ÁLGEBRA TRANSCENDENTAL NO TRIÂNGULO DE PASCAL

Alguém sabe o que é isto?
Σ1n. Pois é, ninguém sabe o que é isto: Σ1n. Vou explicar: Isto: Σ1n actualmente é, talvez, uma das estruturas algébricas representante do triângulo mais importante da humanidade. Vejamos, em termos de um rascunho geral, pode ser descrito como, infinidades de infinitos somatórios de infinitas séries de somatórios infinitos de infinitas sucessões aritméticas de números infinitos, tudo infinitamente sucessivo, numa infinidade sem fim.
Mais especificamente isto, Σ1n apenas se refere à representação algébrica do Triângulo Aritmético, também designado triângulo de Pascal ou Tartaglia e agora, aqui designado pela estrutura algébrica de Patrício.

Como começou isto?
Algures, ao longo da minha ontogénese, durante o desenvolvimento das estruturas cognitivas, especificadamente logo após o período das operações abstractas tornou-se possível conceber ideias e problemas cada vez mais generalizados.
Assim, pensei:
Com 2 pontos consegue-se efectuar, entre eles, 1 ligação; com 3 pontos, consegue-se 3 ligações; com 4 pontos dá 6 ligações; 5 pontos dão 10 ligações; e assim sucessivamente, sempre 2 a 2, sem repetição das ligações. Ainda no início da juventude, e sem grandes conhecimentos matemáticos, já foi possível efectuar uma generalização desta constatação, assim determinada:
U1 = 0; U2 = 1; U3 = 3; U4 = 6, …, portanto Un = Un-1 + n – 1 com n > 1; ou seja, definida em termos de sucessões e progressões matemáticas. Conforme o conhecimento, e a idade, foram evoluindo, tornou-se claro que estas combinações, 2 a 2 sem repetição, já foram muito tempo antes estudadas e previstas no triângulo aritmético, ou de Pascal, conjugado com os coeficientes do binómio de Newton.

Algumas regularidades do triângulo aritmético
O triângulo aritmético, pode ser reduzido a três eixos dimensionais com vários padrões de inter-relação que permitem encontrar valores numéricos para, pelo menos, tês variáveis que são as colunas, as linhas e as combinações simples; a partir destas três variáveis podem ser encontrados padrões matemáticos capazes de definir outras variáveis.
Assim, são várias as regularidades observadas e já descritas para o triângulo aritmético ou de Pascal; acredita-se que são ainda muitos os padrões e regularidades deste triângulo, que nunca foram mencionados previamente. Vejamos alguns interessantes:
O triângulo é constituído por colunas diagonais descendentes do topo para a base e da direita para a esquerda; relacionando estas colunas diagonais com as combinações simples verifica-se que cada uma destas colunas tem sempre o mesmo número de elementos escolhidos para efectuar as referidas combinações ou seja o mesmo número, da parte de baixo do coeficiente binomial de Newton e que corresponde à respectiva coluna do triângulo de Pascal.
Uma observação atenta e reflectida permite constatar que um dado valor n de combinações simples, designado em qualquer uma destas colunas diagonais, corresponde ao somatório de combinações da coluna anterior até atingir o número desse valor; outra regularidade diz respeito à sucessão, ou sequência, crescente de números ao longo da coluna porém, não se trata de progressão aritmética nem geométrica, já que não é possível encontrar as razões destas progressões, na verdade, as razões são também sucessivamente variáveis em função das sucessivas variações ocorridas nas colunas anteriores; encontram-se pois, séries de relações de recorrência de uma coluna sucessivamente com a sua respectiva anterior na tentativa de determinar á fórmula do termo geral de qualquer progressão, sequência ou sucessão numérica ao longo das colunas; também a tentativa de definir recursivamente a sucessão ou progressão, de uma coluna, conduz a sucessivas relações de recorrência com as colunas anteriores.
Assim, sejam por exemplo nC3, mC4 e pC5 respectivamente as sucessões de números ao longo das colunas diagonais 3, 4 e 5 do triângulo aritmético; tentar uma definição recursiva destas sucessões conduz às seguintes expressões: pC5 = p-1C5 + mC4 no entanto, mC4 = m-1C4 + nC3 e isto continuaria, com n = m = p, sucessivamente até chegar à coluna diagonal 0 em que nC0 = 1n portanto a tentativa de definição recursiva da sucessão implica numa sucessiva recorrência às sucessões, ou sequências, das colunas anteriores.

Séries infinitas de relações de recorrência no triângulo aritmético
As sucessivas relações de recorrência recursiva que se encontram na tentativa de definir recursivamente as sucessões, ou sequências, ao longo da coluna diagonal do triângulo aritmético, também se verificam para as correspondentes séries infinitas.
Assim, sabendo que as variáveis consideradas se referem aos valores nas linhas, nas colunas e nas combinações simples, pois simplificando a indexação dos somatórios pela ordem crescente, dos números naturais, ao longo da coluna diagonal do triângulo aritmético, para efeitos de compreensão, tem-se:
Considerando que as sucessões das colunas diagonais 3, 4 e 5 sejam representadas respectivamente por nC3, mC4 e pC5 vem:
  pC5 = mC4 + Σm-1p=1mC4 sendo que mC4 = nC3 + Σn-1m=1nC3 compreende-se  que isto apenas faz sentido se continuar sempre com n = m = p sucessivamente até chegar à coluna diagonal 0 em que nC0 = 1n sendo nesta Σ nC0= Σ 1n.
Exemplificando no triângulo aritmético; com n = m = p = 4 vem:
Coluna 5
 4C5 = 56
Coluna 4
 4C4 = 35; 3C4 = 15; 2C4 = 5; 1C4 = 1;
Coluna 3
  4C3 = 20; 3C3 = 10; 2C3 = 4; 1C3 = 1;
Com n = m = p = 4 adequando e substituindo os valores na fórmula abstracta fica: 
 pC5 = mC4 + Σm-1p=1mC4 sendo que mC4 = nC3 + Σn-1m=1nC3
 56 = pC5 = 4C5 = mC4 + 1C4 + 2C4 + 3C4 sendo que mC4 = nC3 + 1C3 + 2C3 + 3C3
Portanto: 56 = pC5 = nC3 + 1C3 + 2C3 + 3C3+ 1C4 + 2C4 + 3C4 como n = m = p resulta
 56 = pC5 = 20 + 1 + 4 + 10 + 1 + 5 + 15 = 56
Assim, a tentativa de definição recursiva das séries infinitas, no triângulo aritmético, implica em sucessivas recorrências às séries infinitas das colunas anteriores.

Séries infinitas transcendentais e o triângulo aritmético
As infinidades de infinitos somatórios de infinitas séries de somatórios infinitos de infinitas sucessões (aritméticas, geométricas ou outras) de números infinitos, tudo infinitamente sucessivo, numa infinidade sem fim, são designadas séries infinitas transcendentais ou simplesmente séries transcendentais.
São infinitas, as séries infinitas que se podem estabelecer, de modo infinitamente variável, no triângulo aritmético constituindo uma série infinita transcendental assim representada algebricamente: Σ1n. Na verdade, o triângulo aritmético, ou de Pascal, pode ser assim determinado: Triângulo aritmético = Σ Σ Σ Σ Σ  … Σ Σ Σ 1n … = ∞Σ1n
Assim como as séries dizem respeito ao somatório, até ao infinito, dos termos de uma sucessão, também as séries infinitas transcendentais dizem respeito ao somatório, até ao infinito, das séries; por conseguinte, as séries infinitas transcendentais correspondem a infinitos somatórios de somatórios que respeitam as propriedades dos somatórios, em geral, com as respectivas operações matemáticas.
Ao operar com séries infinitas transcendentais, pode ser necessário determinar, com alguma exactidão, certos valores ou parâmetros de algum, ou alguns, somatórios intercalados na série infinita transcendental de somatórios; a notação que determine esses valores ou parâmetros deve-se aproximar, o máximo possível, da notação matemática associada aos somatórios, de modo a tornar intuitiva a compreensão e uso operacional das séries transcendentais.

O todo e as partes no triângulo aritmético
A expressão algébrica Σ1n, enquanto série infinita transcendental, tem validade matemática enquanto representante de todo o triângulo de Pascal. Como já aqui foi referido, o triângulo aritmético tem três eixos dimensionais com tês variáveis que são as colunas, as linhas e as combinações simples; portanto, qualquer que seja a restrição ou limitação colocada ao triângulo, desde que pelo menos uma destas dimensões, ou variável, mantenha o aspecto de infinitos somatórios de somatórios, ainda se pode afirmar que se trata de uma série infinita transcendental; por outro lado, se forem colocadas restrições ou limitações determinísticas a todas as três dimensões, ou três variáveis, do triângulo de Pascal, pois então, ainda que sejam usados somatórios de somatórios, o facto de perderem o carácter infinito, também faz perder o carácter de séries infinitas transcendentais; na verdade, um triângulo completamente finito, limitado nas três dimensões e, por isso, contido no interior do triângulo de Pascal, ainda que seja definido em termos de sucessivas recorrências recursivas e com somatórios de somatórios, pelo facto de não ter carácter infinito perde o aspecto de série infinita transcendental. Compreender as séries infinitas transcendentais é saber que estas consistem de infinidades de infinitos somatórios de infinitas séries de somatórios infinitos de infinitas sucessões (aritméticas, geométricas ou outras) de números infinitos, tudo infinitamente sucessivo, numa infinidade sem fim.

Restrições transcendentais ao triângulo de Pascal
Há restrições que podem ser colocadas na representação algébrica do triângulo de Pascal, Σ1n, mantendo esta representação o seu carácter de série infinita transcendental. Como se verifica, qualquer termo da coluna diagonal 1, resulta do somatório da coluna diagonal 0, até esse valor. A fórmula geral da coluna 0 é 1n pelo que Σ1n tem como resultado a coluna 1; se agora considerarmos infinitos somatórios de somatórios mas cuja contagem não se inicia no número 0 mas num número K qualquer, e esta soma se prolongar até infinito, pois estamos a colocar restrições ao inicio do triângulo de Pascal mas a sua representação algébrica mantém o carácter de série infinita transcendental; ficando portanto assim representada: Σn=k1n, com K = qualquer número natural.
Exemplificando:
 Se k = 9 fica Σn=91n portanto, mantém o carácter de série infinita transcendental, porque se trata de uma infinita soma de somatórios infinitos, mas tem restrições porque a contagem da soma se inicia no número 9 e se prolonga até infinito.
Outra categoria de restrições transcendentais surge associada à fórmula geral das colunas diagonais. Assim, sabemos que a fórmula geral da coluna diagonal 1 é n pelo que Σn tem como resultado a coluna diagonal 2; se agora considerarmos infinitos somatórios de somatórios infinitos, a partir da coluna diagonal 1, pois, surge a seguinte representação algébrica Σn que é uma série infinita transcendental do triângulo de Pascal, com restrições, já que parte da coluna diagonal 1; ainda nesta categoria de restrições podemos considerar a fórmula geral da coluna diagonal 2 que é: n(n+2)/2 cujo somatório Σn(n+2)/2  tem como resultado a coluna diagonal 3: se, continuando estes raciocínios, agora considerarmos infinitos somatórios de somatórios infinitos, a partir da coluna diagonal 2, pois, surge a seguinte representação algébrica Σn(n+2)/2 que é uma série infinita transcendental do triângulo de Pascal, com restrições, já que parte da coluna diagonal 2. Vimos duas categorias de restrições à representação algébrica do triângulo de Pascal cujos resultados mantêm o carácter de séries infinitas transcendentais; se agora juntarmos as duas categorias de restrições transcendentais, pois, ainda se mantém o carácter de série infinita transcendental, por exemplo, assim:  Σn=k n(n+2)/2  a junção das duas categorias de restrições limita o triângulo de Pascal nas linhas e nas colunas, porém mantém o carácter de série infinita transcendental já que a terceira dimensão, ou variável, do triângulo continua até ao infinito permitindo infinitos somatórios de somatórios infinitos; repare-se que a soma infinita dos infinitos somatórios se inicia em k, com uma fórmula geral bem definida, mas vai até infinito, por isso se mantém como série infinita transcendental.
    
Estudo breve das séries infinitas transcendentais
Enquanto uma série é o simples somatório dos termos de uma sucessão, ou sequência, de números; uma série infinita transcendental consiste em infinitos somatórios dos termos de uma série infinita portanto, uma série infinita transcendental, diz respeito a somatórios de somatórios, mas não são somatórios em número finito ou determinado, é a soma infinita de infinitos somatórios.
As séries infinitas transcendentais, ou simplesmente designadas séries transcendentais podem, ou não, por semelhança com as outras séries matemáticas, convergir para um determinado limite. Uma série infinita transcendental como a que representa o triângulo de Pascal Σ1n, tem como limite; ou seja: limn-> Σ1n -> no entanto, outras séries transcendentais poderão ter outros limites; por exemplo, basta uma pequena alteração na série transcendental do triângulo de Pascal e já surge outro limite, assim, se fizermos 1n = (-1) n vem:
 limn-> Σ(-1)n -> 0 no entanto limn-> Σ(-1)n -> ∞ (com n par) por outro lado
 limn-> Σ(-1)n -> - ∞ (com n impar).

Séries infinitas transcendentais e o triângulo de Patrício
Por analogia comparativa, pode-se afirmar que o triângulo aritmético, ou de Pascal, tem uma certa familiaridade com as sequências, sucessões ou progressões, aritméticas cuja razão se soma ao termo anterior; por outro lado, o triângulo de Patrício tem uma certa familiaridade com as sequências, sucessões ou progressões geométricas, cuja razão se multiplica pelo termo anterior. Salienta-se que, nenhum destes triângulos, Pascal e Patrício, resultam de sucessões ou progressões, pois nestas expressões numéricas, relacionadas com os triângulos, as respectivas razões são também variáveis, até ao infinito, numa tridimensionalidade própria dos triângulos com recorrências recursivas de infinitos somatórios de somatórios infinitos, o que lhes confere o carácter de séries infinitas transcendentais.
O triângulo de Pascal diz respeito a combinações simples, ou sem repetição, por outro lado o triângulo geométrico de Patrício diz respeito a arranjos com repetição, assim, enquanto a representação algébrica transcendental do triângulo de Pascal se faz pela expressão Σ1n, salienta-se que a representação algébrica do triângulo geométrico de Patrício parece ser melhor representada pela expressão geral: Σpn, porém, também aqui, podem ser colocadas restrições, ou limitações determinísticas, a esta série infinita transcendental em qualquer dos seus eixos, dimensões ou variáveis, da sua tridimensionalidade triangular.

Séries infinitas transcendentais e o triângulo factorial de Patrício
Sabe-se que o triângulo de Pascal e o geométrico de Patrício, poderão ser representados por uma espécie de matrizes matemáticas de aspecto “furado”, “quebrado” ou triangular; estas matrizes matemáticas podem facilitar a realização de cálculos, como a multiplicação, entre os triângulos de Pascal e o triângulo geométrico de Patrício para originar o triângulo factorial de Patrício. Em termos de análise combinatória o triângulo aritmético diz respeito a combinações simples, o triângulo geométrico de Patrício diz respeito a arranjos com repetição; finalmente o triângulo factorial de Patrício, que resulta da multiplicação matricial, isto é, posição a posição ou local a local, entre as combinações do triângulo de Pascal, alternadamente positivo e negativo, com os arranjos do triângulo geométrico de Patrício, diz respeito a permutações. As permutações são um caso particular de arranjos simples, ou sem repetição, em que o número de elementos escolhidos é igual ao número total de elementos do conjunto considerado.
As séries infinitas transcendentais podem ser efectuadas, com as devidas adaptações matemáticas, com somatórios mas também com produtórios. O triângulo factorial de Patrício constitui uma série infinita transcendental pois a sua tridimensionalidade triangular permite infinitos somatórios de somatórios infinitos pelo uso de recorrências recursivas entre linhas e colunas no cálculo determinístico da sua totalidade numérica. Em termos de série infinita transcendental, a formulação algébrica que melhor parece representar o triângulo factorial de Patrício, será dada pela expressão geral: Σp!.

Séries infinitas transcendentais de produtórios e o triângulo factorial de Patrício
Tradicionalmente, as séries dizem respeito ao somatório, até ao infinito, dos termos de uma sucessão; trata-se, portanto, de séries de somas, ou adições, até ao infinito. É notoriamente evidente que, por analogia comparativa, as séries de somas podem ser substituídas por séries de produtos, ou multiplicações, surgindo as séries de produtórios que dizem respeito, portanto, ao produto ou multiplicação, até ao infinito, dos termos de uma sucessão. A linguagem referente às séries passará a ter de especificar o tipo de série, isto é: série de somas com somatórios ou série de produtos com produtórios.
Assim como as séries infinitas transcendentais de somatórios correspondem a infinitos somatórios de somatórios, também as séries infinitas transcendentais de produtórios correspondem a infinitos produtórios de produtórios.
O triângulo factorial de Patrício, pode ser considerado, tanto do lado das linhas como do lado das colunas, infinidades de infinitas de séries de produtórios infinitos de infinitas sucessões de factoriais infinitos que se repetem de modo infinitamente sucessivo até ao infinito, numa infinidade sem fim, constituindo portanto uma série infinita transcendental de produtórios que poderá ser algebricamente representado assim: πp!

Relações matemáticas entre os triângulos, aritmético, geométrico e factorial de Patrício
A relação matemática que se estabelece entre os triângulos, aritmético, geométrico e factorial de Patrício é, de um modo geral, definida pelo produto entre combinações simples, alternadamente positivas e negativas, pelos arranjos com repetição tendo como resultado as permutações.
Esta relação matemática pode ser efectuada de modo pictórico ou intuitivo através de gráficos, desenhando os três triângulos e efectuando os cálculos ponto a ponto, localização a localização; mas também pelo uso adequado de matrizes matemáticas adaptadas com as respectivas regras operacionais; há uma terceira via que respeita à realização algébrica desta multiplicação como uma operação definida através da álgebra abstracta contemplando uma relação matemática entre as séries infinitas transcendentais respectivamente para o triângulo aritmético, geométrico e factorial de Patrício, assim: Σ1n * Σpn =  Σp!
   
Análise do cálculo algébrico entre os triângulos, aritmético, geométrico e factorial de Patrício
Analisar a fórmula algébrica de Patrício Σ1n * Σpn =  Σp! do cálculo entre os três triângulos permite constatar que as somas infinitas de infinitos somatórios infinitos envolvendo séries de operações de adição e multiplicação, na forma de sucessões, ou sequências, de carácter aritmético, geométrico e factorial, estabelece uma igualdade determinística de resultados.
Esta fórmula é, apenas, o ponto de partida para uma nova classe de determinações algébricas que são as séries infinitas transcendentais. Uma abordagem mais globalizante permite, desde já, prever que as séries transcendentais, enquanto classe de instrumentos ou ferramentas matemáticas possam, num futuro próximo, abrir novos caminhos e novos rumos à exploração das matemáticas puras e aplicadas.
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 Doutor Patrício Leite, 19 de Agosto de 2018