Igualdade funcional de Patrício

Igualdade funcional de Patrício como um conjunto de funções matemáticas conversoras de combinações, arranjos e permutações em funções exponenciais.

Ordem e caos. A fundamentação existencial da ordem caótica está na dualidade paradoxal da simetria fundamental. É sempre a partir das simetrias que se identificam padrões de repetição, dualisticamente paradoxais, numa coexistência identitária sempre diferente e sempre igual. Foi a partir dos padrões de simetria potencial que, por sucessivas operações diferenciais e posteriores generalizações, consegui alcançar uma função que designei por função de Patrício; esta função foi apenas, e meramente, um simples ponto de partida, outras funções e raciocínios matemático - filosóficos, mais profundos, se sucederam e sucedem.

FUNÇÃO DE PATRÍCIO
A função de Patrício relaciona o somatório de combinações simples e arranjos com repetição que, ordenados pela variável Z, se repetem sucessivamente em filamentos até ao infinito. Parece que não existe apenas uma ordem infinita mas, como que, infinitos filamentos infinitos de ordem infinita, através de infinitos níveis de ordem. Enquanto função matemática, a função de Patrício, assume a continuidade que lhe permite a submissão à análise infinitesimal de funções; ou seja, a variável Z pode assumir qualquer valor de qualquer corpo, ou grupo de números, inclusivamente do corpo dos números reais, do corpo dos números complexos ou outros; por outro lado, quando apenas conceptualizada no âmbito de uma matemática discreta das contagens, ou análise combinatória, pois aí, assumirá apenas o conjunto dos números que forem necessários, naturais ou inteiros, para efectuar essas contagens.
Tendo atenção a análise de funções com domínio e contra domínio, eixo das abcissas e das ordenadas etc. pode-se afirmar que a função de Patrício, à partida, relaciona duas variáveis que são n e Z. É evidente que, em termos de contagens, se verifica sempre uma igualdade para qualquer valor de Z mas o que é verdadeiramente importante, em termos desta função da matemática contínua,  é a analise infinitesimal dos filamentos Z num determinado intervalo.

IGUALDADE FUNCIONAL DE PATRÍCIO
Se considerarmos a simetria potencial que se verifica no coeficiente potencial de Patrício e, por isso, na função de Patrício invertermos simetricamente a base e o expoente, do referido coeficiente potencial, fica (n+Z–k)n transformado em n(n+Z–k) Assim, a mera transformação por inversão de simetria potencial, entre a base e o expoente de uma potência origina, desde que n se mantenha constante e igual a 3 (três), uma fórmula funcional muito interessante que designei por igualdade funcional de Patrício.
É evidente que, de acordo com a igualdade funcional de Patrício, surge uma igualdade numérica entre uma função exponencial, e o produto de somatórios de combinações com ou sem repetição por sequências de arranjos com repetição, isto desde que o valor de n seja constante e igual a 3 (três); de notar que n = 3 corresponde à linha número 3 do triângulo de Pascal. De facto a variável Z na igualdade funcional de Patrício pode tomar qualquer valor pois, desde que n = 3 (três), verifica-se sempre a igualdade de ambos os termos, tanto para as combinações simples como para as combinações com repetição; há pois a existência de filamentos numa clara analogia com a função de Patrício, simplesmente em vez das permutações surge agora uma função exponencial com todas as implicações que esta manifesta em termos da logaritmização como inversa, mas também de todas as outras componentes do seu estudo em análise matemática infinitesimal.

FUNÇÕES COMBINATÓRIAS DE PATRÍCIO
Assim como a função de Patrício serviu para, através de um mecanismo mental de inversão simétrica potencial, alcançar a igualdade funcional de Patrício, também agora, por um mecanismo de generalização, a igualdade funcional de Patrício serviu para a conceptualização racional de um vasto conjunto de funções matemáticas. As funções matemáticas têm um domínio e um contradomínio, um eixo de abcissas e um eixo de ordenadas. Tradicionalmente o eixo das ordenadas é representado pela letra y e o das abcissas pela letra x. A igualdade funcional de Patrício verifica-se apenas para a situação concreta em que sendo n = 3 surge Z = x = y. E nas outras situações? Quando o valor de n variar? Quando n = 4, 5, 6, … ? Pois para cada valor de n surge uma função diferente que relaciona funções exponenciais com somatórios de combinações e sequências de arranjos com repetição, tanto para as combinações simples como para as completas, que se torna necessário estudar. É de notar que vez de se escolher o valor de n se poderá escolher o valor de x ou de y e estudar o modo como variam as outras variáveis. A estas funções atribuí a designação de função combinatória simples de Patrício para a função relacionada com as combinações sem repetição e função combinatória completa de Patrício para a função relacionada com as combinações com repetição.
A análise das funções combinatórias de Patrício não apenas estabelece uma ponte entre as matemáticas discretas e contínuas como também ultrapassa as fronteiras das séries de funções geratrizes, ou geradoras, exponenciais deslocando o campo e o objecto de estudo para as suas implicações na teoria dos números.

FUNÇÃO COMBINATÓRIA SIMPLES DE PATRÍCIO
O enunciado da função combinatória simples de Patrício relaciona a linha n do triângulo de Pascal com o somatório das respectivas combinações a multiplicar pelas correspondentes séries de arranjos com repetição, assim:
Como 2n corresponde ao somatório dos valores encontrados ao longo da linha n do triângulo de Pascal, então o enunciado da função combinatória simples de Patrício pode assumir a seguinte forma:
FUNÇÃO COMBINATÓRIA COMPLETA DE PATRÍCIO
O enunciado da função combinatória completa de Patrício relaciona a linha n do triângulo de Pascal com o somatório das respectivas combinações completas, ou com repetição, a multiplicar pelas correspondentes séries de arranjos com repetição, assim:
Também aqui 2n corresponde ao somatório dos valores encontrados ao longo da linha n do triângulo de Pascal para as combinações simples, ou sem repetição, pelo que o enunciado da função combinatória completa de Patrício pode assumir a seguinte forma:
Os avanços na reflexão humana não surgem espontaneamente e de forma completamente perfeita; é preciso muito treino mental persistente e uma concepção dualística da entidade existencial capaz de fundamentar raciocínios como as funções numereto que divulguei em 28 de Setembro de 2016 onde expus o conceito de simetria exponencial opondo, através dessa simetria, as funções polinomiais e as exponenciais que, posteriormente, em 4 de Outubro de 2016 dei continuidade a esse conceito, com a descrição de simetrias da matemática em geral e as potenciais em particular, logo de seguida, ainda nesse mês descrevi, em 9 de Outubro de 2016 a função potencial e respectiva inversa, que designei por elevacional; foi assim amadurecendo uma concepção e uma ideia dualística capazes de permitir as actuais conclusões aqui expressas, sendo certo que ainda não parei pois, muito brevemente, avançarei com a divulgação de uma reflexão matemática mais abrangente e filosoficamente mais profunda na compreensão humana da ordem e do caos.
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Doutor Patrício Leite, 20 de Junho de 2018