acrescentam, às tradicionais operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão, mais duas operações; a suplementação e a complementação. Por diletantismo abordam-se, de modo leviano e passageiro, em termos de análise matemática, as primitivas ou integrais e respectivas derivadas do representante polinomial de qualquer número numa base numérica posicional, mas avança-se rapidamente para a compreensão das estruturas algébricas abstractas associadas a uma base numérica heterogénea, designada base numérica heterogénea de Patrício que, em conjunto com os respectivos números, se torna fundamental para a compreensão da ordem inerente aos números primos, ou primeiros.
Continuando:
Com os quatro algarismos (1, 3, 7 e 9) da base numérica heterogénea de Patrício, com os respectivos conjugados entre esta base numérica e a base decimal mas também com os complementares da base numérica de Patrício, entre si próprios, é possível criar matrizes. Estas matrizes são importantes já que permitem compreender e realizar operações matemáticas, em simultâneo, com todos os algarismos capazes de representar o conjunto no qual está incluído o conjunto dos números primos (excepção para o 2 e 5).
Pode-se observar que, nestas matrizes, designadamente nas matrizes quadradas, de ordem 2, a soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma dos elementos da diagonal secundária sendo igual a 10 para a base numérica heterogénea de Patrício; também nesta base a soma de todos os elementos, da matriz, é igual a 20.
Sobre estas matrizes quadradas e complementares podem ser realizadas várias operações matemáticas como, por exemplo, a adição:
A adição da matriz da base de Patrício com a respectiva complementar do sistema decimal por complementaridade 0 – 9 e ângulo de valor zero, tem como resultado uma matriz com todos os elementos iguais a nove.

Importância das matrizes dos números primos
As matrizes têm tido, de um modo geral, uma ampla aplicação, tanto nas ciências naturais como nas humanas. Também nas ciências da computação a sua utilidade é enorme sendo utilizadas em várias áreas, incluindo a criptografia, porém o desenvolvimento de computadores com processadores cada vez mais potentes obriga a uma sofisticação cada vez maior dos métodos de encriptar dados, no sentido de manter elevada a segurança da informação. A criptografia actualmente usa-se nas várias áreas do poder político, económico e militar, ou seja, sempre que se manifeste necessária uma comunicação ou transmissão sigilosa de dados. Os algoritmos criptográficos de chave simétrica são habitualmente mais incómodos e fáceis de decifrar por isso, têm surgido, algoritmos assimétricos também designados de chave pública; alguns dos, actualmente, mais utilizados algoritmos de criptografia são assimétricos e baseados nos números primos pela dificuldade acrescida que isso causa em descobrir o código de desencriptação. As matrizes, que sempre tiveram utilidade nesta área da actividade humana, são agora, aqui, associadas aos números primos no sentido de promover o desenvolvimento das ciências da encriptação. Compreende-se que o estudo e aplicação das matrizes de números primos, quando efectuados por equipas de investigação, desenvolvimento e espionagem, ao nível dos grandes estados e empresas multinacionais, diminuam, numa primeira fase, a cibersegurança mundial, mas também, é notório que o desenvolvimento tecnológico de computadores quânticos, com elevadíssima capacidade de processamento dos dados, promove esse risco acrescido. Acredita-se que a integração, entre os fundamentos da ordem primeira e a computação quântica, após o reboliço inicial, caminhará para um mundo cada vez mais seguro em termos da cibersegurança.

Fórmula geral dos números aplicada aos primos ou primeiros
A aplicação da fórmula geral dos números, no sistema posicional, descrita acima, vai agora ser aplicada para cada um dos algarismos, portanto 1, 3, 7 e 9, constituintes dos números primeiros ou primos naturais (com excepção de 2 e 5), assim, aplicando a fórmula N = an-1bn-1 + an-2bn-2 + + a1b1 + a0b0 vem:
Para qualquer número terminado em 1 resulta:
Número terminado em 1 = an-1bn-1 + an-2bn-2 + + a1b1 + 1
Para qualquer número terminado em 3 resulta:
Número terminado em 3 = an-1bn-1 + an-2bn-2 + + a1b1 + 3
Para qualquer número terminado em 7 resulta:
Número terminado em 7 = an-1bn-1 + an-2bn-2 + + a1b1 + 7
Para qualquer número terminado em 9 resulta:
Número terminado em 9 = an-1bn-1 + an-2bn-2 + + a1b1 + 9
Com a aplicação desta fórmula surge um polinómio representante de todo e qualquer número natural terminado em 1, 3, 7 e 9, nos quais se incluem os números primos. Este polinómio representante dos números pode ter outros modos de apresentação.

Fórmula geral dos números, em somatório, aplicada aos primos ou primeiros
Tornando a representação polinomial mais compacta, com apresentação em somatório, e aplicação aos números primos naturais, vem:
A aplicação de somatórios permite apresentar de forma mais compacta e simplificada os quatro grupos de polinómios representantes de todos os números terminados em 1, 3, 7 e 9.

Matriz dos números primos como uma matriz de somatórios
A matriz que contém os somatórios representantes de todos os números terminados em 1, 3, 7 e 9 designada Matriz de Patrício, é uma matriz quadrada que contém também os números primos já que o conjunto dos números primos está contido no conjunto dos números terminados em 1, 3, 7 e 9.

Produtórios com a matriz de Patrício
A matriz de Patrício apresenta um conjunto de somatórios que representam um conjunto de polinómios que, por sua vez, representam números terminados em 1, 3, 7 e 9. Sendo uma matriz quadrada torna-se possível realizar operações de multiplicação com outras matrizes quadradas, representantes dos números deste conjunto, no entanto, a formalização concreta torna-se difícil em termos de abstracção algébrica, porém, mais difícil ainda ao operar com produtórios.
  
Somatórios com a matriz de Patrício
É possível realizar a soma sucessiva e sequencial das matrizes de Patrício, ou seja, funciona como uma soma de somatórios de polinómios representativos dos números.
 
Síntese conceptual sobre produtórios e somatórios realizados com a matriz de Patrício
A realização de produtórios e somatórios, assim como produtórios de somatórios e somatórios de produtórios, com a base e matriz de Patrício, revela padrões numéricos muito interessantes que, no caso dos somatórios poderá envolver sucessões, sobretudo aritméticas; no caso dos produtórios surgem repetições sucessivas do produto da base inicial que, por surgirem de forma cíclica e repetitiva, manifestam padrões de repetição envolvendo os números primos na compreensão da ordem primeira. Mais adiante serão efectuados cálculos concretos com somatórios e produtórios simples envolvendo a base de Patrício e revelando padrões de repetição numérica que conduzem à conclusão de uma ordem paradoxalmente finita para a compreensão dos números primos ou primeiros.

DEMONSTRAÇÃO DA FINITUDE DOS NÚMEROS PRIMOS OU PRIMEIROS

Considerações e reflexões sobre os números primos
Nas demonstrações, cálculos e argumentos, será usada a base numérica de Patrício mas também a decimal, tanto podendo ocorrer em simultâneo como em separado. Serão usadas matrizes dos algarismos dessas bases mas também dos números dos respectivos conjuntos numéricos. Será dada preponderância ao trabalho com números naturais mas pode-se avançar automaticamente para os reais e regressar imediatamente aos naturais. Serão referidas as operações matemáticas tradicionais, como adição, subtracção, multiplicação e divisão, mas também as novas operações aqui definidas algebricamente como suplementação e complementação. Serão aceites erros por meros lapsos de linguagem e escrita mas também erros sistemáticos relacionados com a falta de preparação matemática assim como com o cansaço e fadiga que estas coisas acarretam. Será usada argumentação de natureza matemática mas também da natureza mental, humana, assim como, filosófico – racional.

Afirmação de Patrício: Com excepção da unidade (número um) TODOS OS NÚMEROS TERMINADOS EM 1, 3, 7 e 9 OU SÃO PRIMOS OU SÃO MULTIPLOS DE PRIMOS.

Demonstração probabilística da finitude dos números primos
Considerando a teoria das probabilidades e a respectiva definição clássica de probabilidade vem: Probabilidade = Número de casos favoráveis / Número de casos possíveis.
Se restringirmos o conjunto dos números naturais apenas ao conjunto dos números terminados em 1, 3, 7 e 9, portanto números de Patrício, que podem, ou não, ser primos; podemos agora subdividir este conjunto no conjunto dos números primos e nos restantes, assim fica:
primos = conjunto dos números primos
conjunto total = conjunto dos números primos e não primos, terminados em 1, 3, 7 e 9.
Probabilidade de ocorrência de um número primo = primos / conjunto total
Explicação: Quando ocorre um número primo, os seus múltiplos, também terminados em 1, 3, 7 e 9, são em quantidade muito maior pelo que a quantidade de números primos presente no conjunto total decresce até se tornarem ausentes, porém concluindo, tornam-se ausentes porque são em quantidade finita.

Paradoxo probabilístico dos números primos
Considerando a definição clássica de probabilidades como Probabilidade de ocorrência de um número primo = número de casos de números primos / (número de casos de números primos + número de casos de múltiplos de primos), torna-se evidente que se os números primos tivessem infinitos múltiplos, então o primeiro número primo que ocorresse esgotaria a probabilidade de futuras ocorrências já que o denominador da fracção correspondente à definição de probabilidades seria infinito e por conseguinte o resultado da fracção seria zero; ora isto para apenas um número primo, agora imagine-se infinitos números primos, então os seus múltiplos seriam infinitos, de infinitos, de infinitos, … ou seja, … uma infinidade de infinitos, e sempre, … com ausência de números primos já que num conjunto infinito de números não primos, também não pode estar contido o conjunto dos números primos, pois, o infinito preenche esse conjunto de números não primos. O absurdo a que a racionalidade deste paradoxo nos conduz, obriga-nos a aceitar a finitude dos números primos.

Paradoxo da infinita indeterminação da probabilidade dos números primos
Se considerarmos que os números primos são infinitos e os restantes números (naturais ou inteiros) também são infinitos, então a probabilidade de ocorrência de um número primo torna-se indeterminada, ou seja:
Probabilidade de ocorrência de um número primo = número de casos de números primos / (número de casos de números primos + número de casos dos números restantes) = infinito / infinito, ora sabe-se que infinito / infinito = indeterminado ou indefinido.
A prática demonstra sempre e continuadamente que conforme se caminha para o infinito, conforme nos deslocamos, ao longo dos números naturais, para o infinito, pois a quantidade de números primos que ocorre é cada vez menor; a distribuição das frequências de ocorrência de um número primo decresce conforme se caminha para o infinito; mas tendo em atenção a estatística, com as leis dos grandes números e as frequências de ocorrência, designadamente a frequência relativa, permite estimar a probabilidade de ocorrência de um número primo, que decresce continuamente até se anular; isto em contraste paradoxal com a fracção probabilística, infinito / infinito = indeterminado. Portanto, por redução ao paradoxo do absurdo, os números primos têm de ser finitos.

Múltiplos de números primos na base de Patrício
Comparando o trabalho mental realizado com os múltiplos da base decimal com o trabalho na base de Patrício, conclui-se que a criação e ensino de uma tabuada respectiva iria facilitar a realização dos cálculos necessários, entretanto, considerando a base de Patrício, constituída pelos algarismos primos 1, 3, 7 e 9, e que todos os números provenientes desta base, em cooperação posicional com a base decimal, ou são primos ou múltiplos de números primos, pois torna-se cognitivamente racional que a distribuição da frequência de ocorrência de números primos decresça, ou diminua continuamente, conforme se caminha em direcção ao infinito; de facto, todas as vezes que ocorrer um número primo ele vai ter imensos múltiplos, todos a terminar nos algarismos 1, 3, 7 e 9, já que multiplicando um número terminado em 1, 3, 7 ou 9 por outro número terminado em 1, 3, 7 ou 9 tem como resultado um número que, por sua vez, também termina em 1, 3, 7 ou 9; depois há os múltiplos comuns e os múltiplos dos múltiplos comuns, e assim sucessivamente, todos nesta base, todos a terminar nos algarismos 1, 3, 7 e 9 portanto, como os números primos terminam em 1, 3, 7 e 9 e a quantidade destas terminações numéricas vai sendo, cada vez mais, ocupada por números não primos, pois então ela vai escasseando para os números primos que, por isso, se tornam cada vez mais raros, isto é, ocorrem cada vez menos até desaparecerem, até deixarem de ocorrer; ou seja, até terminarem, até acabarem, por isso os números primos são finitos.

Mentalidade emocional da finitude dos números primos
Há nos fundamentos culturais do raciocínio humano uma certa atractividade romântica, emocional, pelo conceito de infinito; também por aprendizagem vicariante e instituição de reflexos condicionados, é frequente as pessoas, ainda que sem pensamento ou reflexão prévios, afirmarem, por exemplo, que os números primos são infinitos porque pertencem aos números naturais e os naturais são infinitos; ora, nada disso se consegue demonstrar, ou provar, nem uns, nem outros, nem a relação entre ambos. Ao longo da história da matemática, todos aqueles que provaram, ou demonstraram, que os números primos são infinitos foram pessoas atraídas emocionalmente pelo conceito de infinito e que, por isso, sempre partiram da crença ou convicção emocional básica nesse infinito; chamaram axiomas aos seus pontos de partida porém, todos esses ditos axiomas estavam, estão, e estiveram inquinados à partida, havia, e há, sempre uma crença básica e fundamental que ofuscava, e ofusca, a mente humana e conduzia, e conduz, a uma falsa sensação da infinitude dos números primos; depois, por efeitos da autoridade que essas pessoas exerceram, a transmissão das suas demonstrações nunca foi questionada até as bases fundamentais dessa crença, infundada e irracional, no infinito e assim, progrediu o desenvolvimento de uma cultura do infinito quando, na verdade, os números primos são, inequivocamente, finitos. Na verdade, a axiomática dogmática da crença irracional no infinito, nunca foi demonstrada, nunca ninguém demonstrou a racionalidade lógica, dedutiva, indutiva ou qualquer outra, da existência do infinito. Por outras palavras, nunca ninguém demonstrou que o infinito é infinito.

Filosofia dualística finitude / infinitude
A etimologia da palavra, infinito, surge como uma forma de negação daquilo que é finito, porém, aquilo que se nega é o finito, é exactamente o finito que se está a negar, aquilo que se nega é exactamente aquilo que se sabe que existe, e por isso se pode negar, aquilo que não se sabe se existe, também se não pode negar; é por isso que os defensores das ideias de infinito, apenas negam o que sabem, com toda a certeza, que existe, o finito. Provavelmente tudo começou quando o homem, desconhecendo o fim de alguma coisa, ou objecto concreto, afirmou o seu infinito porém, com a generalização deste conceito ele ganhou foros de cidadania passando a envolver crenças irracionais, inclusivamente, de carácter místico e religioso. O infinito é, meramente, desconhecido e não se consegue provar, por conseguinte, dever-se-ia substituir, no campo da matemática, a terminologia infinito por desconhecido. Obviamente que em matemáticas discretas se admite a descontinuidade, onde há descontinuidade existe fim, por conseguinte, no conjunto dos números naturais, mas também nos inteiros, a descontinuidade implica a finitude, por isso se afirma que, também filosoficamente, os números primos são finitos.
Em termos dualísticos, o conceito matemático de infinito, tem abrangido a simetria de duas operações: a adição e a divisão. A adição, assim como a subtracção, envolvem o infinito com as respectivas sucessões de números discretos sem fim; a multiplicação, assim como a respectiva divisão, envolvem o infinito quando consideram, por exemplo, a divisão em segmentos cada vez mais pequenos até ao infinitamente pequeno, dando origem à continuidade da análise infinitesimal. Esta continua descontinuidade aditiva dos números discretos em associação com os múltiplos da multiplicação, fundamenta um paradoxo dualístico irredutível dos números primos, desde a sua definição, unicamente resolúvel através da sua finitude.

Determinismo da ordem probabilística no infinito
Considerado que o jogo de probabilidades, tanto, assumindo a definição clássica como na estatística, resulta do acaso e que, no acaso, não existe uma ordem predeterminada e capaz de alterar a probabilidade de ocorrência do caso, por conseguinte, por exemplo, na amostra, a probabilidade de ocorrência; a aleatoriedade significa precisamente que não existe determinismo prévio mas apenas e puramente acaso, ou seja, sem qualquer causa determinante, portanto os resultados surgem única e exclusivamente em função do acaso e não de qualquer ordem determinística previamente estabelecida. Assim, na aleatoriedade do acaso não existe ordem.
Considerando que não que se conhece qualquer ordem pré estabelecida que determine o aparecimento de números primos ao longo da escala crescente de números naturais e, por isso, eles surgem aleatoriamente, surgem ao acaso.
Considerando que, na distribuição dos números primos, conforme caminhamos ao longo dos números naturais, de forma crescente, os números primos surgem cada vez menos, surgem mais escassamente, são cada vez em menor quantidade; então no infinito não surgem números primos, não aparecem números primos; porém, se eles surgissem aleatoriamente ao acaso, sem qualquer ordem pré determinada, ou pré estabelecida, então, em termos do raciocínio lógico probabilístico, na imensidão do infinito não existiria aleatoriedade, não existiria acaso; na imensidão do infinito tudo estaria ordenado, na imensidão do infinito, o determinismo seria completo.
Aqui, o que se procura são os fundamentos da ordem primeira, os fundamentos da ordem que determinam o aparecimento dos números primos, ou primeiros; se os fundamentos da ordem primeira não se encontram nos antecedentes, isto é, se conhecidamente os números primos não têm divisores (além de 1 e o próprio número) pois têm múltiplos, portanto, se a ordem primeira não se encontra nos antecedentes e os números primos surgem ordenadamente, então a ordem primeira tem de estar nos consequentes, nos múltiplos dos números primos; a ordem primeira tem um carácter teleológico. A ordem primeira organiza-se, não do princípio para o fim, mas sim do fim para o princípio. A noção de que a ordem tem um carácter decrescente, diminui quando se caminha dos antecedentes para os consequentes, diminui quando se caminha do princípio para o fim, também se verifica com a designada entropia (desordem ou irreversibilidade) de sistemas termodinâmicos; aqui, em termos de raciocínios lógico probabilísticos, verifica-se com a sucessão dos números primos, ou primeiros.

Definição paradoxal dos números primos
Desde a sua definição que os números primos comportam um paradoxo; considerar primo, ou primeiro, aquele número que apenas admite como divisores a si próprio, e à unidade, implica imediatamente, conhecer a regra, ou identidade fundamental da divisão, segundo a qual: dividendo = divisor X quociente + resto, portanto, o antagonismo paradoxal entre as simetrias aritméticas e geométricas, da adição e da multiplicação, está presente nos números primos, por definição, desde a sua origem. Esta regra, esta identidade fundamental da divisão, é o fundamento de todas as relações de proporção encontradas na matemática ou, como corolário, pode-se também afirmar que grande parte do pensamento matemático se desenvolveu em torno dos números primos e das várias relações matemáticas de proporcionalidade; não foi apenas a proporcionalidade directa e a inversa, com que tudo começou, seguiram-se as relações de proporcionalidade em trigonometria, depois continuaram com as funções exponenciais e as logarítmicas e muitas outras se descobriram e continuam a desenvolver.

Os números primos e a analogia da proporcionalidade
Considerando a regra, ou identidade, fundamental da divisão: dividendo = divisor X quociente + resto, rapidamente se compreende que número primo é todo aquele cujo resto é diferente de zero, para todos os divisores diferentes dele próprio e da unidade, portanto diz-se que não tem tais divisores. Pode-se agora, generalizar e estender, por analogia conceptual, esta expressão a todas as estruturas algébricas correlatas, de tal modo que quando numa qualquer estrutura algébrica, numa função matemática de qualquer natureza, numa fracção, num quociente, num rácio ou numa razão, enfim, sempre que exista um numerador e um denominador, se o resto, transposto para os números naturais, ou inteiros, for igual a zero, pois não se trata de um número, ou expressão de natureza prima, se o resto não for igual a zero pois trata-se de um número, ou expressão, de natureza prima, ou primeira.
É considerando esta generalização da analogia conceptual que, após reflexão aprofundada e efectuando as necessárias correcções de proporcionalidade calculada, se afirma a finitude dos números primos a partir da definição clássica de probabilidade: Probabilidade = Número de casos favoráveis / Número de casos possíveis; já que tendo em atenção o conjunto dos números primos e a frequência relativa da estatística de ocorrência de um numero primo, a probabilidade tende para zero quando se caminha para o infinito, ou seja, no infinito há zero ocorrências de números primos, mas se há zero ocorrências de números primos no infinito, então não há números primos no infinito, se não há números primos no infinito então os números primos são finitos.

Proporcionalidade em bases numéricas heterogéneas
As relações de proporcionalidade dependem das operações matemáticas de adição, subtracção, multiplicação e divisão; também é sabido que toda e qualquer relação de proporcionalidade só têm sentido a partir de bases numéricas cujas distâncias entre os seus algarismos ordenados sejam homogéneas, é isto que ocorre na base decimal; a base numérica de Patrício, constituída ordenadamente pelos algarismos 1, 3, 7 e 9, é heterogénea já que as distâncias entre algarismos podem ser de duas ou quatro unidades; são pois necessárias, outras operações matemáticas, como a complementação e a suplementação para lidar com os números primos, no entanto, a cooperação entre a base de Patrício e a decimal, torna possível a realização de todas as operações, relativizando a noção de número primo e obrigando a admitir a sua finitude.

Sucessões e limites de sucessões envolvendo números primos
Ainda tendo em atenção a regra, ou identidade, fundamental da divisão em relação com as proporcionalidades e considerando as fracções, ou quocientes, como um numerador e um denominador; é possível verificar e demonstrar que a sucessão ordenada de forma crescente dos números primos, como conjunto numerador, vai ter um denominador, constituído pelo conjunto dos números primos mais os seus múltiplos, também em sucessão ordenada crescentemente, sempre maior que o conjunto dos números primos pelo que o limite desta sucessão será zero, portanto estas sucessões e respectivos limites também provam e demonstram a finitude dos números primos.

Famílias de números primos
Os números primos, ou primeiros, agrupam-se e constituem famílias porém, as famílias também se agrupam constituindo agregados familiares maiores, sempre com laços de parentesco. Os laços de parentesco são desenvolvidos através dos múltiplos. De cada vez que na sucessiva ordem numérica surge um número primo, parece que este não tem antecedentes familiares, porém vai originar sucessores, os seus múltiplos que, por sua vez, acabam por se relacionar com as famílias de números primos já existentes, através dos múltiplos comuns.
Considerando que, com excepção do número um, todo e qualquer número terminado em 1, 3, 7 e 9 ou é primo ou múltiplo de um número primo pois, então, os números primos surgem como uma sucessão numérica natural ordenada de modo crescente e ocorrida na base numérica de Patrício sobre a cooperação posicional da base numérica decimal. O pensamento matemático tradicional tem admitido que não é possível prever, a priori, o número primo que vai ocorrer na ordem dessa sucessão, os pensadores tradicionais admitem desconhecer a regularidade ou os padrões de repetição relacionados com os números primos. Ainda que se desconheça a regularidade sucessória dos números primos, é possível estudar, compreender e conhecer, de modo previsível, a sucessão ordenada dos familiares de números primos, isto é dos seus múltiplos em interacção recíproca e ordenada. Conhecendo a regularidade previsível, sucessória e ordenada, do conjunto numérico constituído pelos múltiplos dos números primos, torna-se pois, possível, prever a ordem exacta de sucessão dos números primos; é por isso que as famílias de números primos são muito importantes.

Bases e relações familiares entre números primos
Quando se regride, na procura das primeiras famílias de números primos, encontram-se os algarismos, agora numéricos 1, 3, 7 e 9, da base numérica heterogénea de Patrício como origem das primeiras famílias primas. A partir destas surgem os agregados de famílias; também a partir de novos números primos, surgem novas famílias. As relações familiares que se estabelecem entre números primos, famílias e agregados de famílias desenvolvem-se sempre, trabalhando na base de Patrício em cooperação posicional com a base decimal, assim:
Família do número 1 = qualquer número é múltiplo de1
Família do número 3 = 3, 9, 21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69, … n3
Família do número 7 = 7, 21, 49, 63, 77, 91, 119, 133, 147, …n7
Família do número 9 = 9, 27, 63, 81, 99, 117, 153, 171, 189, …n9
Família do número 11 = 11, 33, 77, 99, 121, 143, 187, 209, …n11
Família do número 13 = 13, 39, 91, 117, 143, 169, 221, 247, … n13
Família do número 17 = 17, 51, 119, 187, 221, 289, 323, 357, … n17
Família do número 19 = 19, 57, 133, 171, 209, 247, 323, 361, … n19
Família do número 21 = 21, 63, 147, 189, 231, 273, 357, … n21
Família do número p = 1xp, 3xp, 7xp, 9xp, 11xp, 13xp, 17xp, … nxp (sendo p = número primo e n = número da base de Patrício).
Entre a família do número 3 e a do número 9 estabelece-se um relacionamento muito forte e particular já que o número 9 é múltiplo de 3 assim, parece que os múltiplos de 9 também são múltiplos de 3, porém os múltiplos de 3 não são necessariamente múltiplos de 9. Por exemplo, 147 é múltiplo de 3 mas não de 9; de facto, o mínimo múltiplo comum entre 3 e 7 é 21 e calcula-se que 21 x 7 = 147, assim, 147 é um múltiplo comum entre 3 e 7 mas não é múltiplo de 9. O mínimo múltiplo comum entre 3, 7 e 9 é 63 pelo que, usando sempre a base numérica de Patrício, os múltiplos de 63 também são múltiplos de 3, 7 e 9. É com base nas relações entre os números primos e os seus múltiplos comuns, assim como nas relações que sucessivamente se estabelecem entre os múltiplos dos múltiplos, que se forma uma rede de relações familiares capaz de prever a regularidade da ocorrência, sucessória e ordenada, no conjunto numérico constituído pelos múltiplos dos números primos e depois, por exclusão de partes, também nos números primos.

EUREKA! – ORDEM PRIMEIRA!

Fundamentos da Ordem Primeira
Reconhece-se que, trabalhando sempre na base numérica de Patrício, com as operações de multiplicação ou de divisão, os números resultantes destas operações, primos ou não, terminam sempre em 1, 3, 7 ou 9; por conseguinte, na sequência deste raciocínio, surge um outro, ou seja, trabalhar com os múltiplos dos números primos na base numérica heterogénea de Patrício em cooperação posicional com a base decimal induz, por generalização cognitiva, a ideia de que existirá pelo menos um número que será múltiplo de todos os números primos; isto é, um número que ao dividir por todo e qualquer número primo da base de Patrício (portanto com excepção de 2 e 5) todos terminando em 1, 3, 7 ou 9, dará resto zero.
É inequívoco que existem imensos dividendos, ou múltiplos, de cada número primo, e este, ao funcionar como divisor, será sempre inferior a metade do dividendo, mas o que se pretende é encontrar pelo menos um múltiplo que seja divisível, por todos, e cada um dos números primos; ou seja, pretende-se encontrar um múltiplo comum a todos os números primos. O trabalho com as bases, os números primos e as várias relações entre os números primos e entre os seus múltiplos permite, por generalização cognitiva de um raciocínio lógico indutivo concluir que existem pelo menos dois números que satisfazem essa condição, no entanto, a racionalidade lógica permite admitir a existência de muitos mais, isto é imensos, para não dizer infinitos, já que os números primos são finitos. O uso da razão humana e das estruturas cognitivas para encontrar as fórmulas gerais desses números são, em tudo, semelhantes, ou seja:
Por um lado, pode ser feito através do produtório dos números primos ordenados de modo sucessivamente crescente; por outro lado também se pode fazer através do produtório dos números de Patrício (que terminam em 1, 3, 7 ou 9) ordenados de modo crescente.
Compreendendo que o conjunto dos números primos está contido no conjunto dos números de Patrício, torna-se facilmente entendível que qualquer um destes produtórios fornece um múltiplo comum de qualquer número primo abstractamente determinado, ou até, por generalização, de todo o conjunto dos números primos.
Se destes produtórios resultam múltiplos de números primos, então na regra, ou identidade, fundamental da divisão: dividendo = divisor X quociente + resto, quando efectuada utilizando números primos como divisores, o resultado destes produtórios como dividendos, pois resultará um quociente cujo resto será igual a zero. Trabalhando agora a respectiva relação entre numerador e denominador com as proporcionalidades directa e inversa é possível fazer com que os números primos surjam como uma função de proporcionalidade.

Ordem Primeira e funções geradoras de números primos
Tendo em atenção que as fórmulas dos produtórios de números primos, assim como as dos produtórios dos números de Patrício, são capazes de possibilitar a escolha de pelo menos um múltiplo comum, na disposição ordenada de forma crescente até um determinado número primo, abstractamente determinado; pois utilizando essas fórmulas é agora possível definir funções geradoras de números primos com variáveis dependentes e independentes, domínios e contra domínios etc.
Estas funções partem da estrutura básica verificada analogicamente nas relações de proporcionalidade, no entanto a existência de produtórios torna essa proporcionalidade única para uma nova categoria de funções a estudar no âmbito da análise funcional infinitesimal.

A imensidão dos múltiplos comuns dos números primos
Trabalhando sempre na base numérica de Patrício, portanto com os números terminados em 1, 3, 7 e 9, a partir do momento em que se encontra um, e um só que seja, múltiplo de todos os números primos pois a quantidade de múltiplos de todos os números primos torna-se imensa já que os múltiplos desse número, a partir da base numérica de Patrício, também serão múltiplos de todos os números primos; ainda utilizando única e exclusivamente esta base numérica, a função exponencial dos múltiplos comuns de números primos também gera múltiplos comuns de números primos e o produtório dos múltiplos comuns de números primos, que surge como o produtório de um produtório, também gera múltiplos comuns de números primos e assim sucessivamente numa série de produtórios desenvolvidos a partir da base numérica de Patrício.
A imensidão gera imensidão já que, trabalhando sempre com a base numérica de Patrício, tanto o exponencial, ou a função exponencial, de um produtório como o produtório de um exponencial, ou da função exponencial, de múltiplos comuns de números primos geram múltiplos comuns de números primos.

Produtórios e ciclos ou sequências da base numérica de Patrício
A realização de produtórios na base numérica heterogénea de Patrício permite calcular o número de ciclos, ou sequências, dessa base em relação com o aparecimento de números primos e a sua distribuição ao longo de uma escala ordenada de modo sucessivamente crescente.
Seja o seguinte produtório e sequências designadas por Sn:
1x3x7x9 = primeiro ciclo ou sequência designada S1 = 189
1x3x7x9x11x13x17x19 = tem 2 ciclos ou sequências com S2 = 11x13x17x19 = 46189
1x3x7x9x11x13x17x19x21x23x27x29 = tem 3 ciclos ou sequências com S3 = 21x23x27x29 = 378189 
1x3x7x9x11x13x17x19x21x23x27x29x31x33x37x39 = tem 4 ciclos ou sequências com S4 = 31x33x37x39 = 1476189
1x3x7x9x11x13x17x19x21x23x27x29x31x33x37x39x41x43x47x49 = tem 5 ciclos ou sequências com S5 = 41x43x47x49 = 4060189
1x3x7x9x11x13x17x19x21x23x27x29x31x33x37x39x41x43x47x49x51x53x57x59 = tem 6 ciclos ou sequências com S6 = 51x53x57x59 = 9090189
A fórmula geral do produtório é:
 Produtório = S1xS2xS3xS4xS5x … x Sn. 
A fórmula geral da sequência, como sendo um tipo de progressão matemática, é:
 Sn = (10n)4 + 20(10n)3 + 130(10n)2 + 300(10n) + 180.

É evidente que a relação geral desta sequência (Sn) pode ser matematicamente trabalhada e assumir qualquer outra apresentação, gráfica ou pictórica, no entanto o importante, a notar, é que se mantém a relação entre os números. Como é do conhecimento geral a inter-conversão entre produtórios e funções, ou expressões, polinomiais não é qualquer novidade, no entanto aqui, é de observar que, enquanto o produtório inicial se faz a partir dos números da base numérica heterogénea de Patrício em cooperação posicional com a base decimal, já a sequência ou sucessão numérica se faz na base decimal. 
A análise deste produtório permite retirar algumas conclusões imediatas; por exemplo, fica-se a saber que surgindo 189 como resultado do primeiro produto da base numérica de Patrício, ele é também um múltiplo comum de 1, 3, 7 e 9 mas não é o mínimo múltiplo comum já que sendo 63 um múltiplo comum, este é menor do que 189; por outro lado, ao longo do produtório, em cada ciclo ou sequência sucessiva, vai surgindo o número de vezes que esse produto da base numérica de Patrício, mas também múltiplo comum, se repete; considerando que os múltiplos comuns funcionam como dividendos e os números primos como divisores com resto igual a zero, isto permite realizar cálculos relacionados com o aparecimento dos números primos mas também com a sua distribuição já que as sequências, ou ciclos, não têm que se iniciar no princípio da base de Patrício mas, por exemplo, imediatamente após aparecer um número primo e o intervalo calculado com o produtório pode ser previamente determinado. A inter-convertibilidade, que se verifica, entre o uso dos números da base numérica de Patrício e os números da base decimal induz o pensamento e raciocínio lógico para a possibilidade da existência de simetrias nos números primos; também as sucessões e progressões numéricas verificadas fazem pensar nas matemáticas discretas e os vários ramos da análise combinatória em associação com a matemática dos números primos; o facto de os algarismos 189 se repetirem no fim de cada ciclo ou sequência induz, no pensamento, a possibilidade, não comprovada, de usar a nova operação algébrica, designada por suplementação, como método para agilizar os cálculos com números primos, ou primeiros.

Somatórios e sucessões ou progressões da base numérica de Patrício
A realização de somatórios envolvendo a base numérica heterogénea de Patrício, em cooperação posicional com a base decimal, permite definir e estudar sucessões e progressões aritméticas assim como a inter-relação recíproca entre ambas estas bases numéricas, numa melhor compreensão da ordem primeira e do modo como os números primos surgem sucessivamente numa escala crescentemente ordenada.
Seja o seguinte somatório e ciclos ou sequências designadas por Un:
Somatório = 1+3+7+9+11+13+17+19+21+23+27+29+31+33+37+39+41+43+47+49+ … + …
1+3+7+9 = U1 = 20 - primeiro ciclo ou sequência
11+13+17+19 = U2 = 60 - segundo ciclo ou sequência
21+23+27+29 = U3 = 100 - terceiro ciclo ou sequência
31+33+37+39 = U4 = 140 - quarto ciclo ou sequência
41+43+47+49 = U5 = 180 – quinto ciclo ou sequência
51+53+57+59 = U6 = 220 – quinto ciclo ou sequência
Daqui se retira a seguinte relação:
Un = Un-1 + 40, com n> =2 (portanto com n maior ou igual a 2).
Considerando Un como a designação para esta progressão aritmética, pois, a fórmula do seu termo geral é:
Un = 20 + 40(n – 1)
A fórmula geral do somatório é:
 Somatório = U1+U2+U3+U4+U5+ … Un

Sabendo que o conjunto dos números de Patrício contém o conjunto dos números primos, ou primeiros, (com excepção do 2 e do 5) e que é possível a inter-conversão recíproca entre somatórios, sucessões e progressões aritméticas obtidas a partir da base numérica de Patrício com os números da base decimal, pois, torna-se evidente a necessidade imperiosa de existirem simetrias e respectivos padrões numéricos relacionados com os números primos, ou primeiros. Esta previsibilidade determinística e ordenada do aparecimento dos números primos, ao longo de uma escala ordenada, já antes se tinha verificado para as situações de convertibilidade entre sequências de produtórios e os múltiplos comuns dos números primos, através do uso dos números da base numérica de Patrício e dos números da base decimal. Na verdade, os padrões de repetição numérica que se encontram patentes na ordem, plasmada e determinada através dos produtórios e dos somatórios, com o uso dos números de Patrício, não se alteram com o aparecimento dos números primos ao longo da respectiva escala ordenada; ora se os números primos surgissem de modo completamente aleatório e imprevisível, seria pois suposto que, essa ordem, sofresse algum tipo de alteração ou distorção, o que, de facto, não se verifica, portanto, é de concluir que o aparecimento dos números primos, ou primeiros, é previsível e determinado, estando incluído na ordem representada pelos somatórios e produtórios resultantes do uso da base de Patrício. Os somatórios dos produtórios da matriz de Patrício, permitem a translocação, ou transposição, das simetrias encontradas nos números primos da base de Patrício para as simetrias não primas da base decimal. A possibilidade, ainda que não comprovada, de usar a nova operação algébrica, designada por complementação, poderia ser útil nas situações dos somatórios de números de Patrício, como método para agilizar os cálculos já que os números primos, ou primeiros, quando surgem na escala ordenada, não alteram a ordem, nem os fundamentos da ordem primeira.

Sequências operacionais em álgebra abstracta
Pensar em sequências ou sucessões matemáticas, progressões aritméticas e geométricas, somatórios e produtórios; é pensar em estruturas numéricas cuja estabilidade da ordem permite, com uma só operação matemática, ou então, um conjunto de operações rígido e estável, operar e provocar a variabilidade de números, ou algarismos. Por exemplo, um somatório é apenas uma estrutura que utilizando sempre a mesma operação matemática, a adição, provoca variação nos algarismos, ou números, com ele relacionados. Por criatividade racional, resultante de um antagonismo conceptual, dialéctico dualístico, podem-se estruturar algebricamente operações matemáticas que fundamentem, não sequências ou sucessões numéricas, não alterações ou variações de números e algarismos; mas sim sequências ou sucessões de operações matemáticas, sequências ou sucessões de operações matemáticas definidas previamente no âmbito de estruturas algébricas capazes de entender, e compreender, a ordem primeira dos números primos. Em termos das ciências da computação, as sequências finitas de operações funcionam como algoritmos, também entendidos tradicionalmente como estruturas de decisão; na matemática dos números primos, as sequências de operações algébricas podem ser finitas ou infinitas, com muitas ou poucas operações, todas algebricamente definidas.
EXEMPLO EXPLICATIVO
Vamos considerar o número 7, e também algarismo primo; a partir unicamente deste número primo é possível desenvolver uma sequência algébrica operacional assim:
Sequência algébrica = + 7 x 7 – 7 / 7 x 7 – 7 x 7 complementação 7 x 7 – 7 + 7 x 7 suplementação x 7 / 7 suplementação 7 complementação 7 – 7 – 7 – 7 + 7 / 7 – 7 x 7 x 7 + 7 complementação 7 + 7 + 7, … = sequência operacional algébrica infinita. Obviamente, esta sequência de operações algébricas foi escolhida ao acaso pois o que se pretende, com este exemplo, é clarificar de modo demonstrativo o conceito de sequência operacional algébrica onde o destaque, portanto a atenção, não vai para o número mas sim para as operações algébricas previamente definidas e que surgem de modo sequencial.
O conceito, e utilização, das sequências operacionais algébricas, ajudam a compreender a ordem inerente aos números primos assim como os fundamentos da ordem primeira.      

Números primos e função de Patrício
O conjunto dos números naturais, ou os inteiros, ao conterem os números primos implicam imediatamente nos raciocínios da matemática discreta e da análise combinatória como, mais um, método de abordagem possível; claro que terminando todos os números primos em 1, 3, 7 ou 9 se torna possível, com as técnicas da análise combinatória, calcular as combinações com e sem repetição, arranjos, com e sem repetição, permutações, etc. destes números, porém, é mais importante reconhecer que a inter-conversão recíproca entre produtórios e somatórios faz lembrar a função de Patrício.
Sabe-se que, no triângulo de Pascal, apenas a primeira e a terceira linhas são completamente preenchidas por números da base numérica de Patrício.
A função de Patrício, assim como a respectiva igualdade combinacional, podem ser usadas conjuntamente com os números da base numérica de Patrício para a situação em que n = 1; isto é, para a primeira linha do triângulo de Pascal. Se agora, nesta função, a variável Z for substituída pela fórmula do produtório dos números primos, ou então dos números de Patrício, ambos tendo como resultados os múltiplos comuns, pois então será interessante estudar e compreender o modo como os múltiplos comuns variam com as combinações, mas atenção, compreenda-se que a igualdade combinacional, isto é, a igualdade estabelecida para as combinações com e sem repetição, como não poderia ser de outro modo, apenas pode ser observada para n = 1, cujo factorial, por ser também = 1, tem relação imediata com a respectiva função inversa mas também com a teoria e definição clássica de probabilidades que variam entre zero (0) e um (1), e mais, também com o teorema dos números primos.

Função de Patrício e teorema dos números primos
Considerando a função de Patrício e a respectiva base numérica com os algarismos 1, 3, 7 e 9, entende-se que para n = 1, resulta, factorial = 1 e a variável Z poderá assumir qualquer valor que a relação estabelecida pela função não se altera; acontece que, pelo teorema do número primo se verifica que o resultado da função de contagem de números primos vai diminuindo quando se avança nos números naturais até se encontrar uma relação que, no infinito, tende para 1; isto é, precisamente o resultado do factorial, na função de Patrício, qualquer que seja o valor de Z, desde que n = 1; portanto, ainda que Z fosse substituído pela função de contagem de números primos, por qualquer número primo, ou outro, o resultado da função de Patrício seria sempre = 1, ou seja, precisamente igual ao limite do teorema do número primo; relacionando a função de patrício com as contagens da análise combinatória e a teoria clássica das probabilidades e agora, com a teoria do número primo, surgem resultados interessantes sobre o paradoxo da infinitude dos números primos.

Função de Patrício e simetrias dos números primos
Considerando que no triângulo de Pascal a linha número 3 corresponde totalmente a números, ou algarismos, da base numérica heterogénea de Patrício, ou números primos, então é possível aplicar a função de Patrício cujo resultado do factorial é um número par. Também neste triângulo, unicamente para n = 3, trocando a base pelo expoente, na expressão onde se encontra a variável Z pois torna-se possível desenvolver a igualdade funcional de Patrício; isto é, igualar o número de combinações com repetição ao número de combinações simples, numa paridade numérica reveladora de simetrias. Há pois uma relação entre números da base heterogénea de Patrício, números primos e as simetrias em matemática mas, as simetrias são fundamentais para a procura de padrões de repetição, aliás, vários raciocínios lógico matemáticos, aqui desenvolvidos, têm como fundamento a procura de padrões de repetição que, por sua vez, assentam nas simetrias. Por outro lado, as simetrias são, por excelência, do domínio da geometria.

Geometria dos números primos
Associar a geometria com as bases numéricas é um modo de procurar simetrias e padrões de repetição capazes de conduzir a generalizações matemáticas. Na base decimal todos os algarismos constituintes têm, entre si, distâncias iguais ou homogéneas; a distância entre dois algarismos sucessivos, numa escala ordenada da base decimal, é de uma unidade; portanto a partir da base decimal diz-se que os algarismos, e os números sucessivos, distam de uma unidade entre si. Ainda que se dividisse a base decimal nos conjuntos dos números pares e ímpares, a base numérica resultante continuaria a ser homogénea, simplesmente os algarismos sucessivos, e de igual modo para os números sucessivos resultantes, distariam entre si, de duas unidades, na verdade, os números ímpares, assim como os pares, distam entre si de duas unidades. A base decimal é, de longe, a mais conhecida entre as pessoas; com o desenvolvimento das ciências da computação, também a base binária passou a ser reconhecida, no entanto, para estudar e compreender os números primos, ou primeiros, torna-se necessário partir de outra base numérica: a base numérica heterogénea de Patrício.
Como todos os números primos (com excepção de 2 e 5) terminam em 1, 3, 7 ou 9, foi necessário procurar uma base numérica capaz de permitir a realização de operações matemáticas com estes algarismos. Por comparação com a base decimal, também a sequência posicional dos algarismos, nesta base, é cíclica, assim: a seguir ao 9 vem o 11 que dista 2 unidades, entre 1 e 3, assim como entre 7 e 9, as respectivas distâncias são também de 2 unidades, no entanto entre 3 e 7 a distância é de 4 unidades; como as distâncias entre os algarismos e, depois, os números, são diferentes conforme a disposição na escala ordenada, então esta base é heterogénea e foi designada base numérica heterogénea de Patrício ou simplesmente base numérica de Patrício. Esta base numérica permite realizar operações matemáticas que se aproximam mais dos números primos.
Considerando a figura geométrica da base de Patrício, definida no plano, pois torna-se possível a realização de cálculos em termos de geometria analítica e, depois, também a análise funcional infinitesimal com primitivação, ou melhor, o cálculo integral definindo uma área. A base numérica heterogénea de Patrício apenas tem de respeitar as distâncias entre os algarismos que a constituem pelo que os ângulos entre os lados da figura geométrica podem variar numa trigonometria geométrica, capaz de encontrar simetrias e padrões angulares em relação com os números primos. A formação tridimensional de sólidos geométricos, assim como a visualização pictórica e a planificação desses sólidos em figuras geométricas facilita a captação de simetrias e padrões geométricos que podem ser traduzidos em relações matemáticas determinantes da ordem encontrada na disposição dos números primos ao longo da escala ordenada. Não são apenas envolvidos ramos da matemática como a trigonometria, a geometria e a aritmética mas outras áreas do saber, como a topografia, ou a própria teoria dos grafos, inclusivamente os grafos angulares de Patrício, podem ser estudados a partir desta base heterogénea; por exemplo, se entre as muitas figuras geométricas que se podem construir, forem constituídos triângulos equiláteros e a seguir uma pirâmide, ou quase pirâmide, pois o estudo torna-se facilitado para os grafos angulares de Patrício em relação com os números primos, ou primeiros.
 
É a junção das bases, decimal com a base heterogénea de Patrício, que torna fundamentalmente possível uma análise e compreensão mais facilitada do modo como os números primos surgem e se dispõem ao longo dos números naturais, ou inteiros.
A junção de ambas as bases, uma homogénea e outra heterogénea tem como resultado uma base heterogénea capaz de permitir a compreensão dos fundamentos da ordem primeira.
Compreender os fundamentos da ordem primeira não significa descobrir uma fórmula matemática mágica e capaz de fornecer a sequência ordenada previsível e determinada dos números primos, significa sim, descobrir o determinismo da ordem que lhes está subjacente.
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Doutor Patrício Leite, 28 de Julho de 2018