Introdução
A constante
A variável
O grau de liberdade como grau de determinação do sistema
O determinismo e o indeterminismo
A distância e a diferença
A constante como medida de continuidade
A variável e a descontinuidade
Rácio ou razão entre constante e variável
Densidade clássica definida como uma razão constante
Racionalidade do mundo
Relação entre a densidade e a fórmula de Patrício Leite
Introdução
A história do pensamento matemático filosófico tem, repetidamente, demonstrado que a distância entre os números não é sempre igual; efectivamente, a impossibilidade de encontrar mais do que dois divisores (a unidade e ele próprio) para cada número primo, constitui uma prova irrefutável da inconstância verificada na distância entre os números. A primalidade é uma propriedade muito importante na criptografia dos nossos tempos, mas tem, também, estimulado significativamente o avanço em teoria dos números; foi na sequência destes raciocínios que em finais de agosto e inícios de setembro de 2024 constatei empiricamente uma regularidade combinatória relacionada com a distância entre os números, introduzida na fórmula original de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n assim traduzida posteriormente por: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n por conseguinte, imediatamente surgiu a ideia criativa de aplicar este conceito na resolução teórica de um problema físico conceptualizado, por mim, há cerca de 15 anos: o densitrão como elemento quantificador de uma continuidade descontínua. O problema da continuidade versus descontinuidade da matéria tem persistido desde os tempos primordiais do átomo: considerado como elemento teórico e indivisível da matéria; mais, este problema conduziu, no primeiro quartel do século vinte, ao início e desenvolvimento da física quântica numa inevitável ruptura com as ideias e o pensamento tradicional da física, da matemática, mas também da filosofia. É neste contexto que, agora, se desenvolve, sintetiza e divulga o conteúdo cognitivo deste ensaio cuja base matemática e filosófica parece, a guisa de neopitagorismo, transpor a realidade abstrata e conceptual dos números e respectivas relações teóricas para uma realidade física assente num realismo construtivista que aceita a observação objectiva de um objecto como imanente à construção interactiva com o sujeito.
A constante
A única constância conhecida é o homogéneo do vazio, o nada, o zero, a coisa nenhuma, a ausência de, …; tudo o resto são constantes, ou inconstantes variáveis; efetivamente, na ausência da continuidade permanente, tudo muda, tudo é volúvel, tudo é descontínuo e heterogéneo. O homem precisa de firmar constantes para construir o seu conhecimento: em ciências sociais, em ciências naturais, em física, em matemática; as permanentes constantes manifestam a necessidade humana, os fundamentos do conhecimento, os fundamentos da humanidade; contudo, mais uma vez, em ultima instância, a única entidade realmente constante é o vazio do nada, tudo o resto são variáveis; por conseguinte, considera-se uma constante humanamente definida como sendo, apenas, uma variável que não varia; obviamente, a variação de uma variável que não varia, produz o zero, o vazio, o nada. Conclusivamente, o produto de uma determinada constante por qualquer variável segue a variação da variável, mas o produto do vazio por uma variável absorve essa variabilidade; corrobora-se, assim, que a constância da constante, ou seja, a constância do vazio, absorve toda a variação da variável, mas, por outro lado, a constante variação da variável é uma constante produtora, não absorvente. Aparentemente, o caos mais não é do que uma total variabilidade, portanto, uma variabilidade que não tem referenciação a qualquer parte do todo como constância conhecida, mas, por oposição, o seu referencial relativo é a variabilidade do todo variavelmente totalitário. O aleatório finaliza o determinismo, finaliza a ordem; porém, enquanto processo repetitivo, presume a equiprobabilidade, por conseguinte, ainda aceita como referência, a constante repetição e a homogenia da igualdade, essa homogenia é o vazio do nada; mas no caos a única referência é a variabilidade total que totalmente varia. Esquematiza-se, assim, por analogia metafórica, uma abordagem sistémica entre a parte e o todo: a aleatoriedade, pela metáfora analógica, aproxima-se da parte; por outro lado, o caos aproxima-se analogicamente do todo. A abordagem sistémica tem, na presente contemporaneidade científica, fundamentado teorias como a complexidade, o caos, a auto-organização e emergência, entre outras, cuja finalidade consiste na oferta de novas interpretações para observação de fenómenos e ocorrências indeterminados e imprevisíveis nos termos das relações de causalidade próprias da metodologia científica, tradicionalmente, linear e mecanicista.
A variável
Matematicamente, entre a constante permanência e a variabilidade caótica encontra-se o grau de liberdade, o nível ou grau de determinação de um sistema, a diferença entre a variabilidade e a constância. O nível de determinação que o grau de liberdade confere, mas também as operações com constantes, permitem classificar ou categorizar; por exemplo: constantes de adição que se associam com as progressões aritméticas, constantes de multiplicação que se associam com as progressões geométricas, constantes de proporcionalidade que se associam com os mais variados tipos de proporções etc. porém, repare-se que uma constante é apenas e tão-somente uma variável que não varia, uma variável cuja variabilidade é zero; por outro lado, uma variável é apenas a variação de uma constante. Constantes e variáveis compreendem uma única categorização cuja variabilidade das variáveis se relaciona com o grau de liberdade. Em última instância a máxima variabilidade é infinita e a mínima é zero; entre zero e infinito classificam-se e categorizam-se todas as constantes e todas as variáveis. Do ponto de vista analítico, a atividade matemática consiste na procura de constância na variabilidade ou, por outro lado, na procura de variabilidade na constância; por conseguinte, um dos métodos analíticos consiste em contemplar a variabilidade que varia e, nessa variação procurar a possibilidade, em qualquer nível, de um padrão de variação capaz de definir e estipular uma constância; a partir desse padrão de variação, a partir dessa constância, parte-se sucessivamente para novas variações e novas constâncias num raciocínio dialético dualístico que fundamenta, por exemplo, o método das diferenças finitas até, finalmente, encontrar a infinita continuidade típica da análise diferencial que, analogicamente, proporciona uma estabilidade comparativa entre o zero e o infinito como entidades homogéneas: aqui, sai a matemática discreta e entra a matemática da continuidade.
O grau de liberdade como grau de
determinação do sistema
O conceito de liberdade, concebido pelas estruturas da linguagem, comporta inerentes paradoxos absurdos e irresolúveis. Qualquer raciocínio reducionista, capaz de conduzir o conceito de liberdade a uma totalidade absoluta comporta, imediatamente, o absurdo do absoluto; efectivamente uma entidade, qualquer que seja, só por existir tem, na sua existência, inerente, pelo menos, uma condição limitante da sua liberdade: enquanto existente, pois, não pode ser, não existente; por outro lado, a existência de uma identidade, ainda que determinadamente constante, significa, por inerência, a sua libertação identitária em face do meio que a envolve. Os raciocínios relacionados com as estruturas da linguagem, quando reduzidos ao absoluto unitário, são absurdos, provocam uma sensação mental de insatisfação: uma lacuna mental, uma dissonância cognitiva, uma incompletude insatisfatória que tem, cognitivamente, de ser resolvida; para ultrapassar o absurdo absoluto e unitário, surge, como fundamento racional, pela estrutura da linguagem lógica bivalente, o reducionismo dualista como método cognitivo capaz de conduzir os absolutos a uma dualidade irreconciliável satisfatória; neste contexto, o grau de liberdade, enquanto dualidade, polarizada entre variáveis libertárias e constantes deterministas, comporta necessariamente, um dualismo fundamental constitucional: o grau de liberdade é também, por inerência antitética, o grau de determinação do sistema; esta é, pois, a dualidade constitucional entre a liberdade da variabilidade infinita e a determinação da constante finitude.
O determinismo e o indeterminismo
Com a emergência da racionalidade, surge a razão humana, surge a procura de uma constância capaz de determinar a causa ou a finalidade da humanidade. Uma razão, qualquer que seja, surge, por inerência intrínseca, associada com o determinismo; por oposição, surge a inconstância da variabilidade como fundamento do indeterminismo. Considerando a incoerência paradoxal dos contraditórios: interior - exterior, homogéneo - heterogéneo, igual – diferente, constância – variabilidade, determinismo – indeterminismo, etc., surge a dialética de Heraclito que, numa primeira fase, apenas manifestava a ideia de variabilidade do movimento de modificação para, imediatamente, Parménides postular a eterna constância atemporal da uniformidade existencial como contraditório do devir mutável da mudança de Heraclito. A dialética, como método de resolução dos contraditórios, progrediu por um reducionismo racional dualista da lógica bivalente aristotélica para, finalmente, com Hegel, assumir a metodologia sequencial tripartida da tese, antítese e síntese. A dialética sequencial tripartida reconheceu, imediatamente, a antítese conceptual entre o idealismo e o materialismo com repercussões significativas na interpretação partilhada do mundo, contudo, na contemporaneidade cognitiva, manteve as propriedades sequenciais, contraditórias e reducionistas a um evolucionismo sequencial tripartido. Paradoxalmente, nem a dialética dualista contraditória do tempo dos primórdios nem a presente terceira via da síntese conciliatória, conseguiram resolver a absurda insatisfação inconformista da incoerente conflitualidade intrinsecamente cognitiva; contudo, é sempre possível considerar o desconhecido como uma heterogénea fragmentação descontínua de pontos indeterminados e, um destes pontos, será uma unidade identitária ordenada num finalismo determinista. Talvez assim, somente assim, se consiga resolver a insatisfação humana causada pela lacuna mental como uma dissonância produzida pela intrínseca conflitualidade cognitiva. O problema do mundo transforma-se no problema pessoal! Isto é filosofia!
A distância e a diferença
A abordagem tradicional, considera a matemática finita ou discreta no domínio dos números inteiros como descontinua, por outro lado, no domínio dos reais, está a matemática da continuidade considerada infinita; obviamente, com o conceito de infinitesimal como a quantidade numérica mais próxima de zero do que qualquer número real, surge o problema da descontínua continuidade. O conceito de infinitesimal surgiu nos primórdios históricos da matemática; efectivamente, Arquimedes introduziu o conceito e posteriormente Leibniz, através dos diferenciais, desenvolveu o cálculo infinitesimal. A partir das diferenças finitas e dos diferenciais, a progressão histórica do pensamento matemático evoluiu para a continuidade numérica com uma aritmética intervalar; no entanto, considera-se um intervalo como um conjunto de pontos dentro de uma determinada distância, por conseguinte, assume-se a distância como o aspecto da continuidade e os pontos como o aspecto da descontinuidade; agora, transpondo analogicamente para os sistemas numéricos, pois, os números naturais surgem descontinuamente como representantes dos pontos, diferenciados pela ordem que os coloca numa escala de sucessivas sequências dentro da continuidade de uma determinada distância. Os números contam-se; a contagem numérica exprime a descontinuidade que qualitativamente delimita, mas também é delimitada, pela distância numérica; por outro lado a distância que, qualitativamente, separa os números, exprime a continuidade cuja medição terá de ser quantitativamente realizada através de métodos comparativos a partir de uma unidade padrão; por conseguinte, torna-se consensualmente legítimo afirmar: se os números são contados, pois, a distância é medida. Mais, se a contagem e a medição constituem conceitos distintos e relacionados com o problema filosófico-matemático da continuidade, pois, também, a distância e a diferença, enquanto conceptualmente distintos, terão a sua abordagem própria; efectivamente: aquilo que diferencia os números é a posição relativa que cada um ocupa na escala ordenada, por outro lado, entre dois números sucessivos da sequência natural ordenada existe apenas uma distância, porém, entenda-se, essa única distância que existe entre cada número diferente pode ser contada e, assim, por adição sucessiva, originar a progressão numérica dos números naturais mas essa distância não tem de ser sempre igual; essa distância não tem de ser sempre constante; a distância entre cada número pode ser uma variável que varia com algum padrão de regularidade ou, de outro modo, a sua variação pode ocorrer num modo aleatoriamente ao acaso, portanto sem qualquer regularidade. Surge assim d como a variável distância que adapta a fórmula de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n. Considere-se a figura:
A constante como medida de continuidade
Qualquer constante mantém, enquanto tal, na sua constância, uma invariabilidade determinante da sua continuidade; contudo, em conformidade com a mais elementar filosofia conceptual da linguagem, pois, a medida e a contagem configuram aspectos fundamentais da repetida dualidade dicotómica humana; efectivamente: a contagem refere-se à variabilidade da descontinuidade e, por outro lado, a medida comporta a constante continuidade. Medir e contar são duas actividades cognitivas paradoxalmente separadas na união, mas unidas na separação. A evolução histórica do pensamento matemático contemplou uma variabilidade descontínua da natureza traduzida pela contagem dos números naturais como entidades descontínuas, mas unidas por uma escala ordenada; posteriormente, a realeza da realidade configurou uma constante continuidade invariante como fundamento da medida dos números reais. Pela racionalidade cognitiva subtranscendente, a conceptualidade humana, apenas consegue vislumbrar a variabilidade, mas também a constância, num grau de liberdade intervalado entre o nada, o zero absoluto e a totalidade do infinito; como que, a variação da variabilidade, mas também a continuidade da constância são, para a transcendência humana, intervaladas entre duas homogeneidades absolutamente constantes: o vazio do nada e a totalidade do infinito. O desconhecido, a incerteza, a insegurança existencial do homem, obrigam a limitar tipologicamente constantes absolutas dentro das quais toda a ciência, todo o conhecimento, todo o entendimento humano se move: são as constantes absolutas que limitam o grau de liberdade no qual as restantes constantes e variáveis se alteram. A constância da variabilidade contínua, é medida, mas não contada, entre zero e infinito; a heterogeneidade descontínua, é contada, mas não medida, entre infinito e zero.
A variável e a descontinuidade
Qualquer variável que varia, promove a descontinuidade; efectivamente, entre dois diferentes valores existe, pelo menos, uma diferença: essa diferença, essa distinção identitária, constitui a descontinuidade daquilo que, não mais, se identifica. A origem etimológica da palavra identidade é bem clara: dos termos latinos idem e identitas derivam as ideias de o mesmo, a identidade, a igualdade, a permanência e a continuidade. Avançando para o proto-indo-europeu, parece que por sua vez, idem, deriva de um pronome demonstrativo; demonstrando que esse ou aquele que se mantêm idênticos, pois, também, mantêm a mesma identidade; porquanto, a identidade surge como uma qualidade demonstrativa da permanência, da continuidade, da constância singular, da unicidade constante. Por outro lado, a variação da variável, constitui uma quebra da identidade, uma quebra da constante continuidade. Qualquer categoria de linguagem matemática, baseada na lógica clássica, assume o princípio da identidade como fundamento estruturante do sistema; contudo, a lógica clássica conduz a nova física quântica até ao paradoxo de Schrödinger; por conseguinte, torna-se necessário um novo sistema lógico, uma lógica não-reflexiva, uma lógica que nega o princípio da identidade como meio de ultrapassar os paradoxos da física quântica. A analogia do “gato Schrödinger", simultaneamente vivo e morto, promove a ideia de uma razão: a razão humana como o fundamento construtivista de uma realidade racional: simultaneamente constante e variável, simultaneamente contínua e descontínua; uma realidade cuja acção de observar impõe, simultaneamente, a realidade do observado.
Rácio ou razão entre constante e variável
Um rácio ou razão é constituído por uma fracção composta por um numerador e um denominador. Por outro lado, de um modo mais abrangente, a propriedade fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto, impõe um rácio ou razão como sendo apenas uma divisão cujo dividendo se designa numerador, cujo divisor se designa denominador e cujo resto é igual a zero. Uma proporção é um aspecto mais restrito de um rácio ou razão; porquanto, é um rácio ou razão cujo quociente é um número fracionário.
Se na propriedade fundamental da divisão, o resto for considerado como uma constante de valor igual a zero, pois, o rácio ou razão surge representado por três incógnitas: Dividendo = Divisor x Quociente, agora, tendo em atenção as regras da equivalência matemática pois o Dividendo / Divisor = Quociente. O resultado de um rácio ou razão pode ser constante, razão constante; ou variável, razão variável. O conceito de proporção impõe uma igualdade entre duas razões cuja coerência se baseia num trabalho com números racionais: dividendo1/divisor1 = dividendo2/divisor2; nesta situação, a continuidade da constância e a descontinuidade da variação são calculadas através de quatro atributos. As relações entre estes quatro atributos podem ser calculadas através da análise combinatória. Quando aos quatro atributos correspondem quatro variáveis, pois, num sistema de equações lineares, o grau de liberdade é calculado, pela diferença entre o número de variáveis e o número de equações independentes surgindo um constante determinismo quando tem apenas uma solução já que o número de variáveis é igual ao número de equações independentes e o grau de liberdade é zero; por outro lado, se o número de variáveis é superior ao número de equações independentes pois o sistema é variavelmente indeterminado já que as infinitas soluções resultam de variáveis arbitrarias que não podem ser determinadas pelas condições equacionadas como igualitárias. Em sistemas sobredeterminados o número de restrições excessivo, ou seja, o número de equações é superior ao número de variáveis. Os sistemas sobredeterminados não têm a consistência lógica da razão humana, mas a inteligência ardilosa procura a sua resolução por intermédio de soluções aproximadas como, por exemplo, usando o método dos mínimos quadrados.
Considerando agora o raciocínio, nos termos da filosofia analítica da matemática, pois, os sistemas sobredeterminados transportam o pensamento para a teoria da complexidade com a emergência de padrões globais a partir das interacções locais numa múltipla causalidade circular em cada nível de organização; por sua vez, os vários níveis organizacionais, circulam, numa circularidade sem fim. É pela contagem linear desta circularidade sem fim que surgem os contraditórios paradoxais, típicos da incoerência racional dualística: interior – exterior, homogéneo – heterogéneo, igual – diferente, constância – variabilidade, determinismo – indeterminismo, etc., efectivamente, parametrizando a teoria da complexidade, afirma-se que em sistemas multicomplexos, por simples analogia comparativa, pode-se estabelecer uma correspondência entre cada constante e a restrição igualitária causada por uma equação independente, mas também, entre cada variável e a liberdade própria de uma incógnita do sistema; nesta condição, o grau de liberdade surge como a diferença entre a liberdade da variável incógnita e a restrição da constante; quando o número de restrições causadas pelas constantes supera o número de variáveis incógnitas livres, pois, tal significa que o sistema se diz sobredeterminado; este sistema sobredeterminado exige solução complexa. Acrescenta-se, o conjunto constituído pelas constantes numéricas, regras de operações matemáticas e padrões de pensamento pode, se as constantes restritivas superarem as variáveis livres, configurar um sistema sobredeterminado de complexidade matemática combinatória traduzida pela fórmula de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n sendo que, neste ambiente de elevada complexidade, a analise combinatória representada pela igualdade de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n comporta como atributos as letras n e d que servem para designar constantes ou variáveis presentes em ambos os lados da equação.
Densidade clássica definida como uma razão constante
As constantes podem ser submetidas a múltiplas classificações: absolutas, relativas; razões constantes, constantes de proporcionalidade, constantes de primeira ordem, de segunda ordem, etc.
Tradicionalmente, a noção clássica de densidade foi primeiramente aplicada por Arquimedes nas ciências físico-químicas como uma razão ou quociente entre a massa como numerador e o volume como denominador; porém, mais tarde, o conceito, definição e aplicação evoluíram generalizadamente para muitas outras áreas das engenharias e ciências físicas, químicas, biológicas e humanas. Em matemática dos números naturais e inteiros, a densidade é, simplesmente, uma razão constante entre duas grandezas; pela racionalidade humana, em matemática dos números racionais, a densidade assume a forma faccionária de uma proporção. A aplicação da propriedade fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto, impõe a densidade como um quociente, rácio, razão ou proporção como sendo apenas uma divisão cujo dividendo se designa numerador, cujo divisor se designa denominador e cujo resto é igual a zero. A partir desta tríade; quando qualquer um dos seus três parâmetros se considera constante, pois, o grau de liberdade aplicado a cada uma das variáveis restantes, fica condicionadamente restrito.
Racionalidade do mundo
A filosofia, a amizade pela sabedoria, procura levar metodicamente o conhecimento do saber humano até aos limites da racionalidade; por outro lado, entende-se a racionalidade como, formalmente, estruturada através de um rácio, uma razão, uma fração, um quociente; enfim, uma relação faccionária entre um numerador e um denominador. Por conseguinte, a analogia filosófica, cognitiva e expansiva, desta noção conceptual, transporta o conteúdo do pensamento racional para a respectiva relação faccionaria entre a parte como numerador e o todo como denominador; entre a descontinuidade do numerador e a continuidade do denominador; entre a contagem numérica do numerador e a medição, comparativa, á unidade do denominador; etc., finalmente, a racionalidade da razão, surge como uma nova dialética que ignora o afastamento antitético dos contrários mas, sim, proporciona um dinamismo dialético continuado na descontinuidade, diferente na igualdade, totalitário na parte que parte a totalidade do todo; é nesta nova dinâmica dialética que a densidade se enquadra; é nesta nova dialética dinâmica que a densidade se relaciona com a fórmula de Patrício Leite.
Relação entre a densidade e a fórmula de Patrício Leite
As relações entre a propriedade fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto; a noção clássica de densidade: Numerador / Denominador = Fração, portanto, massa / volume = densidade; e a fórmula de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n permitem, agora, abordar a relação entre a densidade e a fórmula de Patrício Leite; efectivamente, se n = 3 então, por inerência matemática, na aplicação da fórmula de Patrício Leite, surge dn = d3 e sabendo que d = distância, imediatamente se compreende que d3 é um volume; com esta volumetria tridimensional pode, para qualquer distância determinada e definida aprioristicamente, ser calculada uma densidade numérica absoluta mas também uma densidade absoluta de permutações sem repetição. Logicamente, d3 compreende as três dimensões clássicas: altura, largura e profundidade; a variação destas três dimensões exprime o contorno da forma de qualquer figura geométrica, bidimensional, ou sólido geométrico tridimensional. Com a fórmula de Patrício Leite e as várias aplicações do conceito de densidade torna-se possível imaginar, não apenas um volume tridimensional, mas todas as dimensões possíveis numa multidimensionalidade até ao infinito.
A densidade do espaço e a fórmula de Patrício Leite
A densidade do espaço é um conceito criado e concebido por Patrício Leite há cerca de 15 anos. De acordo com este conceito o espaço não compreende apenas a abordagem euclidiana pela bidimensionalidade da linha recta como menor distância entre dois pontos; compreende sim, também, a tridimensionalidade volumétrica captada pelo ser humano. Por conseguinte, o espaço surge, em Patrício Leite, com uma anisotropia cujas propriedades e respectivas grandezas medidas variam com a direcção e sentido, mas também, entre outros, em relação ao momento da medição; numa variabilidade de variação variada cuja única constância de permanência se relacionaria com a densidade, ou seja, o densitrão como medida quântica e quantificada da densidade. A filosofia do densitrão aponta para a sua conceptualização como a peça elementar de um puzzle; este densitrão, esta peça elementar de um puzzle totalitário existencial, teria contornos infinitamente deformáveis e a sua única constância seria a densidade. É neste contexto metafórico, ou seja, a construção do puzzle, que em qualquer observação da realidade física como um fenómeno científico, se constata a deformação de contorno e tamanho com o aumento ou diminuição da distância volumétrica espacial entre o observador e o objecto observado. Assim, para melhor entendimento, por analogia comparativa, o espaço poderia ser constituído por dobras ou pregas, invaginações ou enrolamentos, vórtices e redemoinhos que se enrolariam sobre si próprios em enovelamentos multidimensionais cuja relação de natureza constante se relacionaria com a densidade: a densidade do espaço traduzida pelo densitrão. A frequência de formação e deformação do espaço: destas várias pregas, invaginações, enrolamentos e enovelamentos etc. iriam originar simples pulsos descontínuos, mas também, pulsos vibratórios ou pulsos oscilatórios de natureza ondulatória cuja frequência poderia ser captada pelo ser humano promovendo a sensação de continuidade nos estados da matéria: sólido, liquido, gasoso, plasma, ou outros como campo eletromagnético, gravitacional, etc. A variabilidade do espaço com as suas mutações e permutações poderia originar padrões de repetição com múltiplas estruturas emergentes numa complexidade capaz de explicar todos os fenómenos observados e compreendidos pela física como ciência. Surge agora a fórmula de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n que, na complexidade, permite relacionar todas as permutações diferenciais n! com a distância do espaço multidimensional dn numa constância associada com a densidade: a densidade do espaço. Obviamente, aqui, n refere-se a contagem numérica discreta e d refere-se a medição da distância contínua entre números porém, entenda-se, não menos importante, doravante, o raciocínio teórico aqui exposto pode ser adaptado e extrapolado com objectivos de aplicação prática como, reconhecidamente, se procede no âmbito da inferência estatística.
Síntese conclusiva
Este ensaio manifesta uma grande diversidade de conceitos e raciocínios cuja aparência, confusa e variada, pode aparentar descabimento; porém, salienta-se, giram todos em torno da mesma procura filosófica. De per si, o ensaio não constitui uma etapa final e acabada; no entanto, enquanto etapa intermediaria, manifesta uma riqueza da filosofia criativa relacionada com as várias interpretações que se podem confrontar com a descoberta empírica da fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n, tendo atenção cada um dos membros desta igualdade. Obviamente, por método, cada conceito, aqui expresso, é analiticamente explorado até aos limites filosóficos da sua coerência racional; a aparência confusa, variada e descabida surge, precisamente, no limbo, no limite entre a racionalidade e a irracionalidade da incoerência humana; seguidamente, por norma, procura-se a analogia metafórica comparativa e agregadora como fundamento de uma síntese matemática e filosófica capaz de proporcionar alguma utilidade em teoria geral da ciência e da física em particular. Por exemplo: para a densidade do densitrão parte-se do conceito elementar, estabelecido pelas ciências físico-químicas, considerando a densidade como sendo uma razão entre a massa e o volume; seguidamente constata-se que entre dois números sequenciais da escala numérica ordenada existe apenas uma diferença contada pela sequência dos números naturais; porém, a dimensão, o tamanho ou comprimento dessa diferença, isto é a distância entre cada dois números da respectiva sequência ordenada, necessita de uma unidade de medição e, reparando atentamente, essa unidade, para produzir efeitos práticos, tem de ser padronizada pala teoria científica; mais, essa distância entre dois números da escala ordenada, ao longo de toda a escala, até ao infinito da contagem, não aparenta ser sempre igual. Continuando o raciocínio: sabe-se que a distância se mede em metros e a tridimensionalidade do metro origina o volume; a partir daqui pode-se efectuar a contagem dos números por unidade de volume e surge a densidade numérica; do mesmo modo, se fossem efectuadas permutações e contadas sequências ordenadas surgiria a densidade destas sequências; por conseguinte, agora, por simples analogia comparativa, transpõe-se o conceito da densidade numérica para o conceito físico de densidade do densitrão, considerando este como a menor distinção formal quantificada de um conteúdo espacial continuo, em analogia com o fotão da teoria da relatividade. São estas sequências, saltatórias, de raciocínios analógicos - porém, compreenda-se - cuja base do fundamento é científica; que proporcionam a coerência racional da constelação teórica expressa neste ensaio. Quando existe regularidade de uma distância entre os números, esta pode ser mensurável, assim formalizada: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n. Considerando que um dos lados da igualdade apresenta relações entre agrupamentos combinatórios com e sem ordem e o outro lado manifesta, puras permutações ordenadas mas também arranjos com repetição, cuja leitura combinatória se faz com base em contagens discretas mas cuja medição da distância impõe, por necessidade, o conceito de continuidade; pois, tal, manifesta um paradoxo cognitivo entre a continuidade e a descontinuidade dos números. Os axiomas matemáticos não parecem resolver este paradoxo, por outro lado, a sua extrapolação analógica e ampliada para a história do pensamento filosófico também o não resolve; por conseguinte, surge este ensaio como mais uma actividade de imaginação criativa, uma etapa intermédia, capaz de facilitar ideias mais sólidas, mais consistentes e práticas: em aplicação física, com a matematização da teoria do densitrão e, entre outras, em aplicação matemática, como na estatística e nas estratégias de investigação operacional. Doutor Patrício Leite 21 de Junho de 2025
A constante
A variável
O grau de liberdade como grau de determinação do sistema
O determinismo e o indeterminismo
A distância e a diferença
A constante como medida de continuidade
A variável e a descontinuidade
Rácio ou razão entre constante e variável
Densidade clássica definida como uma razão constante
Racionalidade do mundo
Relação entre a densidade e a fórmula de Patrício Leite
A história do pensamento matemático filosófico tem, repetidamente, demonstrado que a distância entre os números não é sempre igual; efectivamente, a impossibilidade de encontrar mais do que dois divisores (a unidade e ele próprio) para cada número primo, constitui uma prova irrefutável da inconstância verificada na distância entre os números. A primalidade é uma propriedade muito importante na criptografia dos nossos tempos, mas tem, também, estimulado significativamente o avanço em teoria dos números; foi na sequência destes raciocínios que em finais de agosto e inícios de setembro de 2024 constatei empiricamente uma regularidade combinatória relacionada com a distância entre os números, introduzida na fórmula original de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n assim traduzida posteriormente por: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n por conseguinte, imediatamente surgiu a ideia criativa de aplicar este conceito na resolução teórica de um problema físico conceptualizado, por mim, há cerca de 15 anos: o densitrão como elemento quantificador de uma continuidade descontínua. O problema da continuidade versus descontinuidade da matéria tem persistido desde os tempos primordiais do átomo: considerado como elemento teórico e indivisível da matéria; mais, este problema conduziu, no primeiro quartel do século vinte, ao início e desenvolvimento da física quântica numa inevitável ruptura com as ideias e o pensamento tradicional da física, da matemática, mas também da filosofia. É neste contexto que, agora, se desenvolve, sintetiza e divulga o conteúdo cognitivo deste ensaio cuja base matemática e filosófica parece, a guisa de neopitagorismo, transpor a realidade abstrata e conceptual dos números e respectivas relações teóricas para uma realidade física assente num realismo construtivista que aceita a observação objectiva de um objecto como imanente à construção interactiva com o sujeito.
A única constância conhecida é o homogéneo do vazio, o nada, o zero, a coisa nenhuma, a ausência de, …; tudo o resto são constantes, ou inconstantes variáveis; efetivamente, na ausência da continuidade permanente, tudo muda, tudo é volúvel, tudo é descontínuo e heterogéneo. O homem precisa de firmar constantes para construir o seu conhecimento: em ciências sociais, em ciências naturais, em física, em matemática; as permanentes constantes manifestam a necessidade humana, os fundamentos do conhecimento, os fundamentos da humanidade; contudo, mais uma vez, em ultima instância, a única entidade realmente constante é o vazio do nada, tudo o resto são variáveis; por conseguinte, considera-se uma constante humanamente definida como sendo, apenas, uma variável que não varia; obviamente, a variação de uma variável que não varia, produz o zero, o vazio, o nada. Conclusivamente, o produto de uma determinada constante por qualquer variável segue a variação da variável, mas o produto do vazio por uma variável absorve essa variabilidade; corrobora-se, assim, que a constância da constante, ou seja, a constância do vazio, absorve toda a variação da variável, mas, por outro lado, a constante variação da variável é uma constante produtora, não absorvente. Aparentemente, o caos mais não é do que uma total variabilidade, portanto, uma variabilidade que não tem referenciação a qualquer parte do todo como constância conhecida, mas, por oposição, o seu referencial relativo é a variabilidade do todo variavelmente totalitário. O aleatório finaliza o determinismo, finaliza a ordem; porém, enquanto processo repetitivo, presume a equiprobabilidade, por conseguinte, ainda aceita como referência, a constante repetição e a homogenia da igualdade, essa homogenia é o vazio do nada; mas no caos a única referência é a variabilidade total que totalmente varia. Esquematiza-se, assim, por analogia metafórica, uma abordagem sistémica entre a parte e o todo: a aleatoriedade, pela metáfora analógica, aproxima-se da parte; por outro lado, o caos aproxima-se analogicamente do todo. A abordagem sistémica tem, na presente contemporaneidade científica, fundamentado teorias como a complexidade, o caos, a auto-organização e emergência, entre outras, cuja finalidade consiste na oferta de novas interpretações para observação de fenómenos e ocorrências indeterminados e imprevisíveis nos termos das relações de causalidade próprias da metodologia científica, tradicionalmente, linear e mecanicista.
Matematicamente, entre a constante permanência e a variabilidade caótica encontra-se o grau de liberdade, o nível ou grau de determinação de um sistema, a diferença entre a variabilidade e a constância. O nível de determinação que o grau de liberdade confere, mas também as operações com constantes, permitem classificar ou categorizar; por exemplo: constantes de adição que se associam com as progressões aritméticas, constantes de multiplicação que se associam com as progressões geométricas, constantes de proporcionalidade que se associam com os mais variados tipos de proporções etc. porém, repare-se que uma constante é apenas e tão-somente uma variável que não varia, uma variável cuja variabilidade é zero; por outro lado, uma variável é apenas a variação de uma constante. Constantes e variáveis compreendem uma única categorização cuja variabilidade das variáveis se relaciona com o grau de liberdade. Em última instância a máxima variabilidade é infinita e a mínima é zero; entre zero e infinito classificam-se e categorizam-se todas as constantes e todas as variáveis. Do ponto de vista analítico, a atividade matemática consiste na procura de constância na variabilidade ou, por outro lado, na procura de variabilidade na constância; por conseguinte, um dos métodos analíticos consiste em contemplar a variabilidade que varia e, nessa variação procurar a possibilidade, em qualquer nível, de um padrão de variação capaz de definir e estipular uma constância; a partir desse padrão de variação, a partir dessa constância, parte-se sucessivamente para novas variações e novas constâncias num raciocínio dialético dualístico que fundamenta, por exemplo, o método das diferenças finitas até, finalmente, encontrar a infinita continuidade típica da análise diferencial que, analogicamente, proporciona uma estabilidade comparativa entre o zero e o infinito como entidades homogéneas: aqui, sai a matemática discreta e entra a matemática da continuidade.
O conceito de liberdade, concebido pelas estruturas da linguagem, comporta inerentes paradoxos absurdos e irresolúveis. Qualquer raciocínio reducionista, capaz de conduzir o conceito de liberdade a uma totalidade absoluta comporta, imediatamente, o absurdo do absoluto; efectivamente uma entidade, qualquer que seja, só por existir tem, na sua existência, inerente, pelo menos, uma condição limitante da sua liberdade: enquanto existente, pois, não pode ser, não existente; por outro lado, a existência de uma identidade, ainda que determinadamente constante, significa, por inerência, a sua libertação identitária em face do meio que a envolve. Os raciocínios relacionados com as estruturas da linguagem, quando reduzidos ao absoluto unitário, são absurdos, provocam uma sensação mental de insatisfação: uma lacuna mental, uma dissonância cognitiva, uma incompletude insatisfatória que tem, cognitivamente, de ser resolvida; para ultrapassar o absurdo absoluto e unitário, surge, como fundamento racional, pela estrutura da linguagem lógica bivalente, o reducionismo dualista como método cognitivo capaz de conduzir os absolutos a uma dualidade irreconciliável satisfatória; neste contexto, o grau de liberdade, enquanto dualidade, polarizada entre variáveis libertárias e constantes deterministas, comporta necessariamente, um dualismo fundamental constitucional: o grau de liberdade é também, por inerência antitética, o grau de determinação do sistema; esta é, pois, a dualidade constitucional entre a liberdade da variabilidade infinita e a determinação da constante finitude.
Com a emergência da racionalidade, surge a razão humana, surge a procura de uma constância capaz de determinar a causa ou a finalidade da humanidade. Uma razão, qualquer que seja, surge, por inerência intrínseca, associada com o determinismo; por oposição, surge a inconstância da variabilidade como fundamento do indeterminismo. Considerando a incoerência paradoxal dos contraditórios: interior - exterior, homogéneo - heterogéneo, igual – diferente, constância – variabilidade, determinismo – indeterminismo, etc., surge a dialética de Heraclito que, numa primeira fase, apenas manifestava a ideia de variabilidade do movimento de modificação para, imediatamente, Parménides postular a eterna constância atemporal da uniformidade existencial como contraditório do devir mutável da mudança de Heraclito. A dialética, como método de resolução dos contraditórios, progrediu por um reducionismo racional dualista da lógica bivalente aristotélica para, finalmente, com Hegel, assumir a metodologia sequencial tripartida da tese, antítese e síntese. A dialética sequencial tripartida reconheceu, imediatamente, a antítese conceptual entre o idealismo e o materialismo com repercussões significativas na interpretação partilhada do mundo, contudo, na contemporaneidade cognitiva, manteve as propriedades sequenciais, contraditórias e reducionistas a um evolucionismo sequencial tripartido. Paradoxalmente, nem a dialética dualista contraditória do tempo dos primórdios nem a presente terceira via da síntese conciliatória, conseguiram resolver a absurda insatisfação inconformista da incoerente conflitualidade intrinsecamente cognitiva; contudo, é sempre possível considerar o desconhecido como uma heterogénea fragmentação descontínua de pontos indeterminados e, um destes pontos, será uma unidade identitária ordenada num finalismo determinista. Talvez assim, somente assim, se consiga resolver a insatisfação humana causada pela lacuna mental como uma dissonância produzida pela intrínseca conflitualidade cognitiva. O problema do mundo transforma-se no problema pessoal! Isto é filosofia!
A abordagem tradicional, considera a matemática finita ou discreta no domínio dos números inteiros como descontinua, por outro lado, no domínio dos reais, está a matemática da continuidade considerada infinita; obviamente, com o conceito de infinitesimal como a quantidade numérica mais próxima de zero do que qualquer número real, surge o problema da descontínua continuidade. O conceito de infinitesimal surgiu nos primórdios históricos da matemática; efectivamente, Arquimedes introduziu o conceito e posteriormente Leibniz, através dos diferenciais, desenvolveu o cálculo infinitesimal. A partir das diferenças finitas e dos diferenciais, a progressão histórica do pensamento matemático evoluiu para a continuidade numérica com uma aritmética intervalar; no entanto, considera-se um intervalo como um conjunto de pontos dentro de uma determinada distância, por conseguinte, assume-se a distância como o aspecto da continuidade e os pontos como o aspecto da descontinuidade; agora, transpondo analogicamente para os sistemas numéricos, pois, os números naturais surgem descontinuamente como representantes dos pontos, diferenciados pela ordem que os coloca numa escala de sucessivas sequências dentro da continuidade de uma determinada distância. Os números contam-se; a contagem numérica exprime a descontinuidade que qualitativamente delimita, mas também é delimitada, pela distância numérica; por outro lado a distância que, qualitativamente, separa os números, exprime a continuidade cuja medição terá de ser quantitativamente realizada através de métodos comparativos a partir de uma unidade padrão; por conseguinte, torna-se consensualmente legítimo afirmar: se os números são contados, pois, a distância é medida. Mais, se a contagem e a medição constituem conceitos distintos e relacionados com o problema filosófico-matemático da continuidade, pois, também, a distância e a diferença, enquanto conceptualmente distintos, terão a sua abordagem própria; efectivamente: aquilo que diferencia os números é a posição relativa que cada um ocupa na escala ordenada, por outro lado, entre dois números sucessivos da sequência natural ordenada existe apenas uma distância, porém, entenda-se, essa única distância que existe entre cada número diferente pode ser contada e, assim, por adição sucessiva, originar a progressão numérica dos números naturais mas essa distância não tem de ser sempre igual; essa distância não tem de ser sempre constante; a distância entre cada número pode ser uma variável que varia com algum padrão de regularidade ou, de outro modo, a sua variação pode ocorrer num modo aleatoriamente ao acaso, portanto sem qualquer regularidade. Surge assim d como a variável distância que adapta a fórmula de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n. Considere-se a figura:
A constante como medida de continuidade
Qualquer constante mantém, enquanto tal, na sua constância, uma invariabilidade determinante da sua continuidade; contudo, em conformidade com a mais elementar filosofia conceptual da linguagem, pois, a medida e a contagem configuram aspectos fundamentais da repetida dualidade dicotómica humana; efectivamente: a contagem refere-se à variabilidade da descontinuidade e, por outro lado, a medida comporta a constante continuidade. Medir e contar são duas actividades cognitivas paradoxalmente separadas na união, mas unidas na separação. A evolução histórica do pensamento matemático contemplou uma variabilidade descontínua da natureza traduzida pela contagem dos números naturais como entidades descontínuas, mas unidas por uma escala ordenada; posteriormente, a realeza da realidade configurou uma constante continuidade invariante como fundamento da medida dos números reais. Pela racionalidade cognitiva subtranscendente, a conceptualidade humana, apenas consegue vislumbrar a variabilidade, mas também a constância, num grau de liberdade intervalado entre o nada, o zero absoluto e a totalidade do infinito; como que, a variação da variabilidade, mas também a continuidade da constância são, para a transcendência humana, intervaladas entre duas homogeneidades absolutamente constantes: o vazio do nada e a totalidade do infinito. O desconhecido, a incerteza, a insegurança existencial do homem, obrigam a limitar tipologicamente constantes absolutas dentro das quais toda a ciência, todo o conhecimento, todo o entendimento humano se move: são as constantes absolutas que limitam o grau de liberdade no qual as restantes constantes e variáveis se alteram. A constância da variabilidade contínua, é medida, mas não contada, entre zero e infinito; a heterogeneidade descontínua, é contada, mas não medida, entre infinito e zero.
A variável e a descontinuidade
Qualquer variável que varia, promove a descontinuidade; efectivamente, entre dois diferentes valores existe, pelo menos, uma diferença: essa diferença, essa distinção identitária, constitui a descontinuidade daquilo que, não mais, se identifica. A origem etimológica da palavra identidade é bem clara: dos termos latinos idem e identitas derivam as ideias de o mesmo, a identidade, a igualdade, a permanência e a continuidade. Avançando para o proto-indo-europeu, parece que por sua vez, idem, deriva de um pronome demonstrativo; demonstrando que esse ou aquele que se mantêm idênticos, pois, também, mantêm a mesma identidade; porquanto, a identidade surge como uma qualidade demonstrativa da permanência, da continuidade, da constância singular, da unicidade constante. Por outro lado, a variação da variável, constitui uma quebra da identidade, uma quebra da constante continuidade. Qualquer categoria de linguagem matemática, baseada na lógica clássica, assume o princípio da identidade como fundamento estruturante do sistema; contudo, a lógica clássica conduz a nova física quântica até ao paradoxo de Schrödinger; por conseguinte, torna-se necessário um novo sistema lógico, uma lógica não-reflexiva, uma lógica que nega o princípio da identidade como meio de ultrapassar os paradoxos da física quântica. A analogia do “gato Schrödinger", simultaneamente vivo e morto, promove a ideia de uma razão: a razão humana como o fundamento construtivista de uma realidade racional: simultaneamente constante e variável, simultaneamente contínua e descontínua; uma realidade cuja acção de observar impõe, simultaneamente, a realidade do observado.
Rácio ou razão entre constante e variável
Um rácio ou razão é constituído por uma fracção composta por um numerador e um denominador. Por outro lado, de um modo mais abrangente, a propriedade fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto, impõe um rácio ou razão como sendo apenas uma divisão cujo dividendo se designa numerador, cujo divisor se designa denominador e cujo resto é igual a zero. Uma proporção é um aspecto mais restrito de um rácio ou razão; porquanto, é um rácio ou razão cujo quociente é um número fracionário.
Se na propriedade fundamental da divisão, o resto for considerado como uma constante de valor igual a zero, pois, o rácio ou razão surge representado por três incógnitas: Dividendo = Divisor x Quociente, agora, tendo em atenção as regras da equivalência matemática pois o Dividendo / Divisor = Quociente. O resultado de um rácio ou razão pode ser constante, razão constante; ou variável, razão variável. O conceito de proporção impõe uma igualdade entre duas razões cuja coerência se baseia num trabalho com números racionais: dividendo1/divisor1 = dividendo2/divisor2; nesta situação, a continuidade da constância e a descontinuidade da variação são calculadas através de quatro atributos. As relações entre estes quatro atributos podem ser calculadas através da análise combinatória. Quando aos quatro atributos correspondem quatro variáveis, pois, num sistema de equações lineares, o grau de liberdade é calculado, pela diferença entre o número de variáveis e o número de equações independentes surgindo um constante determinismo quando tem apenas uma solução já que o número de variáveis é igual ao número de equações independentes e o grau de liberdade é zero; por outro lado, se o número de variáveis é superior ao número de equações independentes pois o sistema é variavelmente indeterminado já que as infinitas soluções resultam de variáveis arbitrarias que não podem ser determinadas pelas condições equacionadas como igualitárias. Em sistemas sobredeterminados o número de restrições excessivo, ou seja, o número de equações é superior ao número de variáveis. Os sistemas sobredeterminados não têm a consistência lógica da razão humana, mas a inteligência ardilosa procura a sua resolução por intermédio de soluções aproximadas como, por exemplo, usando o método dos mínimos quadrados.
Considerando agora o raciocínio, nos termos da filosofia analítica da matemática, pois, os sistemas sobredeterminados transportam o pensamento para a teoria da complexidade com a emergência de padrões globais a partir das interacções locais numa múltipla causalidade circular em cada nível de organização; por sua vez, os vários níveis organizacionais, circulam, numa circularidade sem fim. É pela contagem linear desta circularidade sem fim que surgem os contraditórios paradoxais, típicos da incoerência racional dualística: interior – exterior, homogéneo – heterogéneo, igual – diferente, constância – variabilidade, determinismo – indeterminismo, etc., efectivamente, parametrizando a teoria da complexidade, afirma-se que em sistemas multicomplexos, por simples analogia comparativa, pode-se estabelecer uma correspondência entre cada constante e a restrição igualitária causada por uma equação independente, mas também, entre cada variável e a liberdade própria de uma incógnita do sistema; nesta condição, o grau de liberdade surge como a diferença entre a liberdade da variável incógnita e a restrição da constante; quando o número de restrições causadas pelas constantes supera o número de variáveis incógnitas livres, pois, tal significa que o sistema se diz sobredeterminado; este sistema sobredeterminado exige solução complexa. Acrescenta-se, o conjunto constituído pelas constantes numéricas, regras de operações matemáticas e padrões de pensamento pode, se as constantes restritivas superarem as variáveis livres, configurar um sistema sobredeterminado de complexidade matemática combinatória traduzida pela fórmula de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n sendo que, neste ambiente de elevada complexidade, a analise combinatória representada pela igualdade de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n comporta como atributos as letras n e d que servem para designar constantes ou variáveis presentes em ambos os lados da equação.
Densidade clássica definida como uma razão constante
As constantes podem ser submetidas a múltiplas classificações: absolutas, relativas; razões constantes, constantes de proporcionalidade, constantes de primeira ordem, de segunda ordem, etc.
Tradicionalmente, a noção clássica de densidade foi primeiramente aplicada por Arquimedes nas ciências físico-químicas como uma razão ou quociente entre a massa como numerador e o volume como denominador; porém, mais tarde, o conceito, definição e aplicação evoluíram generalizadamente para muitas outras áreas das engenharias e ciências físicas, químicas, biológicas e humanas. Em matemática dos números naturais e inteiros, a densidade é, simplesmente, uma razão constante entre duas grandezas; pela racionalidade humana, em matemática dos números racionais, a densidade assume a forma faccionária de uma proporção. A aplicação da propriedade fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto, impõe a densidade como um quociente, rácio, razão ou proporção como sendo apenas uma divisão cujo dividendo se designa numerador, cujo divisor se designa denominador e cujo resto é igual a zero. A partir desta tríade; quando qualquer um dos seus três parâmetros se considera constante, pois, o grau de liberdade aplicado a cada uma das variáveis restantes, fica condicionadamente restrito.
Racionalidade do mundo
A filosofia, a amizade pela sabedoria, procura levar metodicamente o conhecimento do saber humano até aos limites da racionalidade; por outro lado, entende-se a racionalidade como, formalmente, estruturada através de um rácio, uma razão, uma fração, um quociente; enfim, uma relação faccionária entre um numerador e um denominador. Por conseguinte, a analogia filosófica, cognitiva e expansiva, desta noção conceptual, transporta o conteúdo do pensamento racional para a respectiva relação faccionaria entre a parte como numerador e o todo como denominador; entre a descontinuidade do numerador e a continuidade do denominador; entre a contagem numérica do numerador e a medição, comparativa, á unidade do denominador; etc., finalmente, a racionalidade da razão, surge como uma nova dialética que ignora o afastamento antitético dos contrários mas, sim, proporciona um dinamismo dialético continuado na descontinuidade, diferente na igualdade, totalitário na parte que parte a totalidade do todo; é nesta nova dinâmica dialética que a densidade se enquadra; é nesta nova dialética dinâmica que a densidade se relaciona com a fórmula de Patrício Leite.
Relação entre a densidade e a fórmula de Patrício Leite
As relações entre a propriedade fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto; a noção clássica de densidade: Numerador / Denominador = Fração, portanto, massa / volume = densidade; e a fórmula de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n permitem, agora, abordar a relação entre a densidade e a fórmula de Patrício Leite; efectivamente, se n = 3 então, por inerência matemática, na aplicação da fórmula de Patrício Leite, surge dn = d3 e sabendo que d = distância, imediatamente se compreende que d3 é um volume; com esta volumetria tridimensional pode, para qualquer distância determinada e definida aprioristicamente, ser calculada uma densidade numérica absoluta mas também uma densidade absoluta de permutações sem repetição. Logicamente, d3 compreende as três dimensões clássicas: altura, largura e profundidade; a variação destas três dimensões exprime o contorno da forma de qualquer figura geométrica, bidimensional, ou sólido geométrico tridimensional. Com a fórmula de Patrício Leite e as várias aplicações do conceito de densidade torna-se possível imaginar, não apenas um volume tridimensional, mas todas as dimensões possíveis numa multidimensionalidade até ao infinito.
A densidade do espaço e a fórmula de Patrício Leite
A densidade do espaço é um conceito criado e concebido por Patrício Leite há cerca de 15 anos. De acordo com este conceito o espaço não compreende apenas a abordagem euclidiana pela bidimensionalidade da linha recta como menor distância entre dois pontos; compreende sim, também, a tridimensionalidade volumétrica captada pelo ser humano. Por conseguinte, o espaço surge, em Patrício Leite, com uma anisotropia cujas propriedades e respectivas grandezas medidas variam com a direcção e sentido, mas também, entre outros, em relação ao momento da medição; numa variabilidade de variação variada cuja única constância de permanência se relacionaria com a densidade, ou seja, o densitrão como medida quântica e quantificada da densidade. A filosofia do densitrão aponta para a sua conceptualização como a peça elementar de um puzzle; este densitrão, esta peça elementar de um puzzle totalitário existencial, teria contornos infinitamente deformáveis e a sua única constância seria a densidade. É neste contexto metafórico, ou seja, a construção do puzzle, que em qualquer observação da realidade física como um fenómeno científico, se constata a deformação de contorno e tamanho com o aumento ou diminuição da distância volumétrica espacial entre o observador e o objecto observado. Assim, para melhor entendimento, por analogia comparativa, o espaço poderia ser constituído por dobras ou pregas, invaginações ou enrolamentos, vórtices e redemoinhos que se enrolariam sobre si próprios em enovelamentos multidimensionais cuja relação de natureza constante se relacionaria com a densidade: a densidade do espaço traduzida pelo densitrão. A frequência de formação e deformação do espaço: destas várias pregas, invaginações, enrolamentos e enovelamentos etc. iriam originar simples pulsos descontínuos, mas também, pulsos vibratórios ou pulsos oscilatórios de natureza ondulatória cuja frequência poderia ser captada pelo ser humano promovendo a sensação de continuidade nos estados da matéria: sólido, liquido, gasoso, plasma, ou outros como campo eletromagnético, gravitacional, etc. A variabilidade do espaço com as suas mutações e permutações poderia originar padrões de repetição com múltiplas estruturas emergentes numa complexidade capaz de explicar todos os fenómenos observados e compreendidos pela física como ciência. Surge agora a fórmula de Patrício Leite: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n que, na complexidade, permite relacionar todas as permutações diferenciais n! com a distância do espaço multidimensional dn numa constância associada com a densidade: a densidade do espaço. Obviamente, aqui, n refere-se a contagem numérica discreta e d refere-se a medição da distância contínua entre números porém, entenda-se, não menos importante, doravante, o raciocínio teórico aqui exposto pode ser adaptado e extrapolado com objectivos de aplicação prática como, reconhecidamente, se procede no âmbito da inferência estatística.
Síntese conclusiva
Este ensaio manifesta uma grande diversidade de conceitos e raciocínios cuja aparência, confusa e variada, pode aparentar descabimento; porém, salienta-se, giram todos em torno da mesma procura filosófica. De per si, o ensaio não constitui uma etapa final e acabada; no entanto, enquanto etapa intermediaria, manifesta uma riqueza da filosofia criativa relacionada com as várias interpretações que se podem confrontar com a descoberta empírica da fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n, tendo atenção cada um dos membros desta igualdade. Obviamente, por método, cada conceito, aqui expresso, é analiticamente explorado até aos limites filosóficos da sua coerência racional; a aparência confusa, variada e descabida surge, precisamente, no limbo, no limite entre a racionalidade e a irracionalidade da incoerência humana; seguidamente, por norma, procura-se a analogia metafórica comparativa e agregadora como fundamento de uma síntese matemática e filosófica capaz de proporcionar alguma utilidade em teoria geral da ciência e da física em particular. Por exemplo: para a densidade do densitrão parte-se do conceito elementar, estabelecido pelas ciências físico-químicas, considerando a densidade como sendo uma razão entre a massa e o volume; seguidamente constata-se que entre dois números sequenciais da escala numérica ordenada existe apenas uma diferença contada pela sequência dos números naturais; porém, a dimensão, o tamanho ou comprimento dessa diferença, isto é a distância entre cada dois números da respectiva sequência ordenada, necessita de uma unidade de medição e, reparando atentamente, essa unidade, para produzir efeitos práticos, tem de ser padronizada pala teoria científica; mais, essa distância entre dois números da escala ordenada, ao longo de toda a escala, até ao infinito da contagem, não aparenta ser sempre igual. Continuando o raciocínio: sabe-se que a distância se mede em metros e a tridimensionalidade do metro origina o volume; a partir daqui pode-se efectuar a contagem dos números por unidade de volume e surge a densidade numérica; do mesmo modo, se fossem efectuadas permutações e contadas sequências ordenadas surgiria a densidade destas sequências; por conseguinte, agora, por simples analogia comparativa, transpõe-se o conceito da densidade numérica para o conceito físico de densidade do densitrão, considerando este como a menor distinção formal quantificada de um conteúdo espacial continuo, em analogia com o fotão da teoria da relatividade. São estas sequências, saltatórias, de raciocínios analógicos - porém, compreenda-se - cuja base do fundamento é científica; que proporcionam a coerência racional da constelação teórica expressa neste ensaio. Quando existe regularidade de uma distância entre os números, esta pode ser mensurável, assim formalizada: n!dn = Σnk=0(nk)(-1)kdn(n+z-k)n. Considerando que um dos lados da igualdade apresenta relações entre agrupamentos combinatórios com e sem ordem e o outro lado manifesta, puras permutações ordenadas mas também arranjos com repetição, cuja leitura combinatória se faz com base em contagens discretas mas cuja medição da distância impõe, por necessidade, o conceito de continuidade; pois, tal, manifesta um paradoxo cognitivo entre a continuidade e a descontinuidade dos números. Os axiomas matemáticos não parecem resolver este paradoxo, por outro lado, a sua extrapolação analógica e ampliada para a história do pensamento filosófico também o não resolve; por conseguinte, surge este ensaio como mais uma actividade de imaginação criativa, uma etapa intermédia, capaz de facilitar ideias mais sólidas, mais consistentes e práticas: em aplicação física, com a matematização da teoria do densitrão e, entre outras, em aplicação matemática, como na estatística e nas estratégias de investigação operacional. Doutor Patrício Leite 21 de Junho de 2025
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