Alguém sabe o que é isto?
∞Σ1n. Pois é,
ninguém sabe o que é isto: ∞Σ1n.
Vou explicar: Isto: ∞Σ1n
actualmente é, talvez, uma das estruturas algébricas representante do triângulo
mais importante da humanidade. Vejamos, em termos de um rascunho geral, pode
ser descrito como, infinidades de infinitos somatórios de infinitas séries de
somatórios infinitos de infinitas sucessões aritméticas de números infinitos,
tudo infinitamente sucessivo, numa infinidade sem fim.
Mais especificamente isto, ∞Σ1n apenas se refere à representação
algébrica do Triângulo Aritmético, também designado triângulo de Pascal ou
Tartaglia e agora, aqui designado pela estrutura algébrica de Patrício.
Como começou isto?
Algures, ao longo da minha
ontogénese, durante o desenvolvimento das estruturas cognitivas, especificadamente
logo após o período das operações abstractas tornou-se possível conceber ideias
e problemas cada vez mais generalizados.
Assim, pensei:
Com 2 pontos consegue-se
efectuar, entre eles, 1 ligação; com 3 pontos, consegue-se 3 ligações; com 4
pontos dá 6 ligações; 5 pontos dão 10 ligações; e assim sucessivamente, sempre
2 a 2, sem repetição das ligações. Ainda no início da juventude, e sem grandes
conhecimentos matemáticos, já foi possível efectuar uma generalização desta
constatação, assim determinada:
U1 = 0; U2
= 1; U3 = 3; U4 = 6, …, portanto Un = Un-1
+ n – 1 com n > 1; ou seja, definida em termos de sucessões e progressões
matemáticas. Conforme o conhecimento, e a idade, foram evoluindo, tornou-se claro
que estas combinações, 2 a 2 sem repetição, já foram muito tempo antes
estudadas e previstas no triângulo aritmético, ou de Pascal, conjugado com os
coeficientes do binómio de Newton.
Algumas regularidades do triângulo aritmético
O triângulo aritmético, pode
ser reduzido a três eixos dimensionais com vários padrões de inter-relação que permitem
encontrar valores numéricos para, pelo menos, tês variáveis que são as colunas,
as linhas e as combinações simples; a partir destas três variáveis podem ser encontrados
padrões matemáticos capazes de definir outras variáveis.
Assim, são várias as
regularidades observadas e já descritas para o triângulo aritmético ou de
Pascal; acredita-se que são ainda muitos os padrões e regularidades deste
triângulo, que nunca foram mencionados previamente. Vejamos alguns
interessantes:
O triângulo é constituído por
colunas diagonais descendentes do topo para a base e da direita para a
esquerda; relacionando estas colunas diagonais com as combinações simples
verifica-se que cada uma destas colunas tem sempre o mesmo número de elementos
escolhidos para efectuar as referidas combinações ou seja o mesmo número, da
parte de baixo do coeficiente binomial de Newton e que corresponde à respectiva
coluna do triângulo de Pascal.
Uma observação atenta e
reflectida permite constatar que um dado valor n de combinações simples, designado em qualquer uma destas colunas
diagonais, corresponde ao somatório de combinações da coluna anterior até
atingir o número desse valor; outra regularidade diz respeito à sucessão, ou
sequência, crescente de números ao longo da coluna porém, não se trata de
progressão aritmética nem geométrica, já que não é possível encontrar as razões
destas progressões, na verdade, as razões são também sucessivamente variáveis
em função das sucessivas variações ocorridas nas colunas anteriores; encontram-se
pois, séries de relações de recorrência de uma coluna sucessivamente com a sua
respectiva anterior na tentativa de determinar á fórmula do termo geral de
qualquer progressão, sequência ou sucessão numérica ao longo das colunas;
também a tentativa de definir recursivamente a sucessão ou progressão, de uma
coluna, conduz a sucessivas relações de recorrência com as colunas anteriores.
Assim, sejam por exemplo nC3,
mC4 e pC5 respectivamente as
sucessões de números ao longo das colunas diagonais 3, 4 e 5 do triângulo
aritmético; tentar uma definição recursiva destas sucessões conduz às seguintes
expressões: pC5 = p-1C5 + mC4
no entanto, mC4 = m-1C4 + nC3
e isto continuaria, com n = m = p, sucessivamente até chegar à coluna diagonal
0 em que nC0 = 1n portanto a tentativa de
definição recursiva da sucessão implica numa sucessiva recorrência às
sucessões, ou sequências, das colunas anteriores.
Séries infinitas de relações de recorrência no triângulo aritmético
As sucessivas relações de
recorrência recursiva que se encontram na tentativa de definir recursivamente
as sucessões, ou sequências, ao longo da coluna diagonal do triângulo
aritmético, também se verificam para as correspondentes séries infinitas.
Assim, sabendo que as
variáveis consideradas se referem aos valores nas linhas, nas colunas e nas
combinações simples, pois simplificando a
indexação dos somatórios pela ordem crescente, dos números naturais, ao
longo da coluna diagonal do triângulo aritmético, para efeitos de compreensão, tem-se:
Considerando que as sucessões
das colunas diagonais 3, 4 e 5 sejam representadas respectivamente por nC3,
mC4 e pC5 vem:
pC5
= mC4 + Σm-1p=1mC4
sendo que mC4 = nC3 + Σn-1m=1nC3
compreende-se que isto apenas faz
sentido se continuar sempre com n = m = p sucessivamente até chegar à coluna
diagonal 0 em que nC0 = 1n sendo nesta Σ nC0= Σ 1n.
Exemplificando no triângulo
aritmético; com n = m = p = 4 vem:
Coluna 5
4C5 = 56
Coluna 4
4C4 = 35; 3C4
= 15; 2C4 = 5; 1C4 = 1;
Coluna 3
4C3
= 20; 3C3 = 10; 2C3 = 4; 1C3
= 1;
Com n = m = p = 4 adequando e
substituindo os valores na fórmula abstracta fica:
pC5 = mC4
+ Σm-1p=1mC4
sendo que mC4 = nC3 + Σn-1m=1nC3
56 = pC5 = 4C5
= mC4 + 1C4 + 2C4
+ 3C4 sendo que mC4 = nC3
+ 1C3 + 2C3 + 3C3
Portanto: 56 = pC5
= nC3 + 1C3 + 2C3
+ 3C3+ 1C4 + 2C4
+ 3C4 como n = m = p resulta
56 = pC5 = 20 + 1 + 4 + 10
+ 1 + 5 + 15 = 56
Assim, a tentativa de
definição recursiva das séries infinitas, no triângulo aritmético, implica em
sucessivas recorrências às séries infinitas das colunas anteriores.
Séries infinitas transcendentais e o triângulo aritmético
As infinidades de infinitos
somatórios de infinitas séries de somatórios infinitos de infinitas sucessões
(aritméticas, geométricas ou outras) de números infinitos, tudo infinitamente
sucessivo, numa infinidade sem fim, são designadas séries infinitas
transcendentais ou simplesmente séries transcendentais.
São infinitas, as séries
infinitas que se podem estabelecer, de modo infinitamente variável, no
triângulo aritmético constituindo uma série infinita transcendental assim
representada algebricamente: ∞Σ1n. Na verdade, o triângulo
aritmético, ou de Pascal, pode ser assim determinado: Triângulo aritmético = Σ Σ Σ Σ Σ … Σ Σ Σ 1n … = ∞Σ1n
Assim como as séries dizem
respeito ao somatório, até ao infinito, dos termos de uma sucessão, também as
séries infinitas transcendentais dizem respeito ao somatório, até ao infinito,
das séries; por conseguinte, as séries infinitas transcendentais correspondem a
infinitos somatórios de somatórios que respeitam as propriedades dos somatórios,
em geral, com as respectivas operações matemáticas.
Ao operar com séries infinitas
transcendentais, pode ser necessário determinar, com alguma exactidão, certos
valores ou parâmetros de algum, ou alguns, somatórios intercalados na série
infinita transcendental de somatórios; a notação que determine esses valores ou
parâmetros deve-se aproximar, o máximo possível, da notação matemática
associada aos somatórios, de modo a tornar intuitiva a compreensão e uso
operacional das séries transcendentais.
O todo e as partes no triângulo aritmético
A expressão algébrica ∞Σ1n,
enquanto série infinita transcendental, tem validade matemática enquanto
representante de todo o triângulo de Pascal. Como já aqui foi referido, o
triângulo aritmético tem três eixos dimensionais com tês variáveis que são as
colunas, as linhas e as combinações simples; portanto, qualquer que seja a
restrição ou limitação colocada ao triângulo, desde que pelo menos uma destas
dimensões, ou variável, mantenha o aspecto de infinitos somatórios de
somatórios, ainda se pode afirmar que se trata de uma série infinita transcendental;
por outro lado, se forem colocadas restrições ou limitações determinísticas a
todas as três dimensões, ou três variáveis, do triângulo de Pascal, pois então,
ainda que sejam usados somatórios de somatórios, o facto de perderem o carácter
infinito, também faz perder o carácter de séries infinitas transcendentais; na
verdade, um triângulo completamente finito, limitado nas três dimensões e, por
isso, contido no interior do triângulo de Pascal, ainda que seja definido em
termos de sucessivas recorrências recursivas e com somatórios de somatórios,
pelo facto de não ter carácter infinito perde o aspecto de série infinita
transcendental. Compreender as séries infinitas transcendentais é saber que
estas consistem de infinidades de infinitos somatórios de infinitas séries de
somatórios infinitos de infinitas sucessões (aritméticas, geométricas ou
outras) de números infinitos, tudo infinitamente sucessivo, numa infinidade sem
fim.
Restrições transcendentais ao triângulo de Pascal
Há restrições que podem ser
colocadas na representação algébrica do triângulo de Pascal, ∞Σ1n,
mantendo esta representação o seu carácter de série infinita transcendental.
Como se verifica, qualquer termo da coluna diagonal 1, resulta do somatório da
coluna diagonal 0, até esse valor. A fórmula geral da coluna 0 é 1n
pelo que Σ1n
tem como resultado a coluna 1; se agora considerarmos infinitos somatórios de
somatórios mas cuja contagem não se inicia no número 0 mas num número K
qualquer, e esta soma se prolongar até infinito, pois estamos a colocar
restrições ao inicio do triângulo de Pascal mas a sua representação algébrica
mantém o carácter de série infinita transcendental; ficando portanto assim
representada: ∞Σ∞n=k1n, com K =
qualquer número natural.
Exemplificando:
Se k = 9 fica ∞Σ∞n=91n
portanto, mantém o carácter de série infinita transcendental, porque se trata
de uma infinita soma de somatórios infinitos, mas tem restrições porque a
contagem da soma se inicia no número 9 e se prolonga até infinito.
Outra categoria de restrições
transcendentais surge associada à fórmula geral das colunas diagonais. Assim,
sabemos que a fórmula geral da coluna diagonal 1 é n pelo que Σn tem como resultado a coluna diagonal 2; se
agora considerarmos infinitos somatórios de somatórios infinitos, a partir da
coluna diagonal 1, pois, surge a seguinte representação algébrica ∞Σn
que é uma série infinita transcendental do triângulo de Pascal, com restrições,
já que parte da coluna diagonal 1; ainda nesta categoria de restrições podemos
considerar a fórmula geral da coluna diagonal 2 que é: n(n+2)/2 cujo somatório Σn(n+2)/2 tem como resultado a coluna diagonal 3: se,
continuando estes raciocínios, agora considerarmos infinitos somatórios de
somatórios infinitos, a partir da coluna diagonal 2, pois, surge a seguinte
representação algébrica ∞Σn(n+2)/2 que é uma série infinita
transcendental do triângulo de Pascal, com restrições, já que parte da coluna
diagonal 2. Vimos duas categorias de restrições à representação algébrica do
triângulo de Pascal cujos resultados mantêm o carácter de séries infinitas
transcendentais; se agora juntarmos as duas categorias de restrições
transcendentais, pois, ainda se mantém o carácter de série infinita
transcendental, por exemplo, assim: ∞Σ∞n=k n(n+2)/2 a junção das duas categorias de restrições
limita o triângulo de Pascal nas linhas e nas colunas, porém mantém o carácter
de série infinita transcendental já que a terceira dimensão, ou variável, do
triângulo continua até ao infinito permitindo infinitos somatórios de
somatórios infinitos; repare-se que a soma infinita dos infinitos somatórios se
inicia em k, com uma fórmula geral bem definida, mas vai até infinito, por isso
se mantém como série infinita transcendental.
Estudo breve das séries infinitas transcendentais
Enquanto uma série é o simples
somatório dos termos de uma sucessão, ou sequência, de números; uma série
infinita transcendental consiste em infinitos somatórios dos termos de uma
série infinita portanto, uma série infinita transcendental, diz respeito a
somatórios de somatórios, mas não são somatórios em número finito ou
determinado, é a soma infinita de infinitos somatórios.
As séries infinitas
transcendentais, ou simplesmente designadas séries transcendentais podem, ou não,
por semelhança com as outras séries matemáticas, convergir para um determinado
limite. Uma série infinita transcendental como a que representa o triângulo de
Pascal ∞Σ1n,
tem ∞
como limite; ou seja: limn->∞
∞Σ1n
-> ∞
no entanto, outras séries transcendentais poderão ter outros limites; por
exemplo, basta uma pequena alteração na série transcendental do triângulo de
Pascal e já surge outro limite, assim, se fizermos 1n
= (-1) n vem:
limn->∞
∞Σ(-1)n
-> 0
no entanto limn->∞
∞Σ(-1)n
-> ∞
(com n par) por outro lado
limn->∞
∞Σ(-1)n
-> - ∞
(com n impar).
Séries infinitas transcendentais e o triângulo de Patrício
Por analogia comparativa,
pode-se afirmar que o triângulo aritmético, ou de Pascal, tem uma certa
familiaridade com as sequências, sucessões ou progressões, aritméticas cuja
razão se soma ao termo anterior; por outro lado, o triângulo de Patrício tem
uma certa familiaridade com as sequências, sucessões ou progressões
geométricas, cuja razão se multiplica pelo termo anterior. Salienta-se que,
nenhum destes triângulos, Pascal e Patrício, resultam de sucessões ou
progressões, pois nestas expressões numéricas, relacionadas com os triângulos,
as respectivas razões são também variáveis, até ao infinito, numa
tridimensionalidade própria dos triângulos com recorrências recursivas de
infinitos somatórios de somatórios infinitos, o que lhes confere o carácter de
séries infinitas transcendentais.
O triângulo de Pascal diz respeito
a combinações simples, ou sem repetição, por outro lado o triângulo geométrico de
Patrício diz respeito a arranjos com repetição, assim, enquanto a representação
algébrica transcendental do triângulo de Pascal se faz pela expressão ∞Σ1n,
salienta-se que a representação algébrica do triângulo geométrico de Patrício
parece ser melhor representada pela expressão geral: ∞Σpn, porém, também
aqui, podem ser colocadas restrições, ou limitações determinísticas, a esta
série infinita transcendental em qualquer dos seus eixos, dimensões ou
variáveis, da sua tridimensionalidade triangular.
Séries infinitas transcendentais e o triângulo factorial de Patrício
Sabe-se que o triângulo de
Pascal e o geométrico de Patrício, poderão ser representados por uma espécie de
matrizes matemáticas de aspecto “furado”, “quebrado” ou triangular; estas
matrizes matemáticas podem facilitar a realização de cálculos, como a
multiplicação, entre os triângulos de Pascal e o triângulo geométrico de
Patrício para originar o triângulo factorial de Patrício. Em termos de análise
combinatória o triângulo aritmético diz respeito a combinações simples, o
triângulo geométrico de Patrício diz respeito a arranjos com repetição;
finalmente o triângulo factorial de Patrício, que resulta da multiplicação
matricial, isto é, posição a posição ou local a local, entre as combinações do
triângulo de Pascal, alternadamente positivo e negativo, com os arranjos do
triângulo geométrico de Patrício, diz respeito a permutações. As permutações
são um caso particular de arranjos simples, ou sem repetição, em que o número
de elementos escolhidos é igual ao número total de elementos do conjunto
considerado.
As séries infinitas
transcendentais podem ser efectuadas, com as devidas adaptações matemáticas, com
somatórios mas também com produtórios. O triângulo factorial de Patrício
constitui uma série infinita transcendental pois a sua tridimensionalidade
triangular permite infinitos somatórios de somatórios infinitos pelo uso de
recorrências recursivas entre linhas e colunas no cálculo determinístico da sua
totalidade numérica. Em termos de série infinita transcendental, a formulação
algébrica que melhor parece representar o triângulo factorial de Patrício, será
dada pela expressão geral: ∞Σp!.
Séries infinitas transcendentais de produtórios e o triângulo factorial
de Patrício
Tradicionalmente, as séries
dizem respeito ao somatório, até ao infinito, dos termos de uma sucessão; trata-se,
portanto, de séries de somas, ou adições, até ao infinito. É notoriamente
evidente que, por analogia comparativa, as séries de somas podem ser
substituídas por séries de produtos, ou multiplicações, surgindo as séries de
produtórios que dizem respeito, portanto, ao produto ou multiplicação, até ao
infinito, dos termos de uma sucessão. A linguagem referente às séries passará a
ter de especificar o tipo de série, isto é: série de somas com somatórios ou
série de produtos com produtórios.
Assim como as séries infinitas
transcendentais de somatórios correspondem a infinitos somatórios de somatórios,
também as séries infinitas transcendentais de produtórios correspondem a
infinitos produtórios de produtórios.
O triângulo factorial de
Patrício, pode ser considerado, tanto do lado das linhas como do lado das
colunas, infinidades de infinitas de séries de produtórios infinitos de
infinitas sucessões de factoriais infinitos que se repetem de modo
infinitamente sucessivo até ao infinito, numa infinidade sem fim, constituindo
portanto uma série infinita transcendental de produtórios que poderá ser
algebricamente representado assim: ∞πp!
Relações matemáticas entre os triângulos, aritmético, geométrico e
factorial de Patrício
A relação matemática que se
estabelece entre os triângulos, aritmético, geométrico e factorial de Patrício
é, de um modo geral, definida pelo produto entre combinações simples,
alternadamente positivas e negativas, pelos arranjos com repetição tendo como
resultado as permutações.
Esta relação matemática pode
ser efectuada de modo pictórico ou intuitivo através de gráficos, desenhando os
três triângulos e efectuando os cálculos ponto a ponto, localização a
localização; mas também pelo uso adequado de matrizes matemáticas adaptadas com
as respectivas regras operacionais; há uma terceira via que respeita à
realização algébrica desta multiplicação como uma operação definida através da
álgebra abstracta contemplando uma relação matemática entre as séries infinitas
transcendentais respectivamente para o triângulo aritmético, geométrico e
factorial de Patrício, assim: ∞Σ1n * ∞Σpn = ∞Σp!
Análise do cálculo algébrico entre os triângulos, aritmético,
geométrico e factorial de Patrício
Analisar a fórmula algébrica
de Patrício ∞Σ1n
* ∞Σpn
= ∞Σp! do cálculo entre os três triângulos permite constatar que as
somas infinitas de infinitos somatórios infinitos envolvendo séries de
operações de adição e multiplicação, na forma de sucessões, ou sequências, de
carácter aritmético, geométrico e factorial, estabelece uma igualdade
determinística de resultados.
Esta fórmula é, apenas, o
ponto de partida para uma nova classe de determinações algébricas que são as
séries infinitas transcendentais. Uma abordagem mais globalizante permite,
desde já, prever que as séries transcendentais, enquanto classe de instrumentos
ou ferramentas matemáticas possam, num futuro próximo, abrir novos caminhos e
novos rumos à exploração das matemáticas puras e aplicadas.
Ficheiro Completo e Actualizado para Download
Doutor Patrício Leite, 19 de Agosto de 2018
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Doutor Patrício Leite, 19 de Agosto de 2018