COMPLEXIDADE NUMÉRICA

COMPLEXIDADE NUMÉRICA, GRAFOS E FUNÇÃO DE PATRÍCIO
Algures, neste universo conceptual que habitamos, existem paradoxais padrões de repetição capazes de fundamentar filosoficamente a ordem primeira. No âmbito matemático ainda tal não conseguimos. A evolução do conceito de número tem sucessivamente ampliado os conhecimentos e raciocínio humanos mas a complexidade numérica obriga ao desenvolvimento continuado de novas teorias, e novos conhecimentos, no sentido de nos aproximarmos, cada vez mais, da matematização dessa ordem primeira. A função de Patrício tem, só por si, implicações imediatas na resolução de problemas práticos encontrados na ordem do dia porém, torna-se necessário a sua compreensão completa, desde a tradicional demonstração matemática, ainda que apenas esboçada, até ao desenvolvimento de novas fórmulas, transformados e funções resultantes da sua decomposição, assim como a evolução do respectivo pensamento histórico e as implicações que esta função acarreta para a matemática discreta actual mas também para o desenvolvimento integrado de uma matemática do futuro que explique os grafos de Patrício, em relação com os sólidos geométricos, a aritmética e outras áreas da matemática numa tentativa sustentada em conseguir uma teoria dos números capaz de fundamentar a ordem primeira.
Foi assim que reflectindo, por vezes avançando mais rápido, outras vagarosamente; outras com lapsos já corrigidos, outras com lapsos ainda por corrigir; surgiu este produto de uma reflexão demorada e sistemática que, aqui e agora, torno público.             

TEORIA PATRICISTA DOS NÚMEROS (COMPLEXOS)
Pensar na simplicidade e complexidade, continuidade e descontinuidade, antecedentes e consequentes, finitude e infinitude, constância e variabilidade, nada e tudo; constitui entre vários outros elementos da entidade existencial organizacional dualística, alguns dos fundamentos da reflexão filosófica matemática numérica. Começando pelos antecedentes e consequentes, pode-se afirmar, com lógica de razão, que na continuidade tudo é derivado de antecedentes ou primitivas e, como corolário, para tudo existem consequências derivadas, desde o infinitamente primitivo até ao infinitamente derivado e desde o infinitamente grande até ao infinitamente pequeno numa análise infinitesimal da continuidade em constante variabilidade da simplicidade e complexidade. Se iniciarmos a partir do nada, ou seja, de coisa nenhuma, portanto da ausência de, ... esse nada ou coisa nenhuma pode ser representado por zero(0); portanto zero(0) é nada, é coisa nenhuma, mas o zero tem antecedentes, tem primitiva, e informam as regras organizacionais da primitivação que a primitiva de zero(0) é: 0x + b, sendo b uma constante, portanto; a derivada de uma constante é zero, a primitiva de zero é uma constante, assim, antes de nada, antes do momento zero(0), tudo era constante porém, se agora começar-mos a atribuir diferentes valores individuais a essa constante ela passará a representar conjuntos, em conformidade com o tipo de valores atribuídos; é assim que, para as contagens, surge o conjunto dos números naturais e logo de seguida, se agrupados com os respectivos simétricos negativos surgem os inteiros que por um mecanismo de inversão, ou mecanismos de simetria inversa, originam os racionais com as dizimas infinitas periódicas, mas as dizimas infinitas não periódicas e os mecanismos de potenciação e radiciação, com as respectivas simetrias, originam o conjunto ou corpo dos números reais. É a partir de nada ou zero(0) que por primitivação se origina uma constante que representa os vários conjuntos de números desde que sobre ela se façam incidir operações matemáticas, com alguma forma de simetria capaz de originar os outros grupos, ou corpos, de números. Se agora, sobre essa constante, realizarmos novamente um mecanismo de primitivação surge uma forma numérica tipo: ax + b que corresponde exactamente à representação dos números complexos com a parte real e a parte imaginária mas corresponde também à representação analítica de uma recta ou função afim do tipo y = ax + b. Por semelhança com os números naturais, inteiros, racionais e reais que resultam de operações e simetrias matemáticas; também semelhantes operações e simetrias podem ocorrer com os números complexos, no entanto, quando se primitiva o conjunto ou corpo dos números reais, pois obtém-se o corpo ou conjunto dos números complexos. Se agora primitivarmos os números complexos, ou seja, se primitivarmos, ax + b, vamos obter ax2/2 + bx + c que é uma função quadrática polinomial em relação com as cónicas, mas também sabemos que o cone é o limite da pirâmide quando o número de arestas, da pirâmide, caminha ou se desloca para o infinito; portanto o cone surge como uma derivada da pirâmide quando o número de arestas da pirâmide caminha para infinito, logicamente acima dos números complexos teremos o conjunto dos números cónicos ou quadráticos com a forma ax2/2 + bx + c e se agora primitivarmos estes teremos o conjunto dos números que designo por piramidais em franca associação com os grafos piramidais de Patrício que são um dos grupos dos grafos angulares ou trigonométricos de Patrício; este conjunto numérico, que designo por números piramidais assume a forma geral ax3/6 + bx2/2 + cx + d. As teorias dos números têm-se desenvolvido e evoluído com conceitos que chegam a aceitar e envolver a teoria dos conjuntos; encarar agora os números como funções matemáticas com destaque para as funções primitivas e derivadas alarga o âmbito do pensamento humano; quando um pensador descobriu, desenvolveu e aplicou a noção de infinito ao domínio da matemática logo outro, que mais tarde o seguiu, divulgou o conceito de que há infinitos, infinitos; quando a partir das matemáticas discretas se desenvolve a noção de ordem, logo a função de Patrício, com os respectivos filamentos de Patrício, permite que em matemática se conceba a noção de que existem infinitos níveis de ordem, ou seja, infinitas ordens; porém, a ordem primeira, a ordem desencadeada pelos números primos, ainda não está bem compreendida; actualmente pode-se lá chegar por exclusão, mas não por inclusão. A função de Patrício, enquanto explicação de infinitas ordens, também pode ser primitivada e derivada; as primitivas e derivadas da função de Patrício vão, certamente, contribuir para o alcance da ordem primeira.

APLICAÇÃO DA FUNÇÃO DE PATRÍCIO A DIVISORES DE NÚMEROS
Por mero diletantismo filosófico, o pensamento reflectido conclui que alcançar a ordem primeira consiste em encontrar e exprimir uma ordem coerente e unificadora nos números primos. Sabe-se, a partir da anatomia destes números e da funcionalidade dos números inteiros, em geral, que com excepção de 2 e 5, todos os restantes números primos terminam nos algarismos 1, 3, 7 e 9. As simetrias geométricas numéricas podem assumir a paridade, com a implicação evidente da divisão por dois, como capaz de afastar a primalidade; já uma simetria numérica geométrica assente na imparidade, como por exemplo, a imparidade do número três, não consegue afastar a primalidade de todos os números ímpares, apesar de permitir encontrar uma distribuição da densidade numérica com uma elevada quantidade de divisores. Na realidade cada número primo é uma singularidade, um elemento único de simetria geométrica impar e, com excepção da unidade, que aqui se não considera relevante, o número três é o menor divisor impar. Desde os primeiros tempos de aprendizagem da matemática que se conhece a regra da divisibilidade pelo número três. Qualquer número, cuja soma dos seus algarismos seja divisível por 3 também será, ele próprio, divisível por 3. Assim, o número: 123456789 é constituído por 9 algarismos que somados dão: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 e como se verifica 45 / 3 = 15 pelo que o número 123456789 não é primo mas se com estes algarismos escritos por outra ordem, criarmos outro número, tipo: 987654321 também a soma resultante é 45 pelo que este também não é primo. Por conseguinte, com os 10 algarismos do sistema decimal, ou seja o sistema numérico de base 10, arranjados ordenadamente de diferentes modos, chega-se à conclusão, pela aplicação de permutações, ou factoriais, que existem 3628800 números diferentes e nenhum é primo, ou seja, factorial de 10, portanto: 10! = 3628800. Sabemos que os múltiplos de um número, como os resultantes das permutações, nunca são primos, e por corolário; os números primos, com as já referidas excepções, nunca resultam de operações como divisão ou multiplicação, e se uma permutação de 10 é fácil de calcular porém, quando consideramos o maior número que existe com os tais 10 algarismos, todos diferentes e sem se repetirem, pois a permutação torna-se irrealizável. Vejamos então, num computador, qual será o resultado da permutação: 9876543210! =? (incapacidade). É aqui que entra a função de Patrício que, ao transformar uma permutação em somatório de polinómios vai permitir permutar, ou calcular factoriais de grandes números e quando lida com todos os algarismos do sistema numérico de base decimal em associação com o número 3, como o menor divisor, vai encontrar uma distribuição da densidade numérica capaz de excluir a primalidade de números inteiros.
             
DEMONSTRAÇÃO DA FUNÇÃO DE PATRÍCIO
A demonstração da Função de Patrício pode ser efectuada assumindo Z um qualquer valor numérico; de facto a igualdade numérica verifica-se para n = 1 mas também para n = n + 1, pelo que fica provada a sua demonstração para qualquer valor de n; por outro lado a propriedade associativa permite associar, ou não, o valor de Z tanto ao valor de n como ao de n + 1, pelo que a função de Patrício também fica demonstrada para qualquer valor de Z.   
 

CONVERTIDA DE PATRÍCIO
Considerando que, na função de Patrício, Z pode ser um qualquer número, então esse número também pode ser representado por uma potência qualquer, assim: Z = YX. Torna-se pois evidente que se, na função de Patrício, substituirmos Z por esse número Z = YX então surge a convertida de Patrício como uma função exponencial ou, se considerarmos os vários valores que n pode tomar, então teremos um conjunto de funções exponenciais que podem ser estudadas na análise de funções.
A convertida de Patrício é um exemplo de transformação dos filamentos de Patrício em funções exponenciais com as respectivas consequências entre as matemáticas discretas e a continuidade da análise infinitesimal. A introdução da potenciação, na função de Patrício, conduz imediatamente o pensamento para as raízes dos números, designadamente para as raízes quadradas de números negativos e, por consequência, para a problemática dos números complexos associados aos filamentos de Patrício. 

IGUALDADE FUNCIONAL DE PATRÍCIO
Partindo da função de Patrício, é possível constatar relações de intrigante curiosidade, designadamente quando se verificam alterações, como descrevo de seguida, para o termo correspondente à potência elevada a n e para o factorial ou permutação de n (n!); na verdade, essa intrigante curiosidade consiste em inverter a base e o expoente do respectivo termo ou potência mas também em transformar o factorial numa expressão exponencial de expoente Z para de seguida constatar que quando o valor de n = 3 (três), operando a descrita transformação e ficando (n+Z–k)n transformado em n(n+Z–k) assim como n! transformado em 2nnZ  portanto, a partir dessa inversão entre o expoente e a base e efectuando a transformação do factorial, ou permutação, para uma expressão exponencial de expoente Z resulta uma igualdade que designei por igualdade funcional de Patrício a qual tanto se verifica para as combinações simples como para as combinações completas ou com repetição.
A curiosidade consiste em compreender o porquê de esta igualdade apenas se verificar quando n for igual a três (n = 3) e se observar tanto para as combinações simples como para as completas. É claro que daqui, desde que n adopte outros valores, diferentes de 3, pois já se podem extrair várias funções exponenciais que estabelecem relações de igualdade com somatórios de combinações, simples e completas, em conjugação com fórmulas de arranjos com repetição; aspectos estes, muito úteis e interessantes para a teoria das probabilidades, das contagens e da análise combinatória mas também para estabelecer, através da análise infinitesimal, a ligação entre a matemática discreta e a matemática da continuidade. Generalizando para a filosofia matemática, a igualdade funcional de Patrício surge como um conjunto de funções que transforma, com as respectivas inversões, conjuntos caóticos associativos combinatórios em conjuntos de arranjos com ordem.

IGUALDADE COMBINACIONAL DE PATRÍCIO
Uma outra curiosidade que se pode extrair da função de Patrício consiste na igualdade que se obtém ou estabelece quando, na igualdade funcional de Patrício n toma o valor 1 (um); ou seja, se com n = 1 (um) excluirmos a expressão correspondente ao transformado de n! em 2nnZ  portanto, excluindo o termo  2nnZ  obtém-se uma igualdade que designei por igualdade combinacional de Patrício a qual torna iguais os valores correspondentes às combinações simples com os valores correspondentes às combinações completas, ou com repetição, desde que se mantenham inalterados os restantes parâmetros.
A análise e compreensão da igualdade combinacional de Patrício permite, desde logo, antever a sua utilidade prática em estatística, para a realização de novos cálculos de probabilidades, designadamente com distribuição binomial mas também, se recordarmos que as probabilidades se deslocam entre 0 (zero) e 1 (um), torna-se evidente que esta igualdade permite alargar o âmbito do cálculo probabilístico em geral; por outro lado e num âmbito ainda mais alargado, generalizando para as ciências da computação, a igualdade combinacional de Patrício permite, após uma cuidadosa reflexão, avançar para a álgebra booleana actualmente associada, na prática, aos circuitos e lógica digitais. Se generalizarmos a igualdade combinacional de Patrício para a filosofia matemática, constatamos que quando nos conjuntos caóticos se assume a unidade, pois a variabilidade da ordem não consegue alterar esses conjuntos caóticos associativos combinatórios.

EVOLUÇÃO CONCEPTUAL DESDE OS NÚMEROS DE STIRLING DE SEGUNDA ESPÉCIE ATÉ A FUNÇÃO DE PATRÍCIO, PASSANDO PELA INTEGRAL OU SOMA DE RIEMANN
Os factoriais, ou permutações, pelas dificuldades inerentes aos enormes valores que podem tomar, sempre impressionaram o pensamento matemático; James Stirling acabou por completar a demonstração de uma fórmula parcialmente descoberta por outro matemático e que, por isso recebeu o seu nome; a fórmula de Stirling, estabelece um valor aproximado para o cálculo de um factorial; no entanto, o pensamento deste matemático foi mais longe e, com a sua fórmula explícita para os respectivos números de Stirling de segunda espécie, o produto da sua reflexão avançou com implicações nas relações de recorrência, funções geratrizes e partições; outros pensadores se seguiram; mais tarde Riemann, com a sua soma ou integral, deixou transparecer um pensamento analogicamente próximo de Stirling, sobretudo no domínio e evolução das partições, mas procurando já a transição para uma matemática da continuidade; finalmente é com Patrício Leite que se completa a síntese dialéctica entre os factoriais, ou permutações, próprios de uma matemática discreta e a continuidade da análise infinitesimal permitindo, com a designada função de Patrício e as muitas e variadas outras funções que resultam da sua decomposição e compreensão conceptual, também o cálculo de derivadas e primitivas ou integrais.

PARTIÇÕES E FUNÇÃO DE PATRÍCIO
Compreende-se que o conceito de partição, em matemática, possa dizer respeito a números inteiros, na teoria dos números, mas também a conjuntos ou intervalos com implicações em análise e álgebra combinatória.
Em qualquer das situações a função de Patrício com a sua variável Z, que tanto pode significar um número como um intervalo, sempre em relação com os filamentos de Patrício, vai permitir uma melhor compreensão da interacção entre a análise combinatória e as partições matemáticas. As muitas e variadas funções, fórmulas e igualdades matemáticas, que se extraem da função de Patrício permitem também a sua aplicação a outras áreas da matemática com evolução para uma nova teoria dos números; contudo torna-se imediatamente evidente que o conceito de número de Bell, da análise combinatória, fica automaticamente ultrapassado já que, até em conjuntos finitos, com a função de Patrício, o número de partições não depende apenas da cardinalidade do conjunto mas também da respectiva ordinalidade; ou seja, com o valor de Z a influenciar a ordem, pois também essa ordem influencia a cardinalidade do conjunto finito.      

A COMPLEXIDADE NUMÉRICA E A FUNÇÃO DE PATRÍCIO
A partir da atitude que encara todo e qualquer número como uma função matemática com as respectivas primitivas e integrais e os respectivos limites de funções e derivadas; que encara os conjuntos de números ou os respectivos corpos numéricos como resultantes de primitivas ou derivadas de funções matemáticas; que encara a análise matemática e a respectiva análise infinitesimal como fundamento da teoria dos números, surge a função de Patrício como um interessante fundamento teórico do conceito de número.
Retrospectivamente, quando na função de Patrício se afirma que o valor de z é um número maior do que zero, pois está-se a pensar nas contagens da matemática finita ou discreta e, nessas, sabe-se que se trabalha com números naturais; no entanto é, de todo, compreensível e entendível que o valor de z, na função de Patrício, pode ser qualquer número incluindo os imaginários, do corpo dos complexos ou de qualquer outro conjunto numérico que, com o avanço do conhecimento matemático, se venha a desenvolver. Claramente o valor de z, na função de Patrício, faz a ligação entre as matemáticas finitas ou discretas e a continuidade das matemáticas infinitas da análise infinitesimal, por isso, z pode assumir qualquer valor de qualquer conjunto ou corpo numérico actual mas também que se venha a desenvolver no futuro; aliás, é a função de Patrício, com o seu estudo e compreensão, que fundamenta o desenvolvimento de novos conjuntos ou corpos numéricos.
ESTUDO DA FUNÇÃO DE PATRÍCIO
No estudo da função de Patrício é importante aceitar que ela é constituída por um conjunto de funções e, por isso, pode ser decomposta. É a partir da decomposição da função de Patrício que surgem conjuntos de funções cujo estudo individual conduz a interessantes resultados, entre vários outros, no campo da análise combinatória, do triângulo de Pascal mas também da teoria dos números em relação com a análise matemática infinitesimal.
Se na função de Patrício transformarmos n! num somatório de incógnita designada por Y com um índice atribuído a cada valor de k resulta que n! surge em função do somatório de Yk .
Por exemplo: para k = 1 fica Y1 ; para K = 2 fica Y2 ; para K = 3 fica Y3 e assim sucessivamente.
Se considerarmos que Z representa um número complexo então na terminologia matemática actual este não será designado pela letra X mas sim Z, no entanto o resultado é uma função matemática cujo Y surge em função de Z.
Exemplificando, vamos considerar a linha quatro do triângulo de Pascal; portanto n = 4.
Para K = 0 vem:
Y0 = 1(-1)0(4 + Z – 0)4 = (4 + Z)4 = Z4 + 16 Z3 + 96 Z2 + 256 Z + 256

Para K = 1 vem:
Y1 = 4(-1)1(4 + Z – 1)4 = (- 4)(3 + Z)4 = (- 4)(Z4 + 12 Z3 + 54 Z2 + 108 Z + 81) =
= - 4 Z4 - 48 Z3 - 216 Z2 - 432 Z - 324

Para K = 2 vem:
Y2 = 6(-1)2(4 + Z – 2)4 = 6(2 + Z)4 = 6(Z4 + 8 Z3 + 24 Z2 + 32 Z + 16) =
= 6Z4 + 48 Z3 + 144 Z2 + 192 Z + 96

Para K = 3 vem:
Y3 = 4(-1)3(4 + Z – 3)4 = (- 4) (1 + Z)4 = ( - 4)( Z4 + 4 Z3 + 6 Z2 + 4 Z + 1) =
= - 4 Z4 - 16 Z3 - 24 Z2 - 16 Z - 4

Para K = 4 vem:
Y4 = 1(-1)4(4 + Z – 4)4 = Z4

A decomposição da função de Patrício conduz à conclusão imediata de que o triângulo de Pascal mas também as combinações simples e, por extensão de raciocínio lógico, as combinações com repetição assim como os arranjos, com e sem repetição, surgem como funções polinomiais de graus variáveis, estudadas isoladamente ou agrupadas em conjuntos, numa clara ligação entre a matemática finita ou discreta e a continuidade da análise matemática infinitesimal com primitivas e integrais, limites e derivadas, domínio e contradomínio, funções crescentes e decrescentes, etc. Uma das possíveis contribuições para o avanço e desenvolvimento da teoria dos números será agora exposta do modo seguinte.

POLINÓMIOS DE PATRÍCIO, NÚMEROS COMPLEXOS E NOVOS CONJUNTOS OU CORPOS NUMÉRICOS
Pela decomposição da função de Patrício vão surgir variados polinómios, aqui designados polinómios de Patrício, que servem para relacionar a primitivação, a derivação, assim como a função de Patrício, numa coerente fundamentação teórica capaz de explicar uma nova teoria dos números. Assim:
Vamos considerar que na função de Patrício, n = 0, então k = 0, pelo que fica:
Y0 = 1(-1)0(0 + Z – 0)0 = 1 ou seja = 0Z + 1
Se considerarmos que 1 é uma constante, pois então, ela representa os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e inclusivamente o corpo dos números reais como estrutura algébrica. Se agora encontramos a primitiva da constante 1 surge um número de fórmula geral y = az + b, com z como variável, a como declive e b como constante que se trata de um número complexo, ou representante de todos os números complexos, mas que é também, para o corpo dos números reais, uma recta ou função afim. Claro que na função de Patrício se terá, agora, de considerar n = 1 e portanto k pode adoptar os valores de 0 e de 1 assim:
Para K = 0 vem:
Y0 = 1(-1)0(1 + Z – 0)1 = (1 + Z)1 = Z +1
Para K = 1 vem:
Y1 = 1(-1)1(1 + Z – 1)1 = (- 1)(0 + Z)1 = - Z - 0
Comprova-se pois, que a primitivação dos números reais origina o conjunto ou corpo dos números complexos nas suas variadas formas de expressão.
Se agora efectuarmos a primitivação dos números complexos vai surgir um outro conjunto ou corpo numérico em associação com uma função quadrática polinomial e possível relação com as cónicas, o que na função de Patrício surge com n = 2 e K = 0 ou K = 1 ou K = 2 assim:
Para K = 0 vem:
Y0 = 1(-1)0(2 + Z – 0)2 = (2 + Z)2 = Z2 +4Z + 4
Para K = 1 vem:
Y1 = 2(-1)1(2 + Z – 1)2 = (-2) (1 + Z)2 = (-2)(Z2 + 2Z + 1) = - 2Z2 - 4Z - 2
Para K = 2 vem:
Y2 = 1(-1)2(2 + Z – 2)2 = Z2
Este conjunto, ou corpo, de números quadráticos ou cónicos é o resultado da primitivação dos números complexos sendo, por conseguinte, os números complexos obtidos a partir da derivação dos números quadráticos ou cónicos.
 Se continuarmos com o raciocínio próprio da análise matemática, designadamente com a primitivação como método de obter novos conjuntos, ou corpos numéricos, pois então primitivando vai surgir um novo conjunto, ou corpo, que designei por corpo ou conjunto dos números piramidais e fiz esta designação, de números piramidais, meramente porque considerei que, em termos geométricos, a derivada da pirâmide quando o seu número de arestas se desloca para o infinito, é precisamente o cone, pelo que utilizando a função de Patrício, com n = 3 fica:
Para K = 0 vem:
Y0 = 1(-1)0(3 + Z – 0)3 = (3 + Z)3 = Z3 + 9Z2 + 27Z +27
Para K = 1 vem:
Y1 = 3(-1)1(3 + Z – 1)3 = (-3) (2 + Z)3 = (-3)( Z3 + 6Z2 + 12Z + 8) = - 3Z3 - 18Z2 - 36Z - 24 
Para K = 2 vem:
Y2 = 3(-1)2(3 + Z – 2)3 = 3Z3 + 9Z2 + 9Z + 3
Para K = 3 vem:
Y3 = 1(-1)3(3 + Z – 3)3 = - Z3
O uso da análise matemática infinitesimal através de funções, incluindo as funções primitivas e derivadas, constitui uma ferramenta capaz de fundamentar novos conjuntos, ou novos corpos numéricos até ao infinito; é certo que ao longo da história do pensamento matemático o aparecimento de novos corpos numéricos tem surgido sobretudo de forma empírica e como resultado da necessidade de resolver problemas concretos mas, também é certo que uma coerente fundamentação teórica permite avanços consistentes e permanentes no desenvolvimento e consolidação da teoria dos números.  

PRIMITIVAS E DERIVADAS DA FUNÇÃO DE PATRÍCIO E SUA RELAÇÃO COM AS CONTAGENS DAS MATEMÁTICAS DISCRETAS
A análise de funções e o cálculo infinitesimal, com as primitivas e derivadas, apenas são possíveis quando a função é contínua no seu respectivo domínio. As matemáticas discretas das contagens, porque são discretas ou descontínuas, não permitem a utilização de todas as técnicas próprias da análise de funções. As permutações, combinações e arranjos, presentes na análise combinatória das matemáticas discretas, vedam ou impedem a típica e tradicional análise de funções com o cálculo diferencial e integral no entanto, quando na função de Patrício se assume que a variável Z possa assumir qualquer valor de qualquer corpo ou conjunto numérico, está-se implicitamente a aceitar a utilização das técnicas próprias da análise de funções que se adicionam às técnicas da análise combinatória fazendo a ponte entre estas duas áreas da matemática.     
OS NÚMEROS PIRAMIDAIS E OS GRAFOS DE PATRÍCIO
Sendo sabido que a fórmula da pirâmide assume a tridimensionalidade volumétrica de proporcionalidade entre a sua área da base e a respectiva altura, também se compreende que o número de vértices e arestas exerce uma influência directa nessa fórmula tridimensional. Sabe-se que o volume, incluindo o de qualquer sólido geométrico, assume a tridimensionalidade inerente aos números piramidais, no entanto, preferi o uso da pirâmide porque esta facilita os cálculos, e o estabelecimento de relações matemáticas, no trabalho com os grafos de Patrício. Tanto no plano da primitivação sucessiva, a partir de 0 (zero), para alcançar os números piramidais como através do uso da função de Patrício, com n = 3 (três) e o respectivo grau dos polinómios resultantes; os resultados são idênticos para efeitos da mera obtenção dos números, ou conjunto numérico, que designei por piramidais; no entanto, o único aspecto comum a ressalvar é a sua tridimensionalidade geométrica capaz de fundamentar um conjunto, ou até, um corpo numérico. O estabelecimento de relações matemáticas entre áreas como a geometria, a trigonometria, a álgebra e a análise funcional infinitesimal permite abordar os grafos de Patrício e a respectiva angularidade, não apenas nos corpos numéricos conhecidos mas também num mais vasto corpo, ou conjunto, numérico designado por números piramidais.

PRIMITIVAS E DERIVADAS EM GRAFOS DE PATRÍCIO
A partir do momento em que os grafos angulares de Patrício são definidos por funções trigonométricas, polinomiais ou outras, pois também se torna possível proceder ao uso do cálculo infinitesimal no sentido de primitivar e derivar como forma de apoiar a resolução de problemas. Na realidade toda esta reflexão tem, não apenas, desenvolvido novos conceitos com a descoberta de novas relações matemáticas, mas também efectuado a interligação entre diferentes áreas da matemática no sentido de ampliar os conhecimentos capazes de, também, fornecer uma explicação filosófica da ordem existencial.

RELAÇÃO DE EULER E RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA DIVISÃO
A reflexão filosófica matemática conduz o pensamento, desde os mais simples padrões, com relações numéricas e geométricas observadas na natureza, física e humana, até a complexidade alcançada em fórmulas das contagens e funções da análise matemática, cujo significado profundo, se torna difícil de compreender, inclusivamente para os mais doutos entendidos nestas matérias.
Um conceito axiomático elementar da fundamentação teórica matemática é a noção de simetria. Na realidade a simetria matemática tem sido basicamente classificada em dois grupos distintos: a simetria axial ou bilateral e a central ou circular. A profundidade da reflexão matemática filosófica vai agora avançar na abordagem lógica, racional dedutiva e analógica, destes conceitos. A simetria axial bilateral é entendida na sua relação espelhada num eixo de reflexão com movimento translacional; já a simetria central circular exprime a relação com um elemento central num movimento rotacional. A simetria axial bilateral tem origem numa linha recta ou função afim e a simetria central circular tem origem num ponto ou centro de simetria. Pontos e linhas; uma linha é um ponto em movimento; linhas rectas e ângulos, movimentos lineares de translação e movimentos angulares de rotação, rectas e curvas, pontos e funções afins; são aspectos básicos de uma simetria geométrica desenvolvida ao longo da história da matemática, desde os primórdios da geometria, com Tales de Mileto e Euclides de Alexandria até a actualidade. Há porém uma outra conceptualização de simetria relacionada com a teoria dos números e a aritmética; desde logo, a primeira simetria distingue os números em pares e ímpares; portanto, aplicando a relação fundamental da divisão: dividendo (D) = divisor (d) x quociente (q) + resto (r), com o menor número natural como divisor, diferente da unidade, resultam números pares quando o resto é zero (0) e impares quando o resto é um (1). Numericamente falando; para qualquer número, distinguem-se as simetrias, em simetria par e simetria impar, conforme o resultado do resto (0 ou 1) na aplicação da relação fundamental da divisão cujo divisor é o número dois (2). Por semelhança com as simetrias geométricas, em que pode coexistir simetria axial bilateral e central circular, também as simetrias numéricas ímpares podem ter alguma coexistência analógica funcional com as pares, desde que o divisor, sendo obrigatoriamente um número impar, por exemplo o número 3, tenha como resto, na relação fundamental da divisão, o número zero (0). Na realidade, a simetria geométrica axial bilateral é apenas um caso particular da simetria geométrica central circular, também por semelhança, a simetria numérica par é apenas um caso particular da simetria numérica impar. Por analogia comparativa, conclui-se que a simetria geométrica axial bilateral se correlaciona com a simetria numérica par e a simetria geométrica central circular se correlaciona com a simetria numérica ímpar. Os números primos, ou primeiros, são casos únicos e singulares de simetria numérica ímpar e simetria geométrica central circular, sendo a partir deles que todas as outras simetrias se originam. Os problemas relacionados com as simetrias, e com os números primos, têm a sua máxima expressividade nos números inteiros; porém conforme nos deslocamos para outros corpos numéricos, como por exemplo o corpo dos números complexos, assim se desloca a abordagem e visão das simetrias. Um número complexo, quando transposto para o corpo dos números reais, assume a forma de uma função afim; a representação gráfica de uma função afim é uma linha recta que, por sua vez, funciona como um eixo de simetria bilateral relacionada com os números pares mas, cujo declive, a tangente, permite, desde logo, descrever um ângulo relacionado com a circularidade angular das simetrias centrais próprias dos números ímpares. Assim, em termos de simetrias geométricas, a observação topográfica da função afim, representante gráfica dos números complexos, permite a visualização de topo, ocupando o topo da respectiva recta representante o ponto central ou centro de simetria central circular, já a visualização lateral permite observar um eixo de simetria bilateral. A análise matemática, com o cálculo diferencial e integral, veio fundir e correlacionar as simetrias geométricas axiais bilaterais com as centrais circulares assim como as simetrias numéricas pares e ímpares, juntando a geometria com a aritmética, tornando necessária uma nova teoria dos números que Patrício Leite desenvolve a partir da primitivação e derivação de funções.
A relação de Euler para os poliedros convexos, ao verificar: faces (F) + vértices (V) – arestas (A) = 2, já estabelece um elo de ligação entre a aritmética e a geometria dos poliedros, no entanto, é possível ir mais longe, avançar mais um pouco, assim, fazendo um sistema de equações entre a relação de Euler e a relação fundamental da divisão, é possível avançar no conhecimento axiomático das simetrias matemáticas.
Agora, na equação da relação fundamental da divisão: dividendo (D) = divisor (d) x quociente (q) + resto (r) coloca-se o número dois (2) como divisor e o resto como zero (0) ou um (1) conforme se trabalhe com uma simetria par ou impar, ou seja, uma simetria axial bilateral ou uma simetria pontual central circular; por outro lado, na equação da relação de Euler, se trabalharmos com pirâmides, pode-se substituir o numero de faces pelo de vértices, já que estas são iguais; finalmente igualando as duas equações do sistema resulta uma expressão em que os vértices e arestas surgem em função do dividendo e do quociente o que terá implicações na teoria dos grafos mas também avançará, embora muito pouco, no estudo e compreensão dos números primos, ou primeiros, cuja simetria numérica única e geométrica central circular, ou rotacional, faz de cada um destes números uma irrepetível singularidade.
Considerando portanto o sistema de equações: faces (F) + vértices (V) – arestas (A) = 2; dividendo (D) = divisor (d) x quociente (q) + resto (r), ou seja; F + V – A = 2; D = d x q + r, salienta-se que este sistema pode ser aplicado a qualquer dos sólidos geométricos poliédricos convexos porém, aplicando aqui apenas às pirâmides e com o divisor = 2 surgem diferentes fórmulas conforme se considera o resto zero (simetria numérica par) ou conforme se considera resto um (simetria numérica impar).
Para resto = 0, vem o seguinte sistema:
2V – A = 2 com D = 2q, portanto resolvendo fica Aq = D(V – 1)
Para resto = 1, vem o seguinte sistema:
2V – A = 2 com D = 2q + 1, portanto resolvendo, de dois modos distintos, resultam duas fórmulas distintas: Aq = (D-1)(V – 1) e outra, A = 2(V – D + 2q).
Já antes, com a fórmula de Patrício, se tinham relacionado as linhas do triângulo de Pascal com as arestas de grafos baseados em pirâmides, agora é também possível aplicar à relação fundamental da divisão surgindo as arestas e vértices em função do dividendo e quociente.
Assim, para uma simetria geométrica central circular, ou rotacional, e uma simetria numérica ímpar, a relação de fórmulas toma o seguinte aspecto:
A igualização de simetrias geométricas e numéricas revela evidência imediata na teoria dos grafos pela quantificação e realização de cálculos com alguns grafos; no respeitante aos números primos o avanço será muito pequeno, no entanto é de notar que o relevo matemático atribuído aos números primos predomina sobretudo para o conjunto dos naturais e inteiros; os números complexos fazem surgir outro tipo de problemas, por outro lado deve-se considerar que a estrutura posicional representativa de um número complexo é analogicamente semelhante a uma função afim. A semelhança analógica entre a estrutura representante dos números complexos, a relação fundamental da divisão e a função afim fazem pensar nas relações de proporcionalidade associadas com as operações aritméticas de multiplicação e divisão, porém, sabe-se que através de multiplicação e divisão nunca se conseguirá prever ou encontrar um número primo já que estes surgem, na recta ordenada, por exclusão e não por inclusão; os números primos não permitem proporcionalidades com correspondência biunívoca e, em termos de lógica matemática, os números primos não respeitam a lógica bivalente pois estes surgem sempre através de processos lógicos de negação e a negação de um número primo origina sempre um número não primo mas, a negação de um número não primo já não origina sempre um número primo. Assim, para a compreensão dos números primos, a lógica bivalente terá de ser substituída por uma lógica dualista com apenas um valor lógico e um processo lógico em que a negação do valor lógico não origina outro valor lógico mas, a negação origina, somente, a negação.

PRIMITIVAS, INTEGRAIS, DERIVADAS E LIMITES DE FUNÇÕES EM SÓLIDOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS
A geometria das figuras e sólidos geométricos permite encarar a estruturação topológica do espaço, assim como as respectivas transformações geométricas, pela análise incremental ou infinitesimal capaz de alterar a forma da figura e sólido de tal modo que lhe é atribuído um novo nome e uma nova identidade. Para a análise infinitesimal de funções pode-se dizer que a primitiva ou integral de um ponto origina uma linha, a primitiva da linha origina uma área, a primitiva da área origina um volume e assim sucessivamente, tanto no sentido da primitivação, ou integração, como no sentido da derivação. Em termos da geometria diferencial, com a respectiva visualização topográfica, as transformações que ocorrem assumem um paralelismo significativo com a análise infinitesimal das funções do cálculo diferencial e integral; é assim que, por semelhança com os limites de funções, e respectivas derivadas, umas figuras ou sólidos geométricos vão sofrendo incrementos infinitesimais até se transformarem noutros sólidos ou figuras distintas. Por exemplo, assume-se que um cubo, cujo numero de faces, ou arestas, sofre incrementos até ao infinito, por analogia com o calculo diferencial da análise de funções, pois se transforma numa esfera; por conseguinte o limite ou derivada geométrica do cubo é a esfera e a primitiva ou integral da esfera é o cubo; já no caso das pirâmides e segundo este raciocínio analógico do cálculo infinitesimal, pois quando as arestas e as faces aumentam até ao infinito surge o cone, como um sólido geométrico que ocupa um espaço, porém na sua base surge o círculo como uma figura geométrica que ocupa uma área; também aqui, se a derivada da pirâmide é o cone, pois a primitiva ou integral do cone é a pirâmide.
Este raciocínio puramente analógico não permite decalcar plenamente a realidade da derivação, e primitivação, de funções efectuada através da análise infinitesimal para a realidade da derivação, e primitivação, de sólidos e figuras geométricas; sabe-se pela análise infinitesimal que as cónicas são curvas ou áreas cujas primitivas sucessivas, ou integrais, vão corresponder aos respectivos volumes e sólidos geométricos designados por cones, depois seriam as respectivas primitivas, ou integrais, desses cones que se poderiam vir a designar por pirâmides, no entanto aqui, por derivação puramente geométrica topográfica visual designo imediatamente tais integrais, e primitivas, por pirâmides, com a finalidade de esclarecer e relacionar com os grafos angulares piramidais de Patrício assim como a aplicabilidade das funções derivadas e primitivas no apoio fundamentado a uma nova teoria dos números.
Doutor Patrício Leite, 2 de Julho de 2018

Simbolismo em Salvemos a Terra

O filme curta-metragem “Salvemos a Terra” de Patrício Teixeira Leite, revela uma intensíssima carga simbólica indissociável da sua observação, crítica e reflectida, tanto do ponto de vista científico como da actual culturalidade humana.
Desde logo inicia com um planeta Terra cuja irregularidade, exagerada e contínua, nos movimentos de rotação, oscilação e relativamente ao eixo da terra, simboliza o perigoso desequilíbrio e o inerente alerta responsivo que a terra manifesta; o poder da regularidade terrestre, a que se habituou a humanidade, é aqui posto em causa; os movimentos de rotação e translação, reconhecidamente únicos pelas pessoas culturalmente vulgares são, aqui e agora, objecto de contestação já que, cientificamente são atribuídos, pelo menos, cinco movimentos próprios da terra, porém admitem-se outros, ainda por descrever; pensa-se que alguns destes movimentos, designadamente de oscilação, aqui propositadamente com uma exagerada irregularidade, poderão estar associados com as alterações climáticas que o planeta tem sofrido. Evidentemente que se salvaguarda a entrada na polémica da geopolítica mundial, onde os conceitos europeus de ambientalistas esquerdistas que tentam travar o desenvolvimento industrial dos países ricos, imputando-lhes alterações do clima mundial com base numa poluição propriamente humana, ao que, por reposta oposta, a alta burguesia industrial mundial, pretendendo continuar a controlar o poder sobre os homens e as pessoas do planeta, através do desenvolvimento continuado do volume e das rotas do comércio mundial, coloca as responsabilidade pelas alterações do clima em factores não totalmente descritos nem cientificamente conhecidos assim como numa história geológica sempre em mutação climatérica, mais ou menos cíclica, repetida e padronizada no planeta Terra, desde o seu aparecimento e ao longo da evolução.
O que realmente está em jogo no filme de curta-metragem “Salvemos a Terra” não são as polémicas políticas mundiais, mas o facto de todas as facções reconhecerem o aquecimento global e as alterações ambientais que, na opinião de Patrício Leite, já ultrapassaram o ponto de não retorno; esta irreversibilidade condiciona o desaparecimento progressivo da praia, onde a filmagem se realizou, previsto totalmente para dentro de algumas dezenas de anos.
A hermenêutica simbólica interpretativa, provida dos arquétipos próprios de um inconsciente colectivo onírico, avança com o simbolismo psicanalógico inerente ao trompete como um instrumento, dualisticamente conflitante na sua dialéctica simultaneamente musical e marcial, feminina e masculina; a masculinidade sexual do trompete surge como um símbolo fálico erecto, cuja execução musical exige força e vigor da caixa torácica, própria de um homem capaz de manifestamente emitir e exibir a beleza belicamente triunfante de uma musicalidade masculina marcial. Já a harmonia musical, a marcha triunfal de Verdi, surge aqui, associada ao triunfo do poder humano sobre a bestialidade das desconcertantes forças naturais; trata-se de um homem másculo que simultaneamente vence as agruras da natureza Terra mas também da natureza animalesca da vida, numa marcha triunfal que fertiliza a terra sobre o evolucionismo animalesco transitando da sexualidade animal para a sábia cultura da humanidade.
As brincadeiras gímnicas repetidas, na praia, simbolizam a infantilidade e aprendizagem, por tentativa e erro, do desenvolvimento ontológico e filogenético do ser humano ao longo da sua vida única, tanto no plano pessoal individual como numa perspectiva mais alargada da humanidade sobre a Terra, mas a repetição do exercício, com elevação dos braços, também manifesta o louvor de uma sexualidade infantil nascente e capaz de fertilizar a “terra”, aqui areia, enrolada num mar que se pretende afastar da animosidade competitiva.
A musicalidade e o ruído de fundo são essencialmente simbólicos; o filme inicia com umas ondas do mar revoltas, exprimindo assim a agressividade essencial da natureza sobre a humanidade cultural mas também a revolta animista da terra mãe sobre um homem marcial, poluidor e devastador, portanto alegadamente, com medidas que apesar de não quantificáveis, nem sequer tidas como certezas, se revelam agentes da modificação do clima mundial; a modulação sonora, presente ao longo de todo o filme induz, sobretudo quando o homem simbolicamente segura a terra, um silêncio de paz e harmonia significativas, um silêncio semelhante aquele que se observa quando os astronautas habitam o espaço extra terrestre; é que no espaço celestial predomina a paz do silêncio, na realidade os sons e ruídos são meramente ocasionais e típicos do ambiente citadino humano pois, diminuem na ruralidade e tornam-se ausentes no espaço interestelar.
O som das gaivotas, quando existe, revela outras formas de vida a colonizar e habitar o planeta Terra, não apenas e meramente o homem, mas a diferença e tonalidade dos ruídos emitidos demonstra que elas comunicam entre si e lutam pela vida num ambiente hostil tipificado, agora, simbolicamente na animosidade dos sons agrestes dessa natureza marítima. Se o simbolismo da gaivota aborda, numa fase inicial e superficial, o primado da liberdade humana, então é nítido que essa liberdade, por força das alterações climáticas, se perdeu ou coarctou, de facto, as gaivotas, no inicio do filme, apenas emitem sons mas praticamente não se vêm, não se conseguem vislumbrar nas linhas do horizonte.
O piano entra como um instrumento produto do desenvolvimento cultural humano, e as pessoas que passeiam na rua, em associação com a musicalidade de Bethoven, demonstram a alegria de quem reconquistou a liberdade e o bem-estar após afastar os perigos que afligem a Terra. Na realidade histórica tanto Verdi como Beethoven sofreram dramas no plano pessoal e familiar, no entanto surgem, aos olhos da humanidade, como grandes triunfadores da cultura musical. O triunfo destes homens é o triunfo analógico da culturalidade humana sobre a natureza; primeiro sobre a agressividade e bestialidade diabólica, selvagem, dessa natureza agreste e posteriormente sobre a degradação que a natureza selvagem humana causou ao seu próprio ambiente de habitabilidade vital.
Manipular, nas mãos, o globo humano, é manifestar uma poderosa força de vida e de morte; a pura beleza de quem triunfa sobre a divindade solar, sobre a terra, sobre o ar e sobre o mar, sobre a vida e sobre a natureza; culminando num trompete fálico erecto, hirto e rígido, sobre a areia da praia, mulher que fertiliza, trompete que manipula masturbatoriamente entre as pernas abertas da liberdade de expressão, calando a alegria em favor do triunfo, mas colocando ostensivamente o trompete fálico no seu lugar natural, entre as pernas. A deslocação, equilibrada e manipulatória, sobre a areia da praia molhada exprime a força de um status masculino poderoso, que afasta a bestialidade sexual do envolvimento marítimo sobre a praia fêmea disponível, numa segurança, própria de quem tendo conquistado o planeta, a Terra, conquista agora triunfantemente a mulher. O prémio, a alegria triunfal da culturalidade musical tornam a terra num lugar melhor, um lugar que abandona as oscilações rotatórias das alterações climáticas para permitir a vida em paz e harmonia. O Homem conquista o lugar divino simbolizado pelo Sol; torna-se Deus, num controlo absoluto sobre o vento e as forças da natureza, sobre a Terra e os seus movimentos, sobre o Sol, sobre o Sistema Planetário e o Universo. As gaivotas voam livremente nos céus, o poder absoluto da liberdade absoluta conduz ao poder simbólico da harmonia triunfal em Patrício Teixeira Leite.  
Doutor Patrício Leite, 27 de Junho de 2018

Igualdade funcional de Patrício

Igualdade funcional de Patrício como um conjunto de funções matemáticas conversoras de combinações, arranjos e permutações em funções exponenciais.

Ordem e caos. A fundamentação existencial da ordem caótica está na dualidade paradoxal da simetria fundamental. É sempre a partir das simetrias que se identificam padrões de repetição, dualisticamente paradoxais, numa coexistência identitária sempre diferente e sempre igual. Foi a partir dos padrões de simetria potencial que, por sucessivas operações diferenciais e posteriores generalizações, consegui alcançar uma função que designei por função de Patrício; esta função foi apenas, e meramente, um simples ponto de partida, outras funções e raciocínios matemático - filosóficos, mais profundos, se sucederam e sucedem.

FUNÇÃO DE PATRÍCIO
A função de Patrício relaciona o somatório de combinações simples e arranjos com repetição que, ordenados pela variável Z, se repetem sucessivamente em filamentos até ao infinito. Parece que não existe apenas uma ordem infinita mas, como que, infinitos filamentos infinitos de ordem infinita, através de infinitos níveis de ordem. Enquanto função matemática, a função de Patrício, assume a continuidade que lhe permite a submissão à análise infinitesimal de funções; ou seja, a variável Z pode assumir qualquer valor de qualquer corpo, ou grupo de números, inclusivamente do corpo dos números reais, do corpo dos números complexos ou outros; por outro lado, quando apenas conceptualizada no âmbito de uma matemática discreta das contagens, ou análise combinatória, pois aí, assumirá apenas o conjunto dos números que forem necessários, naturais ou inteiros, para efectuar essas contagens.
Tendo atenção a análise de funções com domínio e contra domínio, eixo das abcissas e das ordenadas etc. pode-se afirmar que a função de Patrício, à partida, relaciona duas variáveis que são n e Z. É evidente que, em termos de contagens, se verifica sempre uma igualdade para qualquer valor de Z mas o que é verdadeiramente importante, em termos desta função da matemática contínua,  é a analise infinitesimal dos filamentos Z num determinado intervalo.

IGUALDADE FUNCIONAL DE PATRÍCIO
Se considerarmos a simetria potencial que se verifica no coeficiente potencial de Patrício e, por isso, na função de Patrício invertermos simetricamente a base e o expoente, do referido coeficiente potencial, fica (n+Z–k)n transformado em n(n+Z–k) Assim, a mera transformação por inversão de simetria potencial, entre a base e o expoente de uma potência origina, desde que n se mantenha constante e igual a 3 (três), uma fórmula funcional muito interessante que designei por igualdade funcional de Patrício.
É evidente que, de acordo com a igualdade funcional de Patrício, surge uma igualdade numérica entre uma função exponencial, e o produto de somatórios de combinações com ou sem repetição por sequências de arranjos com repetição, isto desde que o valor de n seja constante e igual a 3 (três); de notar que n = 3 corresponde à linha número 3 do triângulo de Pascal. De facto a variável Z na igualdade funcional de Patrício pode tomar qualquer valor pois, desde que n = 3 (três), verifica-se sempre a igualdade de ambos os termos, tanto para as combinações simples como para as combinações com repetição; há pois a existência de filamentos numa clara analogia com a função de Patrício, simplesmente em vez das permutações surge agora uma função exponencial com todas as implicações que esta manifesta em termos da logaritmização como inversa, mas também de todas as outras componentes do seu estudo em análise matemática infinitesimal.

FUNÇÕES COMBINATÓRIAS DE PATRÍCIO
Assim como a função de Patrício serviu para, através de um mecanismo mental de inversão simétrica potencial, alcançar a igualdade funcional de Patrício, também agora, por um mecanismo de generalização, a igualdade funcional de Patrício serviu para a conceptualização racional de um vasto conjunto de funções matemáticas. As funções matemáticas têm um domínio e um contradomínio, um eixo de abcissas e um eixo de ordenadas. Tradicionalmente o eixo das ordenadas é representado pela letra y e o das abcissas pela letra x. A igualdade funcional de Patrício verifica-se apenas para a situação concreta em que sendo n = 3 surge Z = x = y. E nas outras situações? Quando o valor de n variar? Quando n = 4, 5, 6, … ? Pois para cada valor de n surge uma função diferente que relaciona funções exponenciais com somatórios de combinações e sequências de arranjos com repetição, tanto para as combinações simples como para as completas, que se torna necessário estudar. É de notar que vez de se escolher o valor de n se poderá escolher o valor de x ou de y e estudar o modo como variam as outras variáveis. A estas funções atribuí a designação de função combinatória simples de Patrício para a função relacionada com as combinações sem repetição e função combinatória completa de Patrício para a função relacionada com as combinações com repetição.
A análise das funções combinatórias de Patrício não apenas estabelece uma ponte entre as matemáticas discretas e contínuas como também ultrapassa as fronteiras das séries de funções geratrizes, ou geradoras, exponenciais deslocando o campo e o objecto de estudo para as suas implicações na teoria dos números.

FUNÇÃO COMBINATÓRIA SIMPLES DE PATRÍCIO
O enunciado da função combinatória simples de Patrício relaciona a linha n do triângulo de Pascal com o somatório das respectivas combinações a multiplicar pelas correspondentes séries de arranjos com repetição, assim:
Como 2n corresponde ao somatório dos valores encontrados ao longo da linha n do triângulo de Pascal, então o enunciado da função combinatória simples de Patrício pode assumir a seguinte forma:
FUNÇÃO COMBINATÓRIA COMPLETA DE PATRÍCIO
O enunciado da função combinatória completa de Patrício relaciona a linha n do triângulo de Pascal com o somatório das respectivas combinações completas, ou com repetição, a multiplicar pelas correspondentes séries de arranjos com repetição, assim:
Também aqui 2n corresponde ao somatório dos valores encontrados ao longo da linha n do triângulo de Pascal para as combinações simples, ou sem repetição, pelo que o enunciado da função combinatória completa de Patrício pode assumir a seguinte forma:
Os avanços na reflexão humana não surgem espontaneamente e de forma completamente perfeita; é preciso muito treino mental persistente e uma concepção dualística da entidade existencial capaz de fundamentar raciocínios como as funções numereto que divulguei em 28 de Setembro de 2016 onde expus o conceito de simetria exponencial opondo, através dessa simetria, as funções polinomiais e as exponenciais que, posteriormente, em 4 de Outubro de 2016 dei continuidade a esse conceito, com a descrição de simetrias da matemática em geral e as potenciais em particular, logo de seguida, ainda nesse mês descrevi, em 9 de Outubro de 2016 a função potencial e respectiva inversa, que designei por elevacional; foi assim amadurecendo uma concepção e uma ideia dualística capazes de permitir as actuais conclusões aqui expressas, sendo certo que ainda não parei pois, muito brevemente, avançarei com a divulgação de uma reflexão matemática mais abrangente e filosoficamente mais profunda na compreensão humana da ordem e do caos.
Ficheiro Completo e Actualizado para Download 
Doutor Patrício Leite, 20 de Junho de 2018