A dualidade função-referencial é
uma realidade indissociável; no entanto, o ensino da Geometria Analítica e da
Análise Matemática tem, nos vários países do mundo, concedido especial relevo
ao estudo analítico das funções em detrimento dos respectivos referenciais. Se
as funções podem ser estudadas por métodos gráficos e analíticos, pois também
os sistemas referenciais de coordenadas o podem. Por exemplo, o sistema de
coordenadas no plano cartesiano é analiticamente definido por um sistema de
equações ou funções(constantes) tipo: Y = 0 e X = 0. Ora, se fizermos X ou Y =
K (K, constante real) temos uma translação mas, por outro lado, se alterarmos X
ou Y para funções afim(Y = mX + b) então
teremos um sistema de coordenadas axiais constituído por duas funções que
servirá de referencial para uma terceira função. Generalizando podemos afirmar
que, qualquer sistema de duas funções(todas, incluindo as funções periódicas)
pode constituir um referencial bidimensional, já um sistema de três funções
poderá constituir um sistema referencial tridimensional ou então permite o
estudo analítico de uma função no seu referencial bidimensional e vice-versa.
Também poderemos generalizar que uma função e a respectiva função derivada, ou
primitiva, estabelecem um sistema de coordenadas onde uma terceira função pode
ser estudada. Se a função derivada corresponder a tangente, então o ângulo(trigonométrico)
correspondente, em conjunto com a função original permite definir um sistema de
coordenadas polares para representar pontos ou estudar graficamente funções. A
convertibilidade entre sistemas de coordenadas é uma realidade matemática.
Até aqui foi proposto o estudo analítico de sistemas de coordenadas como
sendo conjuntos de funções. Quando abordamos os números complexos então surgem
novas ideias. De facto, um número complexo pode ser expresso na forma: Y = mX +
b ( em que X e b são números reais e m é a raiz quadrada de -1). Um número
complexo é expresso por uma função afim cujo declive é a raiz quadrada de -1
mas, um número complexo é também uma das coordenadas que localizam qualquer
ponto no plano. Agora, com os números complexos; para localizar um ponto no
plano cartesiano são necessárias duas funções afim, uma para cada
coordenada(abcissa e ordenada). Generalizando podemos afirmar que, qualquer
ponto pode ser localizado no plano referencial cartesiano por duas quaisquer
funções(incluindo as periódicas). Avançando com matemática filosófica poderemos
presumir que um ponto multidimensional é localizado por múltiplas funções que
se forem ordenadas por uma função vão constituir um eixo. Este eixo, por sua
vez é uma das funções de um sistema multidimensional de eixos. Este sistema
multi-axial permite estudar outras funções. Assim, não há sistema de
coordenadas sem função nem função sem sistema de coordenadas: ambos podem ser
estudados gráfica ou analiticamente. Apesar de alguns raciocínios falaciosos, a
dualidade aqui expressa revela como é fácil gerar ideias com os próprios
conceitos da matemática, pela aplicação do método filosófico globalizante e não
apenas pela linguagem técnico-filosófica geral. Doutor Patrício Leite, 8 de Março de 2013
