Teoria analítica dos números angulares

As teorias dos números têm fornecido consistência à matemática como ciência dos padrões; assim é que em qualquer sistema de numeração há sempre uma dualidade e um compromisso entre uma qualidade e uma quantidade: o numeral é o aspecto qualitativo, nome ou símbolo, atribuído a qualquer número por sua vez, o número ou quantidade assume uma ordem organizada pelo numeral. Num sistema de numeração de base dez, os nomes dos números, os seus símbolos, são os algarismos. A relação entre o aspecto quantitativo e qualitativo com a repetição periódica ou cíclica dos elementos da base de numeração faz do número uma dualidade com uma componente periódica e uma componente linear. Há em cada número uma componente geométrica associada com propriedades cíclicas, periódicas ou angulares que determinam o respectivo número trigonométrico, no entanto, também se pode realizar uma operação aritmética conhecida como relação fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto; ora esta relação assume a forma ou expressão geral de uma função polinomial de primeiro grau designada função afim cujo divisor, ou o quociente, podem qualquer um, ser considerados como o declive ou tangente de uma recta representativa da função afim no plano cartesiano. A divisão, como operação aritmética, já invoca implicitamente a noção de angularidade de um número, no entanto, também se reconhece que desde o conjunto dos números naturais até aos complexos, passando pelos reais, a sequência ordenada dos números surge sempre como se fosse, por analogia, uma progressão aritmética cuja razão se pode definir. No caso do sistema de numeração decimal, a razão da progressão aritmética poderia ser definida como a unidade, a décima, a centésima, a milésima, etc. Conforme a razão da progressão aritmética considerada, assim a sucessão se desloca até ao infinito; por outro lado, no sistema decimal, a cada dez algarismos a posição, na recta ordenada dos números, repete-se; surge pois em cada número uma componente angular ou periódica e uma componente linear. A função afim, quando se considera o sistema de numeração decimal é representada no plano cartesiano como uma recta; no entanto se o sistema de numeração tivesse base quatro então essa função afim no dito “plano cartesiano”, com dois eixos e quatro ângulos iguais, seria representada como uma espiral já que uma das variáveis da função seria linear mas a outra variável seria necessariamente angular.

No sistema de numeração decimal com uma representação gráfica de, cinco eixos ou dez raios de circunferência, divididos por ângulos iguais, já que neste sistema decimal há dez algarismos, então a representação gráfica da progressão dos números surge como uma espiral de Arquimedes que poderá ser volumétrica se a dimensão linear pertencer aos números reais ou complexos.

Se neste sistema se pretender levar a representação dos números até às centésimas então terão de existir cem raios e cem ângulos iguais; se a representação for até às milésimas terão de existir mil raios e mil ângulos iguais e assim sucessivamente.
Quando num qualquer sistema de numeração a base, deste sistema de numeração, coincide com o número de raios e de ângulos iguais de um sistema de representação gráfica, então o gráfico resultante para a sucessão dos números, desse sistema de numeração, é sempre uma espiral. Como qualquer um dos raios, ou dos ângulos, do sistema de representação gráfica pode assumir a componente “linear” dos números, então com coerência lógica, pode-se afirmar que qualquer número é uma relação entre ângulos.

A matemática tradicional tem tentado linearizar todos os números sem sucesso; tentar angularizar todos os números acarretaria problemas e imprecisões semelhantes aos que têm ocorrido com as tentativas de linearização tradicional. Por exemplo, o número Pi (π) é o resultado de uma relação entre o perímetro da circunferência, melhor dizendo, o ângulo de 360 graus da circunferência e o seu diâmetro; esta é uma relação entre a angularidade do perímetro e a linearidade do diâmetro. A tentativa de linearizar o ângulo tem acarretado imprecisões na exactidão do número Pi (π); a tentativa de angularizar o diâmetro da respectiva circunferência acarretaria imprecisões semelhantes.

Os fundamentos da matemática acarretam uma dualidade essencialmente irredutível entre a angularidade geométrica dos números e a respectiva linearidade aritmética; tentar exprimir um número apenas pelo seu aspecto linear ou angular é ocorrer numa imprecisão; como qualquer número tem uma componente angular e uma linear então o mais correcto é arranjar um sistema de notação em que cada número seja expresso simultaneamente pela sua componente angular e linear. Entre os números irracionais, os transcendentes, revelam precisamente essa dualidade fundamental e irredutível da relação entre o geométrico e o aritmético, o angular e o linear, pelo que em favor do rigor matemático é muito importante, para a teoria dos números, a criação da notação numérica simultaneamente angular e linear que permitirá resolver problemas matemáticos até agora sem solução.

         Doutor Patrício Leite, 26 de Setembro de 2016