Código do Direito da Saúde

Apesar da proliferação legislativa inflacionária, a que se tem assistido, desde há vários anos, no domínio do direito da saúde; a estabilidade, no tempo, de muitas leis, decretos-lei, portarias, despachos, regras e regulamentos normativos, constitui um facto observável na realidade do direito objectivo. Cada estado de direito, cada comunidade politicamente organizada, tem a sua própria cultura jurídica, a sua própria tradição normativa expressa na lei porém, existe uma significativa diferença entre governar, no domínio da saúde, através do direito consuetudinário, ou da legislação avulsa, em contraposição com a codificação normativa e sistematizada numa legislação estabilizada por um código, ou seja: o código do direito da saúde. A história dos códigos legislativos, e sistematizados, nos ordenamentos jurídicos dos estados republicanos, de cariz liberal, mais ou menos acentuado, remonta à queda do feudalismo com ascensão da burguesia ao poder, mais especificamente ao período napoleónico com a instituição do código civil que revolucionou o tecnicismo legislativo próprio da era moderna. Há imensas compilações legislativas porém, um código não é uma simples compilação, um código é um diploma legal que sistematiza as normas jurídicas de uma determinada área, ou ramo do direito, do ordenamento jurídico. Quando os valores sociais e relações jurídicas significativas, relevantes, para a tutela pelo estado de direito, exibem uma variabilidade muito acentuada, pois justifica-se uma regulamentação legislativa avulsa, no sentido de acompanhar a respectiva mutabilidade da ordem jurídico-social, porém, no caso da saúde, tanto o valor a proteger, como as inerentes relações jurídicas têm, ao longo do tempo, manifestado uma significativa estabilidade, assim, é decididamente defensável a codificação normativa, com força de lei, no domínio da saúde. Vários actores e profissionais, de algum modo, envolvidos na prestação dos cuidados de saúde, têm a sua actividade regulamentada pelas ordens profissionais, com os respectivos códigos deontológicos e estatutos disciplinares, os restantes agentes, prestadores e utentes, também obedecem a uma regulamentação jurídica própria e pertinente, assim, a codificação sistematizada das leis e normas jurídicas iria satisfazer e facilitar o trabalho a todas as entidades envolvidas, prestadores, utentes e inclusivamente aos juristas e profissionais do foro quando, qualquer querela conflitual tornasse necessário o recurso aos tribunais.
Paradoxalmente, o legislador não simplifica a regulamentação da vida em comunidade, parece que, apenas para mostrar actividade, produz leis em quantidade inflacionada,  exageradamente excessiva; por exemplo, não se compreende tantos códigos de processo: cível, penal, administrativo, trabalho etc. quando os tribunais funcionam todos de modo muito semelhante, um só código seria bastante, suficiente e adequado; também no domínio da fiscalidade há excesso de códigos: IRS, IRC, IVA etc. quando tudo poderia ser simplificado, mas, pior ainda, a proliferação legislativa avulsa no ramo da saúde, torna tudo ainda mais complicado; depois, o ordenamento jurídico português que contempla mais do que duas dezenas de códigos; submete alguns destes a alterações, "de aperfeiçoamento", tão frequentes, que mais parecem leis avulsas; ora, no ramo da saúde, há leis avulsas, como por exemplo, entre várias outras normas jurídicas, a lei de bases da saúde, que raramente são mexidas; é neste sentido que se torna, de todo, defensável a sistematização da codificação jurídica na produção do código do direito da saúde.
Doutor Patrício Leite, 15 de Outubro de 2018

Ordem Jurídica Mundial

Há uma dualidade patente na ordem jurídica mundial. Por um lado os defensores da globalização económica liberal expansionista pretendem sobrepor o direito internacional privado na regulação das relações juridicamente significativas entre empresas globais com a queda dos estados-nação como capaz de impor uma ordem internacional ao nível privado. Por outro lado os defensores dos estados-nação com a imposição soberana do direito internacional público na arena das relações internacionais. O equilíbrio conflitual entre o liberalismo económico desenfreado, apenas regulamentado pelas leis da oferta e da procura e do direito internacional privado e, por oposição, o nacionalismo político que regulamenta as relações entre estados-nação através do direito internacional público é sempre um equilíbrio dinâmico capaz de fundamentar o discurso legitimador recorrendo a duas teorias. A teoria unicista insiste num único estado nação que ao nível mundial detém tanto poder, tanta capacidade de impor uma violência armada, que se transforma num estado polícia do mundo capaz de, com autoridade legítima, impor uma ordem jurídica mundial a regulamentar as relações entre os estados e as nações, era esta a posição dos Estados Unidos da América. Por outro lado a teoria dualista defende a legitimidade do equilíbrio de poder, num mundo com muitos países, ou actores políticos; países estes que através de coligações, deslocam o equilíbrio de poder alterando assim legitimamente a ordem jurídica mundial em conformidade com a deslocação do fiel da balança; esta é a posição daqueles que defendem a globalização num liberalismo mundial que permite a ascensão da China na arena política internacional.
O instinto gregário, o desenvolvimento da vida em sociedade e o domínio do homem pelo homem, sempre, ao longo da evolução histórica, sempre, verificaram ao nível mundial, a sobreposição de uma destas ordens jurídicas. Também a transição alternada entre estas ordens jurídicas mundiais fez-se sempre à custa de muitas mortes, guerras e revoluções sangrentas; foi assim com a queda do Império Romano; será assim com a queda dos Estados Unidos da América. Na realidade, o Império Romano funcionou, na história da ordem jurídica mundial, como um estado policial que impunha ao exterior, ao resto do mundo, o mesmo direito e normas jurídicas que utilizava no âmbito do seu direito interno; a queda do Império Romano, como centro do poder mundial, ocorreu ao longo de séculos, com muitas e sangrentas revoluções e guerras, tendo terminado com um feudalismo geográfico assente na dualidade de forças e poderes resultantes de coligações entre os senhores feudais. Actualmente as coisas mudam mais rapidamente; os Estados Unidos da América, com o seu poderio bélico e económico, funcionam como um estado policial unicista e capaz de condicionar a ordem jurídica mundial porém, a China, e aqueles que em nome do liberalismo, a apoiam, funcionam como estados desafiadores desta ordem mundial e baseiam a sua ideologia num neo-feudalismo empresarial liberal. A transição será, como sempre ocorreu ao longo da história da humanidade, repleta de revoluções, guerras, derramamento de sangue e morte. A imposição de barreiras alfandegárias e direitos aduaneiros e a guerra comercial que se esta a desenvolver entre os EUA e a China, é apenas uma manifestação da perda de poder dos EUA na manutenção da ordem jurídica e hegemonia do mundo; face a este enfraquecimento dos EUA, cumpre aos outros estados-nação do mundo, saber com quem devem efectuar coligações na nova ordem jurídica mundial que se aproxima e no estabelecimento de um poder estável e pacífico. A crise apenas vai começar em 2020, a revolução mundial é a próxima etapa. Estabilidade ou mudança é a interrogação do mundo.
Doutor Patrício Leite, 9 de Outubro de 2018

AVANÇOS EM MATEMÁTICA ANALÍTICA DA FUNÇÃO DE PATRÍCIO

Introdução
Esta função foi encontrada empiricamente, por Patrício Leite, através de um trabalho mental, cognitivo, que consistiu em realizar sequências de sucessivas subtracções de números potenciais com o mesmo expoente mas ordenados pelos valores decrescentes, contíguos, das suas bases; as sucessivas subtracções foram realizadas até chegar ao último número natural, o qual iguala o resultado do factorial do respectivo expoente; a seguir, num trabalho mental mais generalizado e abstracto, realizou sequências de sucessivas substituições pelos respectivos números potenciais até chegar, em cada caso, a expressões numéricas finais cujos primeiros números de cada termo coincidem com os números dispostos ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal, sendo que o expoente corresponde precisamente ao número da linha do referido triângulo. Posteriormente procedeu à generalização dos resultados e designou a expressão algébrica encontrada por relação fundamental de Patrício: nesta relação é estabelecida uma igualdade entre um número factorial e o respectivo polinómio de grau igual a esse factorial traduzida na relação fundamental de Patrício por: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n
Sendo que: a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal.
Finalmente, com um nível de abstracção ainda maior, esta relação foi generalizada e formalizada numa função, como se segue:

Continuação do trabalho empírico
A análise empírica da estrutura numérica, com as sequências de sucessivas subtracções, mostra várias regularidades ou padrões de repetição cuja disposição dos números constitui conjuntos de triângulos invertidos e, para o caso da função de Patrício, o vértice do triângulo respectivo, é precisamente o último número natural que iguala o valor do factorial do expoente potencial que confere, precisamente, o grau ao respectivo polinómio.
No entanto, qualquer que seja o expoente dos números potenciais, assim como o respectivo triângulo, pois a seguir ao factorial, surge sempre e imediatamente o número zero.
Este número zero surge como resultado de mais uma sequência de subtracções sucessivas, porém, agora entre os factoriais que, por terem todos valor igual, o resultado da operação é precisamente zero.
O novo triângulo, agora formado, tem como vértice o valor zero; no entanto, os triângulos anteriores cujos vértices, foram agora, submetidos à operação de subtracção, tinham como valor, precisamente, o factorial do expoente potencial que confere o grau ao polinómio do respectivo triângulo.
Há mais regularidades ou padrões de repetição: por exemplo, entre vários outros, nota-se que o número de linhas de cada um destes triângulos invertidos depende do valor do expoente cujos números potenciais serviram para iniciar a sequência de subtracções sucessivas; por semelhança com o triângulo aritmético, também nestes triângulos potenciais invertidos é possível calcular os números de uma linha a partir de números anteriores, por outro lado, nota-se em cada linha e coluna, como que, uma presença constante, ou capaz de ser deduzida, do triângulo aritmético, o que não é de estranhar já que, se o triângulo aritmético se forma a partir de sucessivas adições, pois, cada um destes triângulos forma-se a partir de sucessivas subtracções. A diferença sucessiva de uns números em relação a outros, constitui como que uma espécie de derivação, ou primitivação, dependendo do sentido em que se realiza, ao longo das várias linhas sucessivas de cada triângulo, porém, todos os triângulos juntos integram-se num triângulo maior com base nos números potenciais; por sua vez este triângulo ainda se integra num maior, com base nos números factoriais ou produtórios, cada triângulo sempre infinito e integrado infinitamente numa triangularidade de natureza infinita que apresenta várias regularidades ou padrões de repetição entre números e estruturas algébricas e, por isso, faz a ponte entre as matemáticas finitas ou discretas e a análise infinitesimal própria do cálculo matemático da continuidade.   
A função de Patrício, além de uma variável n que se relaciona com o grau dos polinómios respectivos, isto é, o valor do expoente dos números potenciais, e um k que vai permitindo os agrupamentos de subtracções sucessivas, tem também uma variável Z que se refere ao local onde, nos números potenciais, se inicia o triângulo a partir do qual serão efectuadas as operações de sucessivas subtracções matemáticas. 

Generalização dos resultados
A actividade cognitiva, mental, de abstracção e generalização torna-se agora facilitada já que se verifica uma semelhança muito acentuada entre esta estrutura e a anterior relação fundamental de Patrício; na realidade apenas se procede a mais uma sequência de subtracções passando o vértice do triângulo respectivo do valor do factorial para o valor zero e, como a sequência dos números correspondentes aos coeficientes binomiais do binómio de Newton, isto é, a sequência de combinações simples ao longo da linha do triângulo de Pascal, passa para a linha seguinte do referido triângulo, pois também a generalização da fórmula terá de assumir, no expoente da parte correspondente aos grupos de arranjos com repetição, um valor inferior, isto é, de menos uma unidade; surge assim uma fórmula e função generalizada, de Patrício, a assumir novos valores com nova estrutura algébrica designada:
 
Análise e interpretação preliminar dos resultados
Aquilo que se verifica com o valor n – 1 é a passagem da sequência dos valores correspondentes às combinações simples do triângulo aritmético, ou de Pascal, ao longo da linha n para a sequência desses valores ao longo da linha seguinte, ou seja a linha n + 1, mantendo-se sempre a estrutura da função de Patrício. Portanto, mantém-se a estrutura geral do triângulo de Pascal, mantém-se a estrutura geral da função de Patrício, apenas se alteram os valores da sequência de combinações simples, já que esta sequência passa para a linha seguinte do referido triângulo aritmético. 
Se agora for realizada mais uma sequência de sucessivas subtracções dos vértices destes triângulos cujo valor é igual a zero; isto é zero menos zero, pois a estrutura da função de Patrício mantém-se porém com algumas alterações que consistem em novamente os números iniciais de cada termo do respectivo polinómio, ou seja os respectivos coeficientes de cada termo do polinómio, passarem agora a corresponder à sequência das combinações simples ao longo da linha que se segue no triângulo aritmético, ou de Pascal.
Portanto, parece que conforme se vão subtraindo valores dos vértices de pequenos triângulos constituintes do grande, e infinito, triângulo de Patrício, formado pelos números potenciais dispostos sequencialmente, em linha, pelos valores das suas bases, assim vão surgindo alterações na função de Patrício correspondentes às linhas do triângulo de Pascal; esta subtracção de valores, estas diferenças sucessivas, estas variações de uma em relação à outra, ou seja, o modo como uma varia com a variação da outra, constituem, como que, uma espécie de derivação versus primitivação da função de Patrício.   

Derivadas e primitivas da função de Patrício
Considerando as permutações como um caso particular dos arranjos, ambos dependentes da ordem e as combinações como interacções onde a ordem não intervém, conclui-se, pela interpretação da função de Patrício que, filosoficamente, esta trata de uma interacção entre relações ordenadas e relações não ordenadas. Na realidade, nesta função, o componente potencial, ou exponencial, diz respeito aos arranjos com repetição e o componente constituído pelos coeficientes do binómio de Newton diz respeito às combinações simples traduzidas no triângulo aritmético, ou de Pascal; assim, a sucessiva variação da sequência de combinações simples, da linha do triângulo de Pascal, que passa para a sequência da linha seguinte, conforme se varia o expoente da função de Patrício parece corresponder como que a um modo de derivação ou, por função inversa, primitivação da função de Patrício.
Por conseguinte, se por este modo de variação, ou derivação sucessiva se retira sucessivamente valor ao expoente potencial da função de Patrício ficando n – 1 , n – 2 , n – 3 , …, n – p , pois por este modo de primitivação sucessiva, também irão ser sucessivamente acrescentados valores ficando n + 1 , n + 2 , n + 3 , …, n + p. Portanto, o modo como estas partes, ou componentes parciais, da fórmula ou função, variam em relação, ou com a variação das restantes, constitui a derivação versus primitivação da função de Patrício.

As variáveis da função em relação com a derivação e a primitivação
Em termos da análise combinatória as variáveis têm significado diferente conforme o lugar que ocupam na expressão algébrica; as variáveis n e k referentes aos coeficientes binomiais têm um significado sobejamente conhecido, tanto em relação com as combinações simples como integradas no triângulo aritmético; por outro lado, se integradas na expressão potencial já se referem aos arranjos com repetição, podendo variar o tamanho do conjunto considerado, ou então, o número de elementos escolhidos para efectuar os arranjos; a variável Z faz variar o tamanho do conjunto considerado para os arranjos mas não tem repercussão no resultado final já que funciona como um modo de designar filamentos que definem onde começam, e terminam, os conjuntos de elementos considerados para os arranjos. Portanto, se numa interpretação filosófica as derivadas e primitivas, da função de Patrício, se referem ao modo como a ordem e a não-ordem se inter-relacionam na variação recíproca, pois enquanto consideradas como variáveis matemáticas, que são três: n, k e Z; já permitem encontrar derivadas e primitivas com outros significados.        

Discussão preliminar dos resultados
Habitualmente pensa-se que a análise combinatória apenas diz respeito às matemáticas discretas, ou finitas, e a análise matemática se refere à continuidade das funções; acontece que a questão do finito e infinito, continuidade e descontinuidade tem de ser considerada do ponto de vista relativo, pois como se constata a função de Patrício admite zeros e continuidade infinita; portanto, como já foi antes afirmado, ela faz a ponte entre as matemáticas finitas ou discretas e as matemáticas infinitas da continuidade.

A triangularidade de Patrício
Conceber vários triângulos, sempre em conexão com os anteriores faz, numa abordagem superficial do pensamento e reflexão humana, pensar em fractais triangulares. Na realidade estas formas triangulares de fractais já foram pensadas antes, porém apenas incluídas na relação com o triângulo aritmético, ou de Pascal. A triangularidade de Patrício é mais abrangente, por um lado, ainda que assumindo a forma de fractais, pois, coloca o triângulo infinito de Patrício fora do de Pascal enquanto que os fractais triangulares já concebidos pelo pensamento humano até ao presente, têm colocado os fractais triangulares dentro do triângulo de Pascal; ora na realidade, é o triângulo de Pascal que se insere, que se encaixa, como um fractal, no mais vasto triângulo de Patrício e nunca o inverso, porém, a triangularidade de Patrício vai ainda mais longe ao assumir vários triângulos de Patrício, assim como os triângulos geométricos e os triângulos factoriais ou produtoriais numa, cada vez, mais vasta triangularidade.     

Conclusão     
É de considerar que a função de Patrício, e os raciocínios que lhe deram origem, vêm oferecer novas interpretações para a teoria dos números. A actual visão relativa à análise de funções, como as funções exponenciais e logarítmicas, no conjunto dos números reais terá de ser ligeiramente alterada, mantendo-se no entanto a coerência da sua estrutura interna; no entanto, para o caso dos números complexos, a sua estrutura terá de ser substancialmente alterada; na realidade a manutenção da sua actual estrutura consistirá apenas numa pura “birra” conceptual, dos matemáticos da actualidade, já que a sua alteração no sentido de abranger um conjunto numérico muito mais vasto, assim como maior facilidade no cálculo e realização de operações matemáticas, será facilitada a partir de alterações provenientes da compreensão da função de Patrício. A utilidade prática que o actual uso dos números complexos têm, na física, engenharias e outras áreas do saber e da actividade humana, será mantida porém a proposta de alterações a este corpo numérico irá criar uma maior abrangência teórica capaz de explicar facilmente fenómenos como as raízes quadradas de números negativos, mas também outros cálculos ainda nem sequer ponderados pelas actuais matemáticas da complexidade.
Doutor Patrício Leite, 16 de Setembro de 2018

Ordem Primeira

Filosofia da ordem e da ciência
Toda a ordem contemplada, tanto no ser como no ente, do universo nosso conhecido, tem o seu fundamento mais elementar na analogia comparativa. Os padrões de repetição e as regularidades observadas apenas se podem afirmar a partir da analogia; sem esta característica analógica, jamais se poderia dizer que algo se repete formando padrões. O tempo e o espaço, imensamente fundamentais para toda a actividade humana, são apenas repetições regulares de unidades padronizadas, pela analogia comparativa, capazes de gerar uma constante ordem de previsibilidade. A reflexão própria de uma epistemologia cientifica revela que os conhecimentos obtidos pela utilização do método cientifico, mais não são do que tautologias paradoxais que apenas reflectem a aplicação da actividade pensante a uma suposta realidade externa; a ciência não capta a realidade externa, tal como ela se apresenta, mas produz uma “realidade construtivista” na qual a realidade se vai “encaixar”.
As estruturas cognitivas e afectivas humanas, assentam num associativismo analógico que se repete numa soma, ou adição, de padrões, capazes de condicionar toda a actividade humana; a própria linguagem racional baseada no signo linguístico, resulta de uma comparação entre o significado e o significante que, por analogia identitária, representam o referente; por outro lado, também a irracionalidade da comunicação simbólica, ainda que explicada por núcleos emocionais, afectivos, ou simples erro na descriminação de estímulos sensoriais, tem sempre a sua base explicativa relacionada com uma analogia associativista; no próprio plano individual, não apenas do ser humano mas de todo e qualquer ser vivo, a tomada volitiva de decisão, em relação ao exterior, com o objectivo de satisfazer necessidades internas, resulta sempre de uma analogia comparativa entre aquilo que faz falta, portanto, vai satisfazer necessidades, e aquilo que não faz falta, ou não satisfaz as necessidades. Se existe em todo o ser vivo, em toda a vida, uma ordem comparativa, ou analógica, também é certo que o caos se manifesta como uma ordem de segundo grau, ou seja, uma “não ordem” organizada pela ordem vigente. Captar, ou intuir, a totalidade existencial de infinitas ordens, ou pelo menos uma, que seja, fora da analogia, fora da comparação, é uma tarefa extremamente difícil, é uma tarefa transcendente, digna de uma ordem transcendental.

Princípio da ordem
Conceptualizar a ordem a partir de um princípio da actividade cognitiva humana, é colocar na lógica, como já foi feito há muitos anos, o fundamento da linguagem e da matemática.
Algures, ao longo da minha ontogénese, durante o desenvolvimento infantil das estruturas cognitivas, mais especificamente no período infantil das operações concretas, tornou-se viável para a minha consciência a constatação de que não é possível andar, simultaneamente, para a frente e para trás; na realidade, verifiquei posteriormente que já no decurso da filogénese cultural humana, o desenvolvimento da lógica bivalente permitiu, milhares de anos atrás, enunciar o princípio do terceiro excluído como uma limitação lógica da racionalidade humana. Aqui, uma critica da razão pura não encontra os seus limites apenas na transcendência mas também, e muito simplesmente, no próprio pensamento lógico que origina, e enforma, essa própria, e pura, razão humana.
Encontrar nos fundamentos lógicos, da matemática qualitativa, o ponto de partida, como um início ou princípio da ordem, não exclui a validade da premissa axiomática analógica; na verdade, o dogma absoluto e irredutível da analogia comparativa, como essência da ordem, emerge da própria condição humana e, ainda que em matemática qualitativa se desprezem, por vezes, as relações de ordem, tipificadas na simbologia própria do igual, maior e menor etc., pois continuam as ocorrências próprias de uma ordem analógica.
Assentando a ordem actual nos raciocínios lógico matemáticos, é também neles que se baseiam as operações aritméticas elementares: adição, subtracção, multiplicação e divisão; aceitando agora, que os números apenas podem assumir dois valores lógicos: par ou ímpar; torna-se possível construir como que tabelas de verdade entre as operações aritméticas e os valores par e impar.
Se considerarmos o parentesco que associa a adição com a subtracção, assim como a multiplicação com a divisão, resultarão tabelas de duas entradas em que no caso da multiplicação, ou divisão, por semelhança adaptada com as situações lógicas da conjunção, mas também da disjunção, o resultado apenas é impar quando ambos os valores forem ímpares; por outro lado no caso da adição, ou subtracção, por semelhança adaptada com as situações lógicas da disjunção exclusiva, mas também da equivalência, o resultado é impar quando os valores forem, um par e outro impar.
Constata-se que, com excepção dos números dois e cinco, todos os números primos são ímpares e terminam em 1, 3, 7 ou 9. Por outro lado, da própria definição sabe-se que os números primos apenas têm a unidade, e a si próprios, como divisores, mas obedecem às operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão; conjugando estes conhecimentos podem-se, agora, estabelecer relações entre as operações de adição, ou subtracção, e multiplicação, ou divisão, envolvendo os números da base 1, 3, 7 e 9 na procura de um principio de ordem desenvolvido a partir dos antecedentes para os consequentes, do antes para o depois, do principio para o fim; ou seja, partindo dos antecedentes lógicos para os consequentes números primos. Continuando nesta sequência relacional de ocorrências, partindo de um principio lógico para alcançar o fim de encontrar números primos; verifica-se que utilizando o número dois, e adicionando adequadamente e sempre um número impar qualquer, é possível encontrar, a partir de certo nível, toda uma sequencia de números primos, obviamente, maiores que esse número impar; de tal modo que a partir de adições sucessivas e adequadas entre os números dois e três, pois, é possível encontrar todos os números primos; por outro lado se forem adicionados sucessiva e adequadamente os números dois e cinco, pois temos um envolvimento da base decimal, assim como as consequentes fracções, ou números racionais, na constituição de números primos. Repare-se que dividindo dez (base decimal) por dois dá cinco e dividindo dez por cinco dá dois; portanto os números primos surgem como resultantes, ou compostos, de números fraccionários ou racionais.

Estrutura da ordem actual
Toda a matemática, baseada num princípio de ordem quantitativa, pelo primado da lógica, assenta numa constância; assenta numa constante proporcionalidade: a = bxc + d cujo fundamento histórico se encontra na relação entre dividendo, divisor, quociente e resto. É nesta constância relacional que se verifica, nas primeiras teorias dos números, d = 0 para todos os naturais, excepto os primos.
Todas as fórmulas, todas as funções, todas as estruturas ou relações matemáticas, que assumam uma igualdade, uma diferença, ou simplesmente uma relação de ordem, como por exemplo, maior ou menor; resultam, na sua essência fundamental de uma constância na proporcionalidade relacional; a trigonometria, a geometria, o cálculo e a análise, com funções logarítmicas ou exponenciais, até a própria lógica matemática; tudo, tudo assenta na constância de uma proporcionalidade relacional; a simples igualdade: y = X já implica uma proporcionalidade, pois fica implícito que y = 1xX sendo 1 o valor dessa constância de proporcionalidade; agora transpondo e generalizando para todas as restantes relações de igualdade, ou diferença, logo se verifica a assertividade da relação de proporcionalidade; assim, ainda que a relação de proporcionalidade possa funcionar como variável, no interior, e na constância das regras lógicas, ela é o fundamento da actual ordem matemática.
Finalmente, salienta-se que as relações de ordem quantitativa capazes de fundamentar a variabilidade da proporcionalidade resultam dos raciocínios lógico matemáticos, por sua vez, estes raciocínios têm a base da sua essência assente na estrutura comparativa da analogia.

Ordem teleológica
Apesar de o ser humano, estar desde longa data, sobejamente habituado a raciocínios científicos que se fundamentam nos critérios e relações de causalidade com base nos antecedentes, supondo sempre que a causa precede o efeito; as modernas teorias da física quântica, ou da física das partículas elementares, têm ultimamente apontado uma nova abordagem; assim, coloca-se a dúvida e admite-se que a causa não precede sempre o efeito, não existe sempre antes do efeito e, também, não é sempre um antecedente mas pode, em algumas situações, surgir como uma consequência do efeito, ou seja, a causa surge como a consequência do efeito causado. A noção de causalidade teleológica, a causalidade que se encontra após o efeito, a causalidade que é uma consequência e não uma antecedência, já se manifestava no pensamento de alguns antigos filósofos. A reflexão, cuidadosa e ponderada, sobre os números primos ou primeiros e os respectivos fundamentos da ordem primeira, conduziu à conclusão que a ordem de aparecimento dos números primos, numa escala crescentemente ordenada, não se encontra nos números antecedentes mas sim nos números consequentes, portanto, a procura de uma relação matemática, deterministicamente exacta, para o aparecimento sequencial de qualquer número primo, ao longo de uma escala ordenada, terá de ser efectuada através dos números posteriores e não dos anteriores; ou seja, partindo do fim para o princípio e não do princípio para o fim.

O mínimo múltiplo comum a todos os primos
Os números primos apenas têm a unidade e eles próprios como divisores mas, apesar de não possuírem outros divisores funcionam, eles próprios, como divisores, assim, se na base 1, 3, 7 e 9 efectuarmos sucessivas multiplicações dos números primos crescentes, entre si, vamos encontrar um número, no conjunto de todos os múltiplos, que funciona como o mínimo múltiplo comum a todos os primos. Considerando a quantidade de primos finita, este mínimo múltiplo comum constitui uma constante; a constante prima universal de Patrício. Por outro lado o maior número primo funciona como máximo divisor comum. Podem agora, a partir do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum, ser estabelecidas relações de proporcionalidade, entre os números primos, do tipo a = bxc + d com d = 0 numa ordem primeira encontrada quando se caminha do fim para o princípio, dos consequentes para os antecedentes, dos posteriores para os anteriores, ou seja, uma primeira ordem teleológica.
As regras da lógica, indutoras de constância, na variabilidade da proporcionalidade fundamental inerente à actual matemática quantitativa são, aqui, perfeitamente aplicáveis com resultados práticos; torna-se também evidente que sendo, nesta situação, o mínimo múltiplo comum, ou constante prima universal de Patrício, e o máximo divisor comum, ou maior número primo, números ímpares, pois a diferença aritmética lógica é um número par. Esta paridade, revela simetrias que, associadas com outras paridades dos números primos, facilitam cálculos algebricamente evoluídos no determinismo dos números primos.

Operações matemáticas envolvendo os números primos
Considerando, ou não, a totalidade de números primos como finita, ou infinita, o facto é que, em qualquer situação, o mínimo múltiplo comum resulta de um produtório de números primos, por conseguinte, torna-se possível efectuar operações matemáticas com produtórios e factoriais de números primos.
Seja:
p1, p2, p3, p4, p5, …, pn o conjunto dos números primos ordenados de forma crescente.
Πnn=1   pn = mínimo múltiplo comum a todos os primos
se K = um qualquer primo
então: Πn-kn=1 pn = Πnn=1 pn / Πnn>n-k pn portanto, de acordo com as regras da multiplicação, trata-se de uma relação de proporcionalidade entre números primos.
Se, por outro lado, entendendo os primos como números ímpares, considerarmos que o valor de k = mediana, pois os cálculos que poderão ser efectuados passarão a envolver as probabilidades e estatística dos números primos numa ordinalidade primeira, capaz de dividir os números primos em duas partes iguais, portanto, do principio até a mediana e da mediana até ao fim, permitindo assim efectuar cálculos com a simetria da paridade.    
Por semelhança com o ocorrido com o número Pi, o número neperiano, ou outros; pois também a constante prima universal de Patrício ou, então, a relação entre o mínimo múltiplo comum a todos os primos e o maior número primo, podem ser usados como um número, de representação algébrica constante, com implicações directas em cálculos matemáticos envolvendo os números primos.

Probabilidades e estatística na ordem primeira dos números primos
O facto de ainda não ter sido descoberta uma ordem polinomial capaz de prever deterministicamente o aparecimento dos números primos, pois, tal não significa que estes apareçam ao acaso; de facto, estes números surgem de modo crescente ao longo do aparecimento sucessivo dos números naturais; por outro lado, caso os números primos surgissem ao acaso, ainda assim, seriam aplicadas as regras e leis da estatística e probabilidades com as amostras aleatórias e o acaso funcionaria, muito provavelmente, com uma distribuição de curva normal, ou outra, o que reportaria sempre para algum determinismo organizacional, ou ordenado, no aparecimento dos números primos.
Quando se caminha em direcção ao infinito o aparecimento dos números primos é cada vez mais escasso, portanto, os números primos existem, obrigatoriamente, em quantidade finita. Considerar os números primos como infinitos, conduz a um paradoxo racional e conceptual de impossível conciliação; de facto, se considerássemos os números primos como infinitos teríamos que, no avanço para o infinito, os múltiplos dos números primos, assim como os múltiplos dos outros números, em geral, chegariam primeiro a esse infinito, pois os múltiplos são maiores do que os primos a partir dos quais foram originados, assim, após o infinito ter sido atingido por outros números, pois, já não haveria lugar a um infinito para os números primos, pelo que estes terão de ser finitos; a não ser que existissem infinitos de primeira ordem e de segunda ordem, porém, um raciocínio dessa natureza conduziria, sempre, a uma incoerência lógica e paradoxal impossível de conciliar com a estrutura da razão humana aplicada à matemática. É também sabido que os números primos são ímpares, portanto, caso estes fossem infinitos, pois o infinito seria um número impar, o que é mais um paradoxo; na realidade o infinito funciona apenas como um conceito impreciso e difícil de conciliar na matemática dos números primos.
Independentemente de se considerar os números primos como finitos, mas também, ainda que espantoso, infinitos; uma certeza ocorre ao pensamento, a existência de um mínimo múltiplo comum a todos os números primos, ou um máximo divisor comum, do conjunto de todos os múltiplos de primos, permite imediatamente a conceptualização de medidas de tendência central na distribuição estatística dos números primos. Assim, abordando a simetria típica, no conjunto dos números inteiros, parece que a média, mediana e moda dos números primos tendem para zero, numa distribuição normal; por outro lado, se forem considerados os primos no conjunto dos números naturais, estas medidas de tendência central já não coincidem mas é sempre possível, em termos conceptuais, calcular e trabalhar, em termos de representação algébrica com a mediana a partir das noções do máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, já definidos.  

Para além da ordem vigente
Conceber a ordem primeira é pensar em dois tipos de movimentos: as deslocações por movimentos progressivos que, partindo do princípio, partindo dos antecedentes, avançam para o fim, avançam para os consequentes, mas também, por outro lado, as deslocações por movimentos regressivos que, partindo do fim, partindo dos consequentes, de deslocam para o princípio, se deslocam para os antecedentes.
É na ordem primeira que, por excelência, se encontra a função de Patrício; de facto nesta função, os filamentos de Patrício, enquanto representantes de uma ordinalidade caracterizada por sequências numéricas com tamanho variável, as quais podem até constituir sequências de tamanho infinito; pois definem um incomensurável número de ordens, poder-se-ia dizer, um infinito número de ordens; é de salientar que todas estas ordens, tanto podem resultar de um deslocamento a partir do princípio em direcção ao fim como do fim em direcção ao princípio, ou até, de ambos em simultâneo.
Todas as infinitas ordens, relacionadas com a ordem primeira, como aquelas ordens resultantes da função de Patrício, pois, todas têm a analogia como fundamento conceptual da reflexão filosófica. De facto, a função de Patrício revela uma extraordinária beleza, uma estética no modo como, todos os dias, permite encontrar novas relações, novas interacções entre os triângulos aritmético, geométrico, ou exponencial, e factorial de Patrício, porém a sua ordem, e as infinitas ordens que dela resultam, têm como fundamento da reflexão humana, a analogia conceptual típica da ordem primeira.
Uma ordem capaz de abandonar o fundamento da repetição analógica vigente, será uma nova ordem, será uma ordem transcendental. A matemática da ordem transcendental terá de assumir novos paradigmas, ou modelos axiomáticos, sem padrões de repetição e sem analogias comparativas fundamentais; a ordem transcendental terá de contemplar aspectos como, por exemplo, os dogmas, ou axiomas, imperativos da volição humana individual, próprios de cada ser pensante, capazes de se entender e comunicar, mas mutáveis a cada instante, mutáveis a cada utilização; essa mutabilidade terá de estar liberta de padrões repetitivos comparativos; será uma mutabilidade sempre nova, sempre criada. A mutabilidade da criação será o fundamento das novas ordens matemáticas transcendentais.
            Doutor Patrício Leite, 3 de Setembro de 2018

ÁLGEBRA TRANSCENDENTAL NO TRIÂNGULO DE PASCAL

Alguém sabe o que é isto?
Σ1n. Pois é, ninguém sabe o que é isto: Σ1n. Vou explicar: Isto: Σ1n actualmente é, talvez, uma das estruturas algébricas representante do triângulo mais importante da humanidade. Vejamos, em termos de um rascunho geral, pode ser descrito como, infinidades de infinitos somatórios de infinitas séries de somatórios infinitos de infinitas sucessões aritméticas de números infinitos, tudo infinitamente sucessivo, numa infinidade sem fim.
Mais especificamente isto, Σ1n apenas se refere à representação algébrica do Triângulo Aritmético, também designado triângulo de Pascal ou Tartaglia e agora, aqui designado pela estrutura algébrica de Patrício.

Como começou isto?
Algures, ao longo da minha ontogénese, durante o desenvolvimento das estruturas cognitivas, especificadamente logo após o período das operações abstractas tornou-se possível conceber ideias e problemas cada vez mais generalizados.
Assim, pensei:
Com 2 pontos consegue-se efectuar, entre eles, 1 ligação; com 3 pontos, consegue-se 3 ligações; com 4 pontos dá 6 ligações; 5 pontos dão 10 ligações; e assim sucessivamente, sempre 2 a 2, sem repetição das ligações. Ainda no início da juventude, e sem grandes conhecimentos matemáticos, já foi possível efectuar uma generalização desta constatação, assim determinada:
U1 = 0; U2 = 1; U3 = 3; U4 = 6, …, portanto Un = Un-1 + n – 1 com n > 1; ou seja, definida em termos de sucessões e progressões matemáticas. Conforme o conhecimento, e a idade, foram evoluindo, tornou-se claro que estas combinações, 2 a 2 sem repetição, já foram muito tempo antes estudadas e previstas no triângulo aritmético, ou de Pascal, conjugado com os coeficientes do binómio de Newton.

Algumas regularidades do triângulo aritmético
O triângulo aritmético, pode ser reduzido a três eixos dimensionais com vários padrões de inter-relação que permitem encontrar valores numéricos para, pelo menos, tês variáveis que são as colunas, as linhas e as combinações simples; a partir destas três variáveis podem ser encontrados padrões matemáticos capazes de definir outras variáveis.
Assim, são várias as regularidades observadas e já descritas para o triângulo aritmético ou de Pascal; acredita-se que são ainda muitos os padrões e regularidades deste triângulo, que nunca foram mencionados previamente. Vejamos alguns interessantes:
O triângulo é constituído por colunas diagonais descendentes do topo para a base e da direita para a esquerda; relacionando estas colunas diagonais com as combinações simples verifica-se que cada uma destas colunas tem sempre o mesmo número de elementos escolhidos para efectuar as referidas combinações ou seja o mesmo número, da parte de baixo do coeficiente binomial de Newton e que corresponde à respectiva coluna do triângulo de Pascal.
Uma observação atenta e reflectida permite constatar que um dado valor n de combinações simples, designado em qualquer uma destas colunas diagonais, corresponde ao somatório de combinações da coluna anterior até atingir o número desse valor; outra regularidade diz respeito à sucessão, ou sequência, crescente de números ao longo da coluna porém, não se trata de progressão aritmética nem geométrica, já que não é possível encontrar as razões destas progressões, na verdade, as razões são também sucessivamente variáveis em função das sucessivas variações ocorridas nas colunas anteriores; encontram-se pois, séries de relações de recorrência de uma coluna sucessivamente com a sua respectiva anterior na tentativa de determinar á fórmula do termo geral de qualquer progressão, sequência ou sucessão numérica ao longo das colunas; também a tentativa de definir recursivamente a sucessão ou progressão, de uma coluna, conduz a sucessivas relações de recorrência com as colunas anteriores.
Assim, sejam por exemplo nC3, mC4 e pC5 respectivamente as sucessões de números ao longo das colunas diagonais 3, 4 e 5 do triângulo aritmético; tentar uma definição recursiva destas sucessões conduz às seguintes expressões: pC5 = p-1C5 + mC4 no entanto, mC4 = m-1C4 + nC3 e isto continuaria, com n = m = p, sucessivamente até chegar à coluna diagonal 0 em que nC0 = 1n portanto a tentativa de definição recursiva da sucessão implica numa sucessiva recorrência às sucessões, ou sequências, das colunas anteriores.

Séries infinitas de relações de recorrência no triângulo aritmético
As sucessivas relações de recorrência recursiva que se encontram na tentativa de definir recursivamente as sucessões, ou sequências, ao longo da coluna diagonal do triângulo aritmético, também se verificam para as correspondentes séries infinitas.
Assim, sabendo que as variáveis consideradas se referem aos valores nas linhas, nas colunas e nas combinações simples, pois simplificando a indexação dos somatórios pela ordem crescente, dos números naturais, ao longo da coluna diagonal do triângulo aritmético, para efeitos de compreensão, tem-se:
Considerando que as sucessões das colunas diagonais 3, 4 e 5 sejam representadas respectivamente por nC3, mC4 e pC5 vem:
  pC5 = mC4 + Σm-1p=1mC4 sendo que mC4 = nC3 + Σn-1m=1nC3 compreende-se  que isto apenas faz sentido se continuar sempre com n = m = p sucessivamente até chegar à coluna diagonal 0 em que nC0 = 1n sendo nesta Σ nC0= Σ 1n.
Exemplificando no triângulo aritmético; com n = m = p = 4 vem:
Coluna 5
 4C5 = 56
Coluna 4
 4C4 = 35; 3C4 = 15; 2C4 = 5; 1C4 = 1;
Coluna 3
  4C3 = 20; 3C3 = 10; 2C3 = 4; 1C3 = 1;
Com n = m = p = 4 adequando e substituindo os valores na fórmula abstracta fica: 
 pC5 = mC4 + Σm-1p=1mC4 sendo que mC4 = nC3 + Σn-1m=1nC3
 56 = pC5 = 4C5 = mC4 + 1C4 + 2C4 + 3C4 sendo que mC4 = nC3 + 1C3 + 2C3 + 3C3
Portanto: 56 = pC5 = nC3 + 1C3 + 2C3 + 3C3+ 1C4 + 2C4 + 3C4 como n = m = p resulta
 56 = pC5 = 20 + 1 + 4 + 10 + 1 + 5 + 15 = 56
Assim, a tentativa de definição recursiva das séries infinitas, no triângulo aritmético, implica em sucessivas recorrências às séries infinitas das colunas anteriores.

Séries infinitas transcendentais e o triângulo aritmético
As infinidades de infinitos somatórios de infinitas séries de somatórios infinitos de infinitas sucessões (aritméticas, geométricas ou outras) de números infinitos, tudo infinitamente sucessivo, numa infinidade sem fim, são designadas séries infinitas transcendentais ou simplesmente séries transcendentais.
São infinitas, as séries infinitas que se podem estabelecer, de modo infinitamente variável, no triângulo aritmético constituindo uma série infinita transcendental assim representada algebricamente: Σ1n. Na verdade, o triângulo aritmético, ou de Pascal, pode ser assim determinado: Triângulo aritmético = Σ Σ Σ Σ Σ  … Σ Σ Σ 1n … = ∞Σ1n
Assim como as séries dizem respeito ao somatório, até ao infinito, dos termos de uma sucessão, também as séries infinitas transcendentais dizem respeito ao somatório, até ao infinito, das séries; por conseguinte, as séries infinitas transcendentais correspondem a infinitos somatórios de somatórios que respeitam as propriedades dos somatórios, em geral, com as respectivas operações matemáticas.
Ao operar com séries infinitas transcendentais, pode ser necessário determinar, com alguma exactidão, certos valores ou parâmetros de algum, ou alguns, somatórios intercalados na série infinita transcendental de somatórios; a notação que determine esses valores ou parâmetros deve-se aproximar, o máximo possível, da notação matemática associada aos somatórios, de modo a tornar intuitiva a compreensão e uso operacional das séries transcendentais.

O todo e as partes no triângulo aritmético
A expressão algébrica Σ1n, enquanto série infinita transcendental, tem validade matemática enquanto representante de todo o triângulo de Pascal. Como já aqui foi referido, o triângulo aritmético tem três eixos dimensionais com tês variáveis que são as colunas, as linhas e as combinações simples; portanto, qualquer que seja a restrição ou limitação colocada ao triângulo, desde que pelo menos uma destas dimensões, ou variável, mantenha o aspecto de infinitos somatórios de somatórios, ainda se pode afirmar que se trata de uma série infinita transcendental; por outro lado, se forem colocadas restrições ou limitações determinísticas a todas as três dimensões, ou três variáveis, do triângulo de Pascal, pois então, ainda que sejam usados somatórios de somatórios, o facto de perderem o carácter infinito, também faz perder o carácter de séries infinitas transcendentais; na verdade, um triângulo completamente finito, limitado nas três dimensões e, por isso, contido no interior do triângulo de Pascal, ainda que seja definido em termos de sucessivas recorrências recursivas e com somatórios de somatórios, pelo facto de não ter carácter infinito perde o aspecto de série infinita transcendental. Compreender as séries infinitas transcendentais é saber que estas consistem de infinidades de infinitos somatórios de infinitas séries de somatórios infinitos de infinitas sucessões (aritméticas, geométricas ou outras) de números infinitos, tudo infinitamente sucessivo, numa infinidade sem fim.

Restrições transcendentais ao triângulo de Pascal
Há restrições que podem ser colocadas na representação algébrica do triângulo de Pascal, Σ1n, mantendo esta representação o seu carácter de série infinita transcendental. Como se verifica, qualquer termo da coluna diagonal 1, resulta do somatório da coluna diagonal 0, até esse valor. A fórmula geral da coluna 0 é 1n pelo que Σ1n tem como resultado a coluna 1; se agora considerarmos infinitos somatórios de somatórios mas cuja contagem não se inicia no número 0 mas num número K qualquer, e esta soma se prolongar até infinito, pois estamos a colocar restrições ao inicio do triângulo de Pascal mas a sua representação algébrica mantém o carácter de série infinita transcendental; ficando portanto assim representada: Σn=k1n, com K = qualquer número natural.
Exemplificando:
 Se k = 9 fica Σn=91n portanto, mantém o carácter de série infinita transcendental, porque se trata de uma infinita soma de somatórios infinitos, mas tem restrições porque a contagem da soma se inicia no número 9 e se prolonga até infinito.
Outra categoria de restrições transcendentais surge associada à fórmula geral das colunas diagonais. Assim, sabemos que a fórmula geral da coluna diagonal 1 é n pelo que Σn tem como resultado a coluna diagonal 2; se agora considerarmos infinitos somatórios de somatórios infinitos, a partir da coluna diagonal 1, pois, surge a seguinte representação algébrica Σn que é uma série infinita transcendental do triângulo de Pascal, com restrições, já que parte da coluna diagonal 1; ainda nesta categoria de restrições podemos considerar a fórmula geral da coluna diagonal 2 que é: n(n+2)/2 cujo somatório Σn(n+2)/2  tem como resultado a coluna diagonal 3: se, continuando estes raciocínios, agora considerarmos infinitos somatórios de somatórios infinitos, a partir da coluna diagonal 2, pois, surge a seguinte representação algébrica Σn(n+2)/2 que é uma série infinita transcendental do triângulo de Pascal, com restrições, já que parte da coluna diagonal 2. Vimos duas categorias de restrições à representação algébrica do triângulo de Pascal cujos resultados mantêm o carácter de séries infinitas transcendentais; se agora juntarmos as duas categorias de restrições transcendentais, pois, ainda se mantém o carácter de série infinita transcendental, por exemplo, assim:  Σn=k n(n+2)/2  a junção das duas categorias de restrições limita o triângulo de Pascal nas linhas e nas colunas, porém mantém o carácter de série infinita transcendental já que a terceira dimensão, ou variável, do triângulo continua até ao infinito permitindo infinitos somatórios de somatórios infinitos; repare-se que a soma infinita dos infinitos somatórios se inicia em k, com uma fórmula geral bem definida, mas vai até infinito, por isso se mantém como série infinita transcendental.
    
Estudo breve das séries infinitas transcendentais
Enquanto uma série é o simples somatório dos termos de uma sucessão, ou sequência, de números; uma série infinita transcendental consiste em infinitos somatórios dos termos de uma série infinita portanto, uma série infinita transcendental, diz respeito a somatórios de somatórios, mas não são somatórios em número finito ou determinado, é a soma infinita de infinitos somatórios.
As séries infinitas transcendentais, ou simplesmente designadas séries transcendentais podem, ou não, por semelhança com as outras séries matemáticas, convergir para um determinado limite. Uma série infinita transcendental como a que representa o triângulo de Pascal Σ1n, tem como limite; ou seja: limn-> Σ1n -> no entanto, outras séries transcendentais poderão ter outros limites; por exemplo, basta uma pequena alteração na série transcendental do triângulo de Pascal e já surge outro limite, assim, se fizermos 1n = (-1) n vem:
 limn-> Σ(-1)n -> 0 no entanto limn-> Σ(-1)n -> ∞ (com n par) por outro lado
 limn-> Σ(-1)n -> - ∞ (com n impar).

Séries infinitas transcendentais e o triângulo de Patrício
Por analogia comparativa, pode-se afirmar que o triângulo aritmético, ou de Pascal, tem uma certa familiaridade com as sequências, sucessões ou progressões, aritméticas cuja razão se soma ao termo anterior; por outro lado, o triângulo de Patrício tem uma certa familiaridade com as sequências, sucessões ou progressões geométricas, cuja razão se multiplica pelo termo anterior. Salienta-se que, nenhum destes triângulos, Pascal e Patrício, resultam de sucessões ou progressões, pois nestas expressões numéricas, relacionadas com os triângulos, as respectivas razões são também variáveis, até ao infinito, numa tridimensionalidade própria dos triângulos com recorrências recursivas de infinitos somatórios de somatórios infinitos, o que lhes confere o carácter de séries infinitas transcendentais.
O triângulo de Pascal diz respeito a combinações simples, ou sem repetição, por outro lado o triângulo geométrico de Patrício diz respeito a arranjos com repetição, assim, enquanto a representação algébrica transcendental do triângulo de Pascal se faz pela expressão Σ1n, salienta-se que a representação algébrica do triângulo geométrico de Patrício parece ser melhor representada pela expressão geral: Σpn, porém, também aqui, podem ser colocadas restrições, ou limitações determinísticas, a esta série infinita transcendental em qualquer dos seus eixos, dimensões ou variáveis, da sua tridimensionalidade triangular.

Séries infinitas transcendentais e o triângulo factorial de Patrício
Sabe-se que o triângulo de Pascal e o geométrico de Patrício, poderão ser representados por uma espécie de matrizes matemáticas de aspecto “furado”, “quebrado” ou triangular; estas matrizes matemáticas podem facilitar a realização de cálculos, como a multiplicação, entre os triângulos de Pascal e o triângulo geométrico de Patrício para originar o triângulo factorial de Patrício. Em termos de análise combinatória o triângulo aritmético diz respeito a combinações simples, o triângulo geométrico de Patrício diz respeito a arranjos com repetição; finalmente o triângulo factorial de Patrício, que resulta da multiplicação matricial, isto é, posição a posição ou local a local, entre as combinações do triângulo de Pascal, alternadamente positivo e negativo, com os arranjos do triângulo geométrico de Patrício, diz respeito a permutações. As permutações são um caso particular de arranjos simples, ou sem repetição, em que o número de elementos escolhidos é igual ao número total de elementos do conjunto considerado.
As séries infinitas transcendentais podem ser efectuadas, com as devidas adaptações matemáticas, com somatórios mas também com produtórios. O triângulo factorial de Patrício constitui uma série infinita transcendental pois a sua tridimensionalidade triangular permite infinitos somatórios de somatórios infinitos pelo uso de recorrências recursivas entre linhas e colunas no cálculo determinístico da sua totalidade numérica. Em termos de série infinita transcendental, a formulação algébrica que melhor parece representar o triângulo factorial de Patrício, será dada pela expressão geral: Σp!.

Séries infinitas transcendentais de produtórios e o triângulo factorial de Patrício
Tradicionalmente, as séries dizem respeito ao somatório, até ao infinito, dos termos de uma sucessão; trata-se, portanto, de séries de somas, ou adições, até ao infinito. É notoriamente evidente que, por analogia comparativa, as séries de somas podem ser substituídas por séries de produtos, ou multiplicações, surgindo as séries de produtórios que dizem respeito, portanto, ao produto ou multiplicação, até ao infinito, dos termos de uma sucessão. A linguagem referente às séries passará a ter de especificar o tipo de série, isto é: série de somas com somatórios ou série de produtos com produtórios.
Assim como as séries infinitas transcendentais de somatórios correspondem a infinitos somatórios de somatórios, também as séries infinitas transcendentais de produtórios correspondem a infinitos produtórios de produtórios.
O triângulo factorial de Patrício, pode ser considerado, tanto do lado das linhas como do lado das colunas, infinidades de infinitas de séries de produtórios infinitos de infinitas sucessões de factoriais infinitos que se repetem de modo infinitamente sucessivo até ao infinito, numa infinidade sem fim, constituindo portanto uma série infinita transcendental de produtórios que poderá ser algebricamente representado assim: πp!

Relações matemáticas entre os triângulos, aritmético, geométrico e factorial de Patrício
A relação matemática que se estabelece entre os triângulos, aritmético, geométrico e factorial de Patrício é, de um modo geral, definida pelo produto entre combinações simples, alternadamente positivas e negativas, pelos arranjos com repetição tendo como resultado as permutações.
Esta relação matemática pode ser efectuada de modo pictórico ou intuitivo através de gráficos, desenhando os três triângulos e efectuando os cálculos ponto a ponto, localização a localização; mas também pelo uso adequado de matrizes matemáticas adaptadas com as respectivas regras operacionais; há uma terceira via que respeita à realização algébrica desta multiplicação como uma operação definida através da álgebra abstracta contemplando uma relação matemática entre as séries infinitas transcendentais respectivamente para o triângulo aritmético, geométrico e factorial de Patrício, assim: Σ1n * Σpn =  Σp!
   
Análise do cálculo algébrico entre os triângulos, aritmético, geométrico e factorial de Patrício
Analisar a fórmula algébrica de Patrício Σ1n * Σpn =  Σp! do cálculo entre os três triângulos permite constatar que as somas infinitas de infinitos somatórios infinitos envolvendo séries de operações de adição e multiplicação, na forma de sucessões, ou sequências, de carácter aritmético, geométrico e factorial, estabelece uma igualdade determinística de resultados.
Esta fórmula é, apenas, o ponto de partida para uma nova classe de determinações algébricas que são as séries infinitas transcendentais. Uma abordagem mais globalizante permite, desde já, prever que as séries transcendentais, enquanto classe de instrumentos ou ferramentas matemáticas possam, num futuro próximo, abrir novos caminhos e novos rumos à exploração das matemáticas puras e aplicadas.
Ficheiro Completo e Actualizado para Download
 Doutor Patrício Leite, 19 de Agosto de 2018