Introdução
Continuação do trabalho empírico
Este número zero surge como
resultado de mais uma sequência de subtracções sucessivas, porém, agora entre
os factoriais que, por terem todos valor igual, o resultado da operação é
precisamente zero.
Há mais regularidades ou
padrões de repetição: por exemplo, entre vários outros, nota-se que o número de
linhas de cada um destes triângulos invertidos depende do valor do expoente
cujos números potenciais serviram para iniciar a sequência de subtracções
sucessivas; por semelhança com o triângulo aritmético, também nestes triângulos
potenciais invertidos é possível calcular os números de uma linha a partir de
números anteriores, por outro lado, nota-se em cada linha e coluna, como que,
uma presença constante, ou capaz de ser deduzida, do triângulo aritmético, o
que não é de estranhar já que, se o triângulo aritmético se forma a partir de
sucessivas adições, pois, cada um destes triângulos forma-se a partir de
sucessivas subtracções. A diferença sucessiva de uns números em relação a
outros, constitui como que uma espécie de derivação, ou primitivação, dependendo
do sentido em que se realiza, ao longo das várias linhas sucessivas de cada
triângulo, porém, todos os triângulos juntos integram-se num triângulo maior
com base nos números potenciais; por sua vez este triângulo ainda se integra
num maior, com base nos números factoriais ou produtórios, cada triângulo
sempre infinito e integrado infinitamente numa triangularidade de natureza
infinita que apresenta várias regularidades ou padrões de repetição entre
números e estruturas algébricas e, por isso, faz a ponte entre as matemáticas
finitas ou discretas e a análise infinitesimal própria do cálculo matemático da
continuidade.
Generalização dos resultados
Análise e interpretação preliminar dos resultados
Derivadas e primitivas da função de Patrício
As variáveis da função em relação com a derivação e a primitivação
Discussão preliminar dos resultados
A triangularidade de Patrício
Conclusão
Esta função foi encontrada
empiricamente, por Patrício Leite, através de um trabalho mental, cognitivo,
que consistiu em realizar sequências de sucessivas subtracções de números
potenciais com o mesmo expoente mas ordenados pelos valores decrescentes,
contíguos, das suas bases; as sucessivas subtracções foram realizadas até
chegar ao último número natural, o qual iguala o resultado do factorial do
respectivo expoente; a seguir, num trabalho mental mais generalizado e
abstracto, realizou sequências de sucessivas substituições pelos respectivos
números potenciais até chegar, em cada caso, a expressões numéricas finais
cujos primeiros números de cada termo coincidem com os números dispostos ao longo
da linha do triângulo aritmético ou de Pascal, sendo que o expoente corresponde
precisamente ao número da linha do referido triângulo. Posteriormente procedeu
à generalização dos resultados e designou a expressão algébrica encontrada por relação fundamental
de Patrício:
nesta relação é estabelecida uma igualdade entre um número factorial e o
respectivo polinómio de grau igual a esse factorial traduzida na relação fundamental de Patrício por: n! = a1(n+1)n
– a2nn + a3(n-1)n – a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n
Sendo que: a1, a2,
a3, a4,
a5, a6,
… a1 são a sequência dos números ao
longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal.
Finalmente, com um nível de
abstracção ainda maior, esta relação foi generalizada e formalizada numa
função, como se segue:
Continuação do trabalho empírico
A análise empírica da estrutura
numérica, com as sequências de sucessivas subtracções, mostra várias
regularidades ou padrões de repetição cuja disposição dos números constitui
conjuntos de triângulos invertidos e, para o caso da função de Patrício, o
vértice do triângulo respectivo, é precisamente o último número natural que
iguala o valor do factorial do expoente potencial que confere, precisamente, o
grau ao respectivo polinómio.
No entanto, qualquer que seja o
expoente dos números potenciais, assim como o respectivo triângulo, pois a
seguir ao factorial, surge sempre e imediatamente o número zero.
Este número zero surge como
resultado de mais uma sequência de subtracções sucessivas, porém, agora entre
os factoriais que, por terem todos valor igual, o resultado da operação é
precisamente zero.
O novo triângulo, agora
formado, tem como vértice o valor zero; no entanto, os triângulos anteriores
cujos vértices, foram agora, submetidos à operação de subtracção, tinham como
valor, precisamente, o factorial do expoente potencial que confere o grau ao
polinómio do respectivo triângulo.
Há mais regularidades ou
padrões de repetição: por exemplo, entre vários outros, nota-se que o número de
linhas de cada um destes triângulos invertidos depende do valor do expoente
cujos números potenciais serviram para iniciar a sequência de subtracções
sucessivas; por semelhança com o triângulo aritmético, também nestes triângulos
potenciais invertidos é possível calcular os números de uma linha a partir de
números anteriores, por outro lado, nota-se em cada linha e coluna, como que,
uma presença constante, ou capaz de ser deduzida, do triângulo aritmético, o
que não é de estranhar já que, se o triângulo aritmético se forma a partir de
sucessivas adições, pois, cada um destes triângulos forma-se a partir de
sucessivas subtracções. A diferença sucessiva de uns números em relação a
outros, constitui como que uma espécie de derivação, ou primitivação, dependendo
do sentido em que se realiza, ao longo das várias linhas sucessivas de cada
triângulo, porém, todos os triângulos juntos integram-se num triângulo maior
com base nos números potenciais; por sua vez este triângulo ainda se integra
num maior, com base nos números factoriais ou produtórios, cada triângulo
sempre infinito e integrado infinitamente numa triangularidade de natureza
infinita que apresenta várias regularidades ou padrões de repetição entre
números e estruturas algébricas e, por isso, faz a ponte entre as matemáticas
finitas ou discretas e a análise infinitesimal própria do cálculo matemático da
continuidade.
A função de Patrício, além de
uma variável n que se relaciona com
o grau dos polinómios respectivos, isto é, o valor do expoente dos números
potenciais, e um k que vai
permitindo os agrupamentos de subtracções sucessivas, tem também uma variável Z que se refere ao local onde, nos
números potenciais, se inicia o triângulo a partir do qual serão efectuadas as
operações de sucessivas subtracções matemáticas.
Generalização dos resultados
A actividade cognitiva, mental,
de abstracção e generalização torna-se agora facilitada já que se verifica uma
semelhança muito acentuada entre esta estrutura e a anterior relação
fundamental de Patrício; na realidade apenas se procede a mais uma sequência de
subtracções passando o vértice do triângulo respectivo do valor do factorial
para o valor zero e, como a sequência dos números correspondentes aos
coeficientes binomiais do binómio de Newton, isto é, a sequência de combinações
simples ao longo da linha do triângulo de Pascal, passa para a linha seguinte
do referido triângulo, pois também a generalização da fórmula terá de assumir,
no expoente da parte correspondente aos grupos de arranjos com repetição, um
valor inferior, isto é, de menos uma unidade; surge assim uma fórmula e função
generalizada, de Patrício, a assumir novos valores com nova estrutura algébrica
designada:
Análise e interpretação preliminar dos resultados
Aquilo que se verifica com o
valor n – 1 é a passagem da sequência
dos valores correspondentes às combinações simples do triângulo aritmético, ou
de Pascal, ao longo da linha n para a sequência desses valores ao
longo da linha seguinte, ou seja a linha n + 1, mantendo-se sempre a estrutura
da função de Patrício. Portanto, mantém-se a estrutura geral do triângulo de
Pascal, mantém-se a estrutura geral da função de Patrício, apenas se alteram os
valores da sequência de combinações simples, já que esta sequência passa para a
linha seguinte do referido triângulo aritmético.
Se agora for realizada mais uma
sequência de sucessivas subtracções dos vértices destes triângulos cujo valor é
igual a zero; isto é zero menos zero, pois a estrutura da função de Patrício
mantém-se porém com algumas alterações que consistem em novamente os números
iniciais de cada termo do respectivo polinómio, ou seja os respectivos
coeficientes de cada termo do polinómio, passarem agora a corresponder à
sequência das combinações simples ao longo da linha que se segue no triângulo
aritmético, ou de Pascal.
Portanto, parece que conforme
se vão subtraindo valores dos vértices de pequenos triângulos constituintes do
grande, e infinito, triângulo de Patrício, formado pelos números potenciais
dispostos sequencialmente, em linha, pelos valores das suas bases, assim vão
surgindo alterações na função de Patrício correspondentes às linhas do
triângulo de Pascal; esta subtracção de valores, estas diferenças sucessivas,
estas variações de uma em relação à outra, ou seja, o modo como uma varia com a
variação da outra, constituem, como que, uma espécie de derivação versus primitivação da função de
Patrício.
Derivadas e primitivas da função de Patrício
Considerando as permutações
como um caso particular dos arranjos, ambos dependentes da ordem e as combinações
como interacções onde a ordem não intervém, conclui-se, pela interpretação da
função de Patrício que, filosoficamente, esta trata de uma interacção entre
relações ordenadas e relações não ordenadas. Na realidade, nesta função, o
componente potencial, ou exponencial, diz respeito aos arranjos com repetição e
o componente constituído pelos coeficientes do binómio de Newton diz respeito
às combinações simples traduzidas no triângulo aritmético, ou de Pascal; assim,
a sucessiva variação da sequência de combinações simples, da linha do triângulo
de Pascal, que passa para a sequência da linha seguinte, conforme se varia o
expoente da função de Patrício parece corresponder como que a um modo de
derivação ou, por função inversa, primitivação da função de Patrício.
Por conseguinte, se por este
modo de variação, ou derivação sucessiva se retira sucessivamente valor ao
expoente potencial da função de Patrício ficando n – 1
, n – 2 , n – 3
, …, n – p , pois por este modo de primitivação
sucessiva, também irão ser sucessivamente acrescentados valores ficando n + 1 , n + 2
, n + 3 , …, n + p.
Portanto, o modo como estas partes, ou componentes parciais, da fórmula ou
função, variam em relação, ou com a variação das restantes, constitui a
derivação versus primitivação da função
de Patrício.
As variáveis da função em relação com a derivação e a primitivação
Em termos da análise combinatória
as variáveis têm significado diferente conforme o lugar que ocupam na expressão
algébrica; as variáveis n e k referentes aos coeficientes binomiais têm um
significado sobejamente conhecido, tanto em relação com as combinações simples
como integradas no triângulo aritmético; por outro lado, se integradas na
expressão potencial já se referem aos arranjos com repetição, podendo variar o
tamanho do conjunto considerado, ou então, o número de elementos escolhidos
para efectuar os arranjos; a variável Z faz variar o tamanho do conjunto
considerado para os arranjos mas não tem repercussão no resultado final já que
funciona como um modo de designar filamentos que definem onde começam, e
terminam, os conjuntos de elementos considerados para os arranjos. Portanto, se
numa interpretação filosófica as derivadas e primitivas, da função de Patrício,
se referem ao modo como a ordem e a não-ordem se inter-relacionam na variação recíproca,
pois enquanto consideradas como variáveis matemáticas, que são três: n, k e Z;
já permitem encontrar derivadas e primitivas com outros significados.
Discussão preliminar dos resultados
Habitualmente pensa-se que a
análise combinatória apenas diz respeito às matemáticas discretas, ou finitas,
e a análise matemática se refere à continuidade das funções; acontece que a
questão do finito e infinito, continuidade e descontinuidade tem de ser
considerada do ponto de vista relativo, pois como se constata a função de
Patrício admite zeros e continuidade infinita; portanto, como já foi antes
afirmado, ela faz a ponte entre as matemáticas finitas ou discretas e as
matemáticas infinitas da continuidade.
A triangularidade de Patrício
Conceber vários triângulos,
sempre em conexão com os anteriores faz, numa abordagem superficial do
pensamento e reflexão humana, pensar em fractais triangulares. Na realidade estas
formas triangulares de fractais já foram pensadas antes, porém apenas incluídas
na relação com o triângulo aritmético, ou de Pascal. A triangularidade de
Patrício é mais abrangente, por um lado, ainda que assumindo a forma de
fractais, pois, coloca o triângulo infinito de Patrício fora do de Pascal
enquanto que os fractais triangulares já concebidos pelo pensamento humano até
ao presente, têm colocado os fractais triangulares dentro do triângulo de
Pascal; ora na realidade, é o triângulo de Pascal que se insere, que se
encaixa, como um fractal, no mais vasto triângulo de Patrício e nunca o
inverso, porém, a triangularidade de Patrício vai ainda mais longe ao assumir
vários triângulos de Patrício, assim como os triângulos geométricos e os
triângulos factoriais ou produtoriais numa, cada vez, mais vasta
triangularidade.
Conclusão
É de considerar que a função de
Patrício, e os raciocínios que lhe deram origem, vêm oferecer novas
interpretações para a teoria dos números. A actual visão relativa à análise de
funções, como as funções exponenciais e logarítmicas, no conjunto dos números
reais terá de ser ligeiramente alterada, mantendo-se no entanto a coerência da
sua estrutura interna; no entanto, para o caso dos números complexos, a sua estrutura
terá de ser substancialmente alterada; na realidade a manutenção da sua actual
estrutura consistirá apenas numa pura “birra” conceptual, dos matemáticos da
actualidade, já que a sua alteração no sentido de abranger um conjunto numérico
muito mais vasto, assim como maior facilidade no cálculo e realização de operações
matemáticas, será facilitada a partir de alterações provenientes da compreensão
da função de Patrício. A utilidade prática que o actual uso dos números
complexos têm, na física, engenharias e outras áreas do saber e da actividade
humana, será mantida porém a proposta de alterações a este corpo numérico irá
criar uma maior abrangência teórica capaz de explicar facilmente fenómenos como
as raízes quadradas de números negativos, mas também outros cálculos ainda nem
sequer ponderados pelas actuais matemáticas da complexidade.
Doutor Patrício Leite, 16 de Setembro de 2018
