Pré-requisitos
Introdução filosófica
Introdução ao método das diferenças
finitas
Breve
sinopse histórica das diferenças finitas
História da fórmula de Patrício Leite
Objectivo
introdutório
Desenvolvimento
conceptual
Sucessões e
funções
Sucessão de
diferenças
Sucessão de
diferenças e fórmula de Patrício Leite
Derivadas
de funções
Derivadas
de funções e fórmula de Patrício Leite
Triângularidade das sequências, funções e fórmula de Patrício Leite
Comparação
entre sucessão de diferenças e sucessão de derivadas
Recorrência da ordem e ordem recorrente
Transcendência da ordem
Síntese Filosófica conclusiva
Síntese pessoal
Pré-requisitos
A
apreciação desta obra de arte cognitiva, necessita, como pré-requisitos, um
conjunto de atitudes e conhecimentos que nem todas as pessoas manifestam: nem
todas as pessoas apreciam todo e qualquer tipo de arte …, nem todas as pessoas
apreciam todo e qualquer estilo de arte …, nem todas as pessoas apreciam toda e
qualquer obra de arte. Efectivamente, a apreciação da harmonia estética, requer
atitude, disposição pessoal, cultura e conhecimento: uma breve história do
pensamento e das ideias científicas, uma atitude filosófica fundamental, uma
procura insaciável de conhecimento, um neopitagorismo que vê na ordem matemática
os fundamentos da ordem do universo, são condições indispensáveis para a
apreciação desta obra de arte cognitiva. São também necessários conhecimentos
sobre recorrências e matemática das diferenças finitas, das sucessões e
progressões, sequências e séries infinitas, do triângulo de Pascal, binómio de
Newton e análise combinatória, dos fundamentos da teoria dos números, do
cálculo diferencial e integral com as respectivas derivadas e primitivas a
incluir na análise infinitesimal de funções, enfim, … quanto maior for a
facilidade e destreza com que se manobram os conceitos e raciocínios da
matemática, condimentados pela filosofia epistemológica das ciências, pois,
também, maior será a apreciação da harmonia estética que se retira deste ensaio
como uma verdadeira obra de arte cognitiva.
Introdução filosófica
A
cultura dominante e a educação académica promovem, constantemente, um realismo
empírico tendente a impor a imanência de uma ordem natural; por conseguinte nós,
seres humanos, aceitamos facilmente uma ordem da natureza, porém, desconhecemos
a natureza da ordem. A omnipresença da ordem parece irrenunciável, porém,
desconhecemos se esta transcende o ser humano que a contempla. Será a ordem
imanente ao objecto observado que se impõe ao observador? Pelo contrário; será
o construtivismo do sujeito observador que cria a ordem? Será a ordem um
produto dualístico da interacção entre o sujeito observador e o objecto
observado? Tendencialmente, reconhece-se a origem essencial da ordem como
indissociavelmente ligada ao construtivismo humano; por exemplo: sendo o
alfabeto um produto próprio do construtivismo humano, pois, a sua sequência
ordenada unidireccional permite localizar uma letra na sua posição sequencial;
por outro lado, generalizando, em ciclos de repetição bidireccional, tornam-se
necessários dois elementos para localizar um terceiro. Apesar de toda a
criatividade filosófica, pois, neste ensaio basta tão-somente, conceptualizar a
existência da ordem como aquilo que permite localizar uma posição.
As
sucessões e sequências ordenadas constituem padrões de repetição sobejamente abordados
pela matemática finita ou discreta, porém, esta matemática baseia todos os seus
fundamentos na ordem sequencial dos números naturais; efectivamente, é a partir
deste conjunto numérico que, por indexação, se conhecem e retiram todos os
termos sucessivos das sequências algébricas. A sequência dos números naturais
resulta da recorrência ordenada que sucessivamente acrescenta mais uma unidade
ao termo sequencial anterior; também, a sequência dos números reais (análise
funcional) com as teorias da continuidade e limites de funções, aponta para o
acrescento sucessivo de um fragmento unitário recursiva e sucessivamente
dividido (até ao infinito) pela respectiva base numérica decimal, ou qualquer
outra base numérica que fosse considerada, configurando uma continuidade descontínua
ou uma descontínua continuidade que, paradoxalmente, permite, sempre e
sucessivamente, o acrescento recursivo de mais uma fronteira, e outra, e outra,
… a confrontar o espaço entre a fronteira anterior e o espaço que a limita; por
conseguinte, em teoria dos números, parece racionalmente legítimo considerar,
também, o número: não apenas como um ponto ou linha fronteiriça, mas sim como
um intervalo diferencial que interliga a matemática discreta com a continuidade
numérica. Obviamente, na actual teoria dos números, pois, o intervalo entre os
números não é sempre igual; aliás, pelo contrário, parece mais racional
considerar o intervalo entre os números sempre diferente, sempre desigual: esta
desigualdade intervalar, inter-numérica, torna-se manifestamente patente na
irregularidade natural e inteira dos números primos. A irregularidade dos
números primos foi ultrapassada com os números racionais e respectiva regularidade
das dízimas infinitas periódicas; por outro lado, a irregularidade das dízimas
infinitas não periódicas associada aos números irracionais suscita novos
problemas, novas interrogações matemáticas que se tentam resolver pela
classificação dos números irracionais em algébricos e transcendentes, numa
coerência lógico – racional proporcionada pelo corpo dos números complexos;
contudo, tratando-se de uma criatividade imaginária, de uma autêntica produção
humana, de uma ordem produzida pela representatividade linguística dos números
complexos, pois, será de maior harmonia promover qualquer representação
numérica como a potência fraccionária de um número fraccionário: um número
potencial cuja base é uma razão (ou fracção) e cujo expoente também é uma razão
(ou fracção) de tal modo que se possa afirmar categoricamente toda a
representatividade numérica como o corpo dos números racionais elevado (ou
exposto) ao corpo dos números racionais.
A
omnipresença da ordem, tanto na matemática quanto nas restantes interacções
diferenciais da humanidade filosófica é, sempre, produzida pela repetição
harmónica da proporcionalidade analógica, num construtivismo relacional entre a
repetição de recorrências sucessivas e a substituição de confinantes limites
terminológicos; contudo, no tempo presente, neste tempo em que a inteligência
artificial vem substituir a repetição sucessiva da ordem construtiva; resta a
criatividade humana, resta a imaginação criativa capaz de gerar concepções
cognitivas que ultrapassam e transcendem a inteligência artificial, a
inteligência da máquina; este pensamento, esta imaginação criativa humana gera
a obra de arte, a arte do pensamento; é esta arte cognitiva que este ensaio
filosófico – matemático procura traduzir: o pensamento como arte! a arte do
pensamento!
Introdução ao método das diferenças
finitas
A
terminologia matemática “diferenças finitas” constitui uma redundância
filosófica, efectivamente, qualquer definição é, por necessidade intrínseca,
finita. Paradoxalmente, se a diferença não fosse finita, teria de ser sempre
igual e, … sempre igual, … não seria diferente! Contudo, …
Designa-se
a identidade ∆
por operador diferença.
O operador diferença (∆) pode interagir com
outros operadores matemáticos como os operadores aritméticos de soma,
subtracção, multiplicação ou divisão.
Constata-se que a subtracção não assume a
propriedade comutativa, por conseguinte, conclui-se que a subtracção pode
traduzir uma diferença, porém, a diferença não é apenas uma subtracção.
Para qualquer sequência Un define-se: ∆hUn
= Un+h - Un notar que h pode assumir valores constantes
ou variáveis sendo considerado como o espaçamento, passo ou a etapa de avanço
ou recuo conforme assume valor positivo ou negativo; normalmente o valor
assumido é: h = 1 pelo que este se omite e a expressão fica: ∆Un = Un+1
- Un sendo que o operador de diferença finita por ordem
ascendente se calcula assim:
Ordem
zero: ∆0Un = Un
Ordem
primeira: ∆1Un
= ∆0Un+1 - ∆0Un
Ordem
segunda: ∆2Un
= ∆1Un+1 - ∆1Un
… … …
Ordem
enésima: ∆mUn
= ∆m-1Un+1 - ∆m-1Un
Portanto, a sucessiva recorrência da diferença
entre diferenças sucessivas traduz a ordem do operador de diferença.
Mais,
sabemos que numa progressão aritmética de números naturais, a razão é
constante; sabemos também que, numa progressão aritmética, adicionando a razão
a um termo se obtêm precisamente o termo ascendente que se sucede:
Un = Un-1 + r (razão);
logo, Un+1 = Un + r = Un-1 + 2r; este tipo de
raciocínio permite encontrar o termo geral e, para uma determinada ordem do
operador de diferença finita, ultrapassar a relação de recorrência.
Agora,
usando recursivamente o operador de diferença finita, encontra-se a ordem da
progressão aritmética, precisamente, quando a ordem deste operador de diferença
tem como resultado uma constante.
Para
a sequência Un
quando a diferença de segunda ordem ∆2Un
= ∆1Un+1 - ∆1Un = constante
(tem como resultado uma constante), pois, diz-se que a sequência Un é uma progressão aritmética de
primeira ordem. Por generalização, a ordem de uma progressão aritmética,
encontra-se quando a ordem recursiva da diferença sucessiva tem como resultado
uma constante: ∆mUn
= ∆m-1Un+1 - ∆m-1Un = constante.
Considerando:
∆0Un
= 1Un
mas também ∆1Un = 1Un+1 - 1Un ou seja, sabendo que ∆Un
= Un+1 - Un pois, então ∆2Un = ∆(∆Un)
= ∆(Un+1 - Un) = ∆Un+1 - ∆Un =
= Un+2 - Un+1 - ∆Un = Un+2 -
Un+1 - Un+1 + Un = 1Un+2 - 2Un+1
+ 1Un
Mais:
∆3Un
= ∆(∆2Un)
= ∆(Un+2 - 2Un+1 +
Un) = ∆Un+2 - 2∆Un+1
+ ∆Un = Un+3 - Un+2 – 2(Un+2 - Un+1)
+ Un+1 - Un = Un+3 - Un+2 – 2Un+2
+ 2Un+1 + Un+1 - Un = 1Un+3 - 3Un+2
+ 3Un+1
- 1Un
A continuação deste raciocínio permite concluir
que conforme se avança sucessivamente na ordem do operador de diferença, pois,
assim esse avanço corresponde ao avanço sucessivo da linha do triângulo
aritmético ou de Pascal. Por conseguinte, constata-se que a relação
generalizada entre a ordem do operador de distância e a linha do triângulo de
Pascal pode ser assim estabelecida:
∆mUn
= Σmk=0
(-1)k(mk) Un+m-k sendo que m corresponde ao
número natural que define a posição ordenada da sequência na escala ordenada
pelos números naturais. Trata-se, como que uma variação, da variação, da
variação, … da posição da sequência que, recursivamente, varia na escala dos
números naturais; assim:
∆0Un = Un
não varia, não tem diferença, qualquer que seja o valor da sucessão, pois, esse
valor não varia, mantém-se constante, ou seja, ∆0 consiste apenas no operador de diferenças finitas que
define uma sequência; sequência que, por sua vez, está indexada à sucessão
ordenada dos números naturais
∆1Un = trata-se da
primeira variação (m=1), portanto, da primeira diferença. Efectivamente, quando
se afirma que ∆1Un
= Un+1 - Un pois o que está a variar é o índice que
ordena a sucessão na escala ordenada dos números naturais; notar que a sucessão
Un é definida recursivamente e o que variou desde ∆0 até ∆1 foi o valor do índice que a indexa, que a posiciona na
escala ordenada dos números naturais; por isso se chama variação de primeira
ordem. Por conseguinte, diz-se que o valor de m = variação da posição da
sequência na escala dos números naturais, o valor de n = variação da própria
sequência; mas atenção, para se calcular o valor da própria sequência, em si, é
necessário conhecer o termo ou fórmula geral que a define ou, então, ir
variando recursivamente de termo até encontrar o termo que, finalmente, a concretiza
num número constante.
∆2Un
= ∆(∆Un) = a variação da posição da sequência na escala ordenada dos
números naturais varia novamente e, por isso, se chama variação de segunda
ordem (m =2).
Em cada nível ou número de ordem de variação (m),
portanto, ordem 0, 1, 2, …m; pode existir uma variação da sequência que é, ou
não, constante: Quando a sequência varia de forma constante, pois, estamos
perante uma progressão aritmética cuja razão é igual ao valor dessa constante e
cuja ordem é dada pela ordem do
respectivo operador de diferença finita.
Mais,
em cada
nível ou número de ordem de variação (m) a variação recursiva da sequência (Un)
segue a ordem de distribuição das combinações simples ao longo da respectiva
linha (m) do triângulo aritmético ou de Pascal, assim:
∆mUn
= Σmk=0
(-1)k(mk) Un+m-k sendo k = variação das colunas ao longo da
linha (m) do triangulo de Pascal.
Breve
sinopse histórica das diferenças finitas
Compreende-se que uma simples identificação da
diferença surge, sempre, no momento da escolha; no momento em que a comparação,
como um dos raciocínios cognitivos, se torna imprescindivelmente fundamental
para a tomada de decisão. Ao longo do desenvolvimento filogenético da
humanidade, quando o homem sabendo distinguir a diferença, também a conseguiu
isolar dos restantes objectos da comparação, pois, tratou de a quantificar; ou
seja, tratou de isolar e quantificar a variabilidade entre objectos e padrões
comparativos. Todas as civilizações, todas as culturas, todas as sociedades
primitivas têm resíduos históricos das diferenças finitas como resultado da
aplicação do método analógico comparativo num raciocínio estruturado. Quando
Heraclito, no seu raciocínio dialéctico,
constatou a mudança permanente do mundo, a eterna variação, o eterno devir,
pois, presumiu-se necessariamente, a variabilidade da realidade observável e,
por conseguinte, a diferença finita entre realidades distintas; efectivamente,
se tudo fosse homogéneo, se tudo fosse igual, digamos, numa igualdade infinita,
pois, seria impossível constatar alteração, seria impossível constatar mudança,
seria impossível constatar a variabilidade entre objectos distintos; por outro
lado, Zenão, em oposição ao devir de Heraclito, argumentava contra a mudança e
o movimento através de paradoxos ardilosamente construídos. O paradoxo de Zenão
entre Aquiles e a tartaruga, manifesta claramente uma tentativa de quantificar,
matematicamente, a variabilidade de diferenças finitas numa sucessão, ou sequência,
de recorrências entre distâncias já percorridas e distâncias a percorrer.
Ao
longo da história das ciências, a matemática das diferenças finitas teve uma
evolução lenta com períodos de grande estagnação, contudo, Newton
e Leibniz ao trabalharem com diferenças finitas mas tendencialmente cada vez
mais pequenas acabaram por desenvolver o cálculo diferencial e integral numa
correlação entre a matemática discreta das sequências de números naturais e a continuidade
dos números reais em análise infinitesimal de funções reais de variável real.
História da fórmula de Patrício Leite
Por
analogia comparativa com a teoria da relatividade restrita, cuja velocidade da
luz se assume como constante máxima, absoluta e finita; pois, também, Patrício
Teixeira Leite, procurou uma densidade máxima, constante e absoluta. Se a
velocidade constante máxima da luz promovia, através do fotão, como partícula
fundamental, a unidade do espaço - tempo com necessidade de uma quarta dimensão
num espaço linear; pois, também, a densidade máxima e constante do universo,
através do densitrão, como partícula fundamental, iria promover a unidade da
massa – volume com necessidade de uma quinta dimensão num espaço volumétrico. A
coerência do raciocínio analógico estava perfeita, porém, tornava-se necessário
dar consistência matemática ao densitrão. A velocidade e a densidade são
grandezas derivadas que resultam de um gradiente fraccionário de variação
incremental. As diferenças finitas constituem os fundamentos matemáticos da
variação incremental; também, a fórmula que relaciona a massa com a energia,
assume o valor quadrático da velocidade da luz; neste contexto, Patrício Leite
realizou, empiricamente, cálculos mentais com diferenças sucessivas de números
potenciais com expoente 2 (dois) e base sucessivamente crescente dos números naturais:
na segunda série destas sequências de diferenças encontrou o número dois;
repetiu, então, o mesmo procedimento para números potenciais de expoente três e
na terceira série de diferenças sucessivas encontrou o número 6; continuando o
procedimento acabou por concluir que repetindo as séries de sequências de
diferenças em número igual ao expoente das potências, pois, iria encontrar o
factorial desse expoente. Pensou que tinha conseguido acabar com a
imperatividade da recorrência factorial por transformação no correspondente polinómio,
porém, posteriormente verificou que se tratava apenas de substituir uma
recorrência por outras; efectivamente, com a relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n
(sendo
que a1, a2,
a3, a4,
a5, a6,
… a1 são a sequência dos números ao
longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal); pois, a recorrência
factorial é substituída pela recorrência de números potenciais (cuja base é
sucessivamente decrescente) que multiplica sucessivamente pela recorrência
algorítmica do triângulo aritmético.
Numa
primeira etapa, decidiu traduzir esta relação fundamental na seguinte fórmula:
n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n posteriormente, através de pensamento criativo, empírico e paralelo,
ou lateral, decidiu transformar o valor 1 num qualquer valor z assim:
n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n
Objectivo
introdutório
O presente ensaio tem por objectivos a ampliação e
compreensão da fórmula de Patrício Leite no desenvolvimento do actual contexto
histórico e filosófico do pensamento matemático e científico. Efectivamente, a referida
fórmula e a sua história, sobre o modo como Patrício Leite a descobriu, já
estão publicadas e divulgadas; contudo, salienta-se que a continuidade
produtiva de pensamento criativo do autor já conduziu à produção de
aproximadamente 150 páginas, condensadas, em formato A4 e letra de tamanho 11,
constituintes de uma pré-publicação com grandes avanços e desenvolvimento desta
fórmula, mas ainda não divulgadas; porém, agora, neste simples ensaio de
matemática criativa apenas se procura enquadrar a fórmula no desenvolvimento
histórico das diferenças finitas em interacção indissociável com a história da
matemática combinatória, das probabilidades e estatística, do cálculo
aritmético, algébrico e geométrico, da análise matemática e do cálculo
diferencial, integral e infinitesimal, … enfim, … da ligação paradoxal,
matemático – filosófica, entre a continuidade e a descontinuidade, a
estabilidade e a mudança, o finito e o infinito, a igualdade e a diferença, …
num dualismo reducionista, típico do pensamento científico e cultural dos
nossos tempos.
Desenvolvimento
conceptual
A matemática da antiguidade desenvolveu a
cognição conceptual das sucessivas diferenças finitas numa perspectiva
discreta, finita, dos números naturais e inteiros, das sequências ou sucessões
e progressões aritméticas e geométricas; o desenvolvimento prosseguiu pela
idade média até encontrar a continuidade infinitesimal dos números reais na
Europa da idade moderna e contemporânea; porém, enquanto as sequências ou
sucessões se centravam no conceito linear monodimensional e discreto da ordem
sequencial dos termos da sucessão, pois, a análise infinitesimal passou a
focar-se na continuidade da correspondência bidimensional entre variáveis
dependentes e independentes cuja representação gráfica se efectua no plano
cartesiano. Com a análise funcional, os limites das sucessões de números naturais
e inteiros transformaram-se nos limites das funções reais de variável real numa
tendência de continuidade infinitesimal que, num ponto específico de uma curva
determinará, no contexto histórico da matemática, o coeficiente angular da
recta tangente como declive e derivada dessa função linear e, pela respectiva
função inversa, a primitiva, que quando definida entre valores concretos irá
constituir uma integral que delimita a respectiva área.
As séries infinitas de sequências, traduzidas por
somatórios de diferenças finitas, inspiraram a série polinomial de Newton e,
ligeiramente mais tarde, a série de Stirling no entanto, entenda-se: é através das
partições de conjuntos, melhor, do número de maneiras de particionar um
conjunto de m elementos em n conjuntos não vazios, que se exprimem
os números de Stirling do segundo tipo, assim denotados: S(m,n).
Repare-se, agora, atentamente, que um conjunto de
m elementos, só tem uma maneira de
ser particionado em um único subconjunto, mas também só tem uma maneira de ser
particionado em m subconjuntos; por
conseguinte, na denotação aqui adoptada: S(m,n),
pois, n = 1 ou então, m = n, assim: S(n,1) = S(m,m) = S(n,n) = 1.
Nestas condições, a fórmula explícita para os
números de Stirling do segundo tipo, assim definida S(m,n) = 1/n!(Σnk=0(nk)(-1)k(n-k)m) quando assume os valores:
S(n,1) = S(m,m)
= S(n,n) = 1
fica assim transformada: 1 = 1/n!(Σnk=0(nk)(-1)k(n-k)n) ou seja: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n-k)n que corresponde precisamente à fórmula de Patrício
Leite quando z =
0 assim: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n.
O
desenvolvimento cognitivo histórico do pensamento matemático, avançou da
conceptualização discreta e descontínua das diferenças finitas, numa
perspectiva linear euclidiana monodimensional, para a representatividade bidimensional
do plano cartesiano numa continuidade proporcionada pela análise funcional,
infinitesimal, das derivadas. Pensadores, como Stirling, promoveram avanços
significativos na interligação entre as diferenças finitas, os factoriais, as
permutações e a análise combinatória: os números de Stirling do primeiro e
segundo tipo constituem exemplos típicos desta ligação à combinatória; no
entanto, saliente-se, a fórmula expressa dos números de Stirling de segundo
tipo é muito diferente da fórmula de Patrício Leite; efectivamente, basta
reparar cuidadosamente para verificar as diferenças; aliás, a fórmula de
Stirling apenas assume valores coincidentes com a de Patrício Leite num único caso
muito particular e muito concreto, seja: S(n,1) =
S(m,m) = S(n,n) = 1 da fórmula de
Stirling e, concomitantemente, z = 0 na fórmula de Patrício Leite.
Surge,
agora, uma nova conceptualização do pensamento matemático; efectivamente, já
ultrapassamos a perspectiva monodimensional das razões aritméticas e
geométricas cuja constância transforma as sequências ou sucessões nas respectivas
progressões aritméticas e geométricas; também já ultrapassamos a noção de coeficiente angular da recta tangente como declive e derivada dessa
função linear cuja constância, no limite, confere continuidade a essa função
representada no plano bidimensional; porém, agora sim, agora, avançamos para
novas conceptualizações, novas ideias, novos conceitos matemáticos que através da
periodicidade verificada para os filamentos, segmentos ou fragmentos, associados
ao valor periódico z acrescentam,
com a fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n, uma outra dimensão qualitativa caracterizada
pela curvatura dimensional simultaneamente indissociável, das restantes
dimensões. Efectivamente, na evolução histórica do pensamento, primeiro surge
uma simples sequência ordenada dos números naturais e inteiros numa recta
euclidiana unidimensional; depois surge o ângulo recto que permite um plano cartesiano,
bidimensional, limitado por duas rectas perpendiculares formando, assim, a
origem dos eixos das abcissas e ordenadas. O espaço tridimensional assim como
todos os restantes espaços vectoriais de dimensão infinita, são apenas objectos
de uma álgebra linear caracterizada pela variação quantitativa do número de dimensões
qualitativas, até aqui axiomaticamente definidas como, apenas, rectas e ângulos.
Ainda que a dimensão vectorial infinita fosse representada por funções, pois, a
análise matemática desses espaços funcionais revelaria uma topologia que apenas
permitiria a noção de proximidade e continuidade como limites ou derivadas
dessas funções. As derivadas e primitivas são funções inversas; a derivação e a
primitivação sucessivas constituem novas funções ou aplicações que, numa
perspectiva meta - analítica funcional, transformam um domínio: o domínio de
todas as derivadas, num contra – domínio: o contra - domínio das primitivas;
obviamente, o pensamento inverso, também, validamente, se verifica. O valor
periódico repetitivo de z,
que se verifica, bem patente, na fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n, vai mais longe; efectivamente, a
constante ou variável z, assume uma
periodicidade repetitiva angular mas também, em indissociável simultaneidade
dualística, uma sucessão ou sequência ordenada finita a impor um novo axioma;
um axioma dimensional qualitativo que configura a filosofia matemática da ordem
como um produto dualístico da interacção entre o sujeito observador e o objecto
observado: como que rectas e curvas, linhas e ângulos, se conjugam num dualismo
indissociável; como que a linearidade recta e sequencial da ordem se curva
sobre si própria num turbilhão turbilhonar angular em variabilidade mutacional,
numa infinita e indeterminada continua descontinuidade cujo fim é determinado
pela periódica repetitividade dos filamentos z; portanto, os filamentos, segmentos
ou fragmentos z
de Patrício Leite.
Sucessões e
funções
Sucessões e funções têm muitas diferenças; no
entanto têm, também, vários aspectos em comum. As sucessões podem ser
consideradas um tipo específico de funções; efectivamente, as sucessões podem
ser consideradas um tipo de função cujo domínio é o conjunto dos números
naturais e o contradomínio o conjunto dos números reais. Mais, compreende-se
que em matemática discreta existe um vazio entre dois quaisquer números
seguidos; esta descontinuidade na sequência numérica, característica da
matemática discreta, não se verifica na continuidade dos números reais;
efectivamente, em qualquer sequência de números reais, pois, entre quaisquer
dois números reais seguidos, pode-se sempre considerar uma infinitude de outros
números reais; é esta discreta finitude realmente contínua, esta noção de que o
infinito está contido, está dentro do finito, que proporciona a noção de
continuidade tendencial dos números reais. Tanto em matemática discreta como em
continuidade real pode-se, sempre, considerar a recorrência sucessiva como
técnica ou regra para, recursivamente, encontrar termos gerais a partir de
termos particulares sucessivos; por conseguinte, na continuidade deste ensaio
cognitivo, filosófico matemático, sempre que tal não pareça relevante, pois,
também se não especificará o conjunto numérico com que se está a trabalhar.
Sucessão de
diferenças
A definição de uma sucessão, por recorrência,
reporta por indexação para a sequência dos números naturais. Neste contexto,
também, a sucessão sequencial de diferenças finitas é mapeada, ou indexada, através
do operador de diferenças ∆ cuja notação funcional é: ∆f(x) = f(x+1) – f(x).
Quando, em notação de índice, o operador de diferenças ∆ é usado para indexar
sequências surge: ∆Un = Un+1 - Un verificando-se
que, conforme aqui já demonstrado, ao avançar sucessivamente no operador de
diferença finita por ordem ascendente, pois, esse avanço sucessivo, na ordem do
operador de diferença, corresponde ao avanço sucessivo da linha do triângulo
aritmético ou de Pascal, cuja relação geral surge: ∆mUn = Σmk=0 (-1)k(mk) Un+m-k sendo que m traduz a
ordem do operador da diferença finita, isto é, a respectiva ordem de diferença
finita, contudo, repare-se, m traduz também a respectiva linha da ordem do triângulo aritmético ou de Pascal; por outro lado k
corresponde à variação das colunas ao longo da linha m do triângulo de Pascal
ficando a distribuição das combinações simples ordenada pelas linhas m e
colunas k constituintes do triângulo aritmético.
Sucessão de
diferenças e fórmula de Patrício Leite
Considerando a sequência de números potenciais
assim definida: ∆0Un = 1nm com n indexado à sucessão dos números
naturais vem, pelo uso do operador de diferenças ∆ a seguinte expressão: ∆1Un = Un+1 - Un
= 1(n+1)m - 1nm
repare-se que neste exemplo concreto o índice m do operador de diferenças ∆m
é igual a 1; portanto, aqui, m = 1 nestas condições, diz-se tratar-se de uma
diferença de primeira ordem.
Continuando, para uma diferença de segunda ordem:
∆2Un = (∆)∆1U n
= ∆(n+1)m - ∆nm = (n+2)m - (n+1)m -
(n+1)m + nm = 1(n+2)m
- 2(n+1)m + 1nm
Agora, para uma diferença de
terceira ordem:
∆3Un = (∆)∆2U n
= ∆(n+2)m - 2∆(n+1)m + ∆nm = (n+3)m - (n+2)m -
2∆(n+1)m + (n+1)m - nm = (n+3)m - (n+2)m – 2[(n+2)m - (n+1)m] + (n+1)m - nm
= (n+3)m - (n+2)m – 2(n+2)m + 2(n+1)m
+ (n+1)m - nm = 1(n+3)m
- 3(n+2)m + 3(n+1)m
- 1nm
Antes, já aqui se tinha verificado que as
diferenças finitas, aplicadas sucessivamente a qualquer sucessão indexada aos
números naturais, pois, de acordo com a ordem da diferença, assim produziam os
sucessivos números de combinações simples da respectiva linha do triângulo
aritmético. Obviamente, para uma sucessão de números potenciais: nm,
conforme agora definido, pois, também se verifica como resultado a sequência de
combinações simples associada com a respectiva linha do triângulo aritmético,
porém, repare-se, o que determina o número da linha do triângulo de Pascal é a
ordem da diferença finita.
Apesar de, notadamente, agora, se tratar de
diferenças sucessivas de sequências de números potenciais e com isso gerar as
combinações simples dispostas na linha do triângulo aritmético, pois, ainda
estamos muito longe de alcançar o modo empírico como Patrício Teixeira Leite encontrou a relação fundamental de
Patrício: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n. Reparemos que a
aproximação comparativa com a relação fundamental de Patrício se torna
possível, porém, numa primeira etapa é necessário igualar o valor do expoente
da sequência de números potenciais com o valor da ordem da diferença finita;
com esta etapa, com esta igualização, pois, já se obtêm o resultado encontrado
na relação fundamental de Patrício. Por exemplo, se for considerada a sequência
natural de números potenciais com expoente 3, assim: 13; 23;
33; …n3, considerando que o expoente é 3, pois, também,
tanto usando a diferença finita de terceira ordem como usando o método da
relação fundamental de Patrício, o resultado será sempre 3! = 3x2 = 6. Apesar
da igualização de resultados, pois, a diferença utilizada no modo de os
alcançar, em termos matemáticos da investigação operacional, torna o algoritmo
diferente e, consequentemente, também diferente a optimização na tomada de
decisão. Continuando a aproximação por analogia comparativa com a relação
fundamental de Patrício e considerando que Un = nm, sendo
que n traduz apenas o índice da sucessão dos números naturais, pois, por
generalização e fazendo n = m, poderia ser encontrada a expressão: ∆mUn
= a1(m+1)m – a2mm
+ a3(m-1)m – a4(m-2)m + a5(m-3)m – a6(m-4)m + … ± … ± a11m no entanto repare-se que
assim seria ultrapassada a forma recursiva ou recorrente da sucessão ∆Un
= Un+1 - Un porém permaneceria a recorrência inerente ao
triângulo aritmético. Mais, como esta generalização traduz a relação fundamental de Patrício, também se torna lógico que a partir dela se deduz a expansão ∆mUn
= m! = Σmk=0(mk)(-1)k(m+1-k)m
com Un = nm; considerando que n traduz apenas o
índice da sucessão dos números naturais, pois, por conseguinte, torna-se possível
localizar na sucessão dos números naturais, o início da respectiva sequência
finita que traduz a igualdade representada nesta fórmula.
Quando
na sucessão dos números naturais se consegue localizar o início e o fim da
sequência finita, pois, se essa sequência finita adquire periodicidade
repetitiva então a fórmula da relação fundamental de Patrício n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n pode ser transformada na fórmula mais geral: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n
Obviamente
que, nesta numa fórmula mais geral o valor periódico repetitivo de z, traduz a repetitividade periódica dos filamentos,
segmentos ou fragmentos z de Patrício Leite.
Derivadas
de funções
Considerando as sucessões como um tipo de função
cujo domínio é o conjunto dos números naturais e o contradomínio o conjunto dos
números reais, pois, também faz sentido utilizar a notação funcional para o operador
de diferenças ∆ assim definido: ∆f(x) = f(x+1) – f(x); por outro lado, em
funções reais de variável real, existe a noção de continuidade que não estava
presente na matemática discreta dos números finitos. Foi a partir de diferenças
finitas, cada vez menores, que Newton e
Leibniz atingiram
a continuidade infinitesimal do calculo diferencial. A derivada de uma função
dá a continuidade dessa função no limite da sua diferenciação. A definição de
derivada através dos limites de funções surge como uma razão, uma taxa de
variação da função num limite de diferenças cada vez mais pequenas, ou seja; as
diferenças da variável independente são cada vez mais pequenas numa tendência
para zero e quando a função atingir o ponto do seu limite finito, diz-se que a
função originou a sua derivada e por isso, nesse ponto, a função tem de
continuar a existir, ou seja, a função é contínua nesse ponto finito do seu
limite. A continuidade das funções reais de variável real surge com a
proximidade infinita, com a contínua vizinhança, com uma proximidade tão
infinitamente grande que a diferença infinitesimal entre dois números reais se
aproxima mais do valor zero do que de qualquer outro número real diferente de
zero; portanto, numa escala ordenada, infinitesimal é um valor maior do que
zero e mais pequeno do que o menor dos números reais; considerando-se derivada
como uma razão entre dois números infinitesimais.
Derivadas
de funções e fórmula de Patrício Leite
As funções polinomiais são um tipo específico de
funções reais de variável real definidas a partir de polinómios cujo grau
corresponde ao valor do maior expoente da variável do polinómio. É ponto
assente que as derivadas resultam, fundamentalmente, de diferenças, de um modo
de diferenciação, pelo que a aplicação do operador de diferenças ∆ cuja notação
funcional ∆f(x) = f(x+1) – f(x) permite, após a respectiva adaptação e lógica
do raciocínio, deduzir facilmente regras de derivação que, quando aplicadas a
polinómios dão a seguinte fórmula para a primeira derivada: df/dx = nxn-1.
Para derivadas de ordem superior terá de se aplicar regras de derivação
respeitantes a variáveis potenciais mas também a operações de multiplicação,
adição e derivadas de constantes; por conseguinte, segunda derivada: d2f/dx2
= n(n-1)xn-2; terceira derivada d3f/dx3 =
n(n-1)(n-2)xn-3; concluindo, a derivada de ordem n de uma função
polinomial tem a seguinte regra geral: dnf/dxn
= n(n-1)(n-2)… xn-n = n!
Surge agora a constatação de um padrão de
repetição entre as já sobejamente expostas e explicadas sequências naturais de
números potenciais com o mesmo expoente e respectivas subtracções sucessivas
até atingir o factorial em conformidade com a relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n que foi traduzida inicialmente pela fórmula n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n e mais tarde transformada numa fórmula mais geral: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n, padrão de repetição este cujos
resultados são exactamente iguais, conforme aqui verificado, aos das derivadas
sucessivas, porquanto, o resultado, tanto da aplicação da fórmula de Patrício
Leite quanto das derivadas sucessivas de funções polinomiais é, pois, igual ao
factorial do valor do respectivo expoente, assim: dnf/dxn
= n(n-1)(n-2)… xn-n = n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n.
Reconhecidamente,
sabe-se que, ao trabalhar com sequências ou sucessões, pois, está-se a
trabalhar no domínio da matemática discreta ou finita; aliás, as diferenças
finitas reportam exactamente para essa finitude; por outro lado, quando se
trabalha com limites de funções e respectivas derivadas, pois, está-se
precisamente a caminhar para o limite da finitude e, por conseguinte, para o
infinito; efectivamente, a continuidade do infinito tem inicio no fim do finito
em conformidade com Newton e Leibniz e a utilização matemática das derivadas de
funções, pois, iniciou-se o estudo funcional analítico da continuidade dos
números reais. A fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n faz a ligação entre a matemática finita das sequencias ou sucessões e
a matemática da continuidade própria da analise funcional; nesta fórmula o valor periódico
repetitivo de z,
traduz a repetitividade periódica dos filamentos, segmentos ou fragmentos z de
Patrício Leite. Notar que estes fragmentos podem corresponder, apenas, ao
inicio e fim da sequencia natural de números potenciais que, sempre com o mesmo
expoente vão, por operações de sucessivas diferenças finitas, cuja subtracção
se opera até atingir a diferença finita da ordem desse
expoente, ter como resultado final um valor igual ao factorial desse respectivo
expoente; assumindo assim, unicamente, a natureza inteira dos números finitos;
no entanto estes fragmentos z de Patrício Leite podem, também, assumir a
racionalidade fraccionária das dízimas infinitas periódicas; mais, podem
assumir a irracionalidade real das dízimas infinitas não periódicas, a
imaginação dos números complexos ou, por assim dizer, qualquer expressão
numérica que, em última instância, seja introduzida pela teoria dos números.
Efectivamente, os fragmentos z para, inseridos na fórmula de Patrício Leite
assumirem plena validade, apenas precisam de respeitar as regras fundamentais
das operações aritméticas: soma e multiplicação assim como das respectivas
operações inversas de subtracção e divisão.
Triângularidade das sequências, funções e fórmula de Patrício Leite
Quando,
desde finais do século XX, os matemáticos começaram a aceitar, consensualmente,
a definição de matemática como a ciência das regularidades ou padrões, pois,
por inerente racionalidade filosófica ficaram implicitamente associados com a
conceptualização da matemática como a ciência das regras e dos padrões,
portanto, a ciência da repetição; efectivamente a actividade matemática procura
identificar e relacionar repetições: aspectos repetitivos como são as regras ou
padrões que podem ter carácter meramente abstracto, meramente mental mas,
também, encarados como representatividade do mundo material. Abstractamente, o
triângulo configura o fenómeno, a essência fundamental, a condição sine qua non, para a matemática como
ciência da repetição, para a manifestação de regras ou padrões; efectivamente, as
três partes constitutivas do triângulo configuram a mínima diferenciação capaz
de proporcionar padrões, regras ou regularidades que permitem o desenvolvimento
da actividade matemática. O dualismo é, per
se, a essência da diferenciação; a repetição do dualismo forma o triângulo;
o triângulo permite a formação de regras ou repetições e estas permitem a
actividade matemática. Através do princípio aditivo e multiplicativo estabelecem-se
os fundamentos da análise combinatória: o princípio aditivo permite as
combinações que não implicam a existência de ordem; por outro lado, o princípio
multiplicativo permite os arranjos que significam, necessariamente, relações de
ordem; as permutações implicam no arranjo de todos os elementos do conjunto e,
por conseguinte, constituem a maior ordem diferencial em matemática
combinatória.
Em
qualquer sequência ou sucessão, a recorrência repetitiva das respectivas
diferenças finitas sequenciais, em cumprimento do princípio aditivo, origina os
coeficientes binomiais, integrados como combinações simples no triângulo
aritmético; o triângulo de Pascal é um algoritmo de recorrências geradoras das
combinações simples dispostas ordenadamente numa forma triangular. Se as sequências
de sucessões, ou seja, as sequências recursivas de diferenças sucessivas
utilizando o operador de diferenças (∆), produzem sempre os coeficientes binomiais ou
combinações simples, pois, quando essas sequências de diferenças sucessivas
dizem estritamente respeito a sucessões de números potenciais, os resultados não
são apenas as combinações simples integradas na disposição do triângulo de
Pascal mas também a fórmula de Patrício Leite; efectivamente, sabe-se que a ordem nasce da recorrência do princípio
multiplicativo. Em qualquer expressão potencial, o expoente exprime o número de
vezes que a multiplicação da base se repete; o expoente dessa potência traduz o
nível ou grau da respectiva ordem. No algoritmo do triângulo de Pascal, a ordem
imanente, inerente ao número da respectiva linha deste triângulo, correspondente
ao modo de distribuição dos coeficientes binomiais ou combinações simples ao
longo dessa linha e tem, exactamente, correspondência igual e directa com a
ordem do respectivo operador de diferença finita. Quando não se trata de uma qualquer sequencia
ou sucessão mas sim e especificamente da sequência natural de números
potenciais, assim definida: Un = nm com n indexado à
sucessão dos números naturais, e sendo m um qualquer expoente numérico; pois, o
resultado não se traduz apenas pelos coeficientes binomiais ou combinações
simples mas também na relação fundamental de
Patrício: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n (sendo que a1, a2, a3,
a4, a5,
a6, … a1
são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de
Pascal); relação esta, que pode ser traduzida pela fórmula: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n.
Como
aqui foi descrito, a partir de uma vasta imensidão de categorias de sucessões
foi possível isolar aquelas que traduzem a relação fundamental de Patrício,
pois também, agora, por semelhança e analogia metodológica, torna-se possível, de
entre as vastas categorias de funções isolar aquelas que podem traduzir o mesmo
resultado; efectivamente, entre as várias categorias de funções, pois, as
funções polinomiais, por derivação sucessiva, originam como resultado de última
instância o mesmo factorial correspondente ao resultado da relação fundamental
de Patrício. Efectivamente, a ordem ou grau do polinómio da função corresponde
á ordem da derivada cujo resultado é o respectivo factorial, assim:
Função
polinomial de grau zero e derivada de ordem zero:
A
derivação sucessiva de uma função polinomial de grau zero tem como resultado o valor zero.
Exemplo:
f(x) = x0 portanto d1f/dx0 = 0x0-0 = 0x1 = 0
Efectivamente uma função polinomial de grau zero
é uma função invariável; é uma função constante, e uma função constante é uma
função cuja variação é zero, por conseguinte a derivada de uma função constante
reporta para a metodologia das diferenças finitas e, posteriormente, com Newton e Leibniz, a continuidade infinitesimal dos números
reais cuja derivada de uma função, por definição, dá a constante continuidade
dessa função no limite da sua diferenciação.
Função polinomial de primeiro grau e derivada
de primeira ordem:
A
derivação sucessiva de uma função polinomial de primeiro grau tem como resultado o factorial: 1! = 1
Exemplo:
f(x) = x1 + c sendo c uma
constante; portanto d1f/dx1
= 1x1-1 = 1x1 = 1
Função polinomial de segundo grau e derivada
de segunda ordem:
A
derivação sucessiva de uma função polinomial de segundo grau tem como resultado o factorial: 2! = 2x1 = 2
Exemplo:
f(x) = x2 + c sendo c uma
constante; portanto d2f/dx2
= 2x1 = 2
Desenvolvendo:
d1f/dx2 = 2x2-1 = 2x1
d2f/dx2 = 2x1-1 = 2x1 = 2
Função
polinomial de terceiro grau e derivada de terceira ordem:
A
derivação sucessiva de uma função polinomial de terceiro grau tem como resultado o factorial: 3! = 3x2x1 = 6
Exemplo:
f(x) = x3 + c sendo c uma
constante; portanto d3f/dx3
= 3x2x1 = 6
Desenvolvendo:
d1f/dx3 = 3x3-1 = 3x2
d2f/dx3 = 3x2x2-1 = 6x1
d3f/dx3
= 3x2x1x1-1 = 6x1 = 6
Função
polinomial de quarto grau e derivada de quarta ordem:
A
derivação sucessiva de uma função polinomial de quarto grau tem como resultado o factorial: 4! = 4x3x2x1 = 24
Exemplo:
f(x) = x4 + c sendo c uma
constante; portanto d4f/dx4
= 4x3x2x1 = 24
Desenvolvendo:
d1f/dx4 = 4x4-1 = 4x3
d2f/dx4 = 4x3x3-1 = 12x2
d3f/dx4 = 4x3x2x2-1 = 24x1
d4f/dx4 = 4x3x2x1x1-1 = 24x1 = 24
………………………….
Função
polinomial de enésimo grau e derivada de enésima ordem:
A
derivação sucessiva de uma função polinomial de enésimo grau tem como resultado o factorial: n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…3x2x1 = n!
f(x) = xn por conseguinte dnf/dxn
= n(n-1)(n-2)… xn-n = n!
A
sequência sucessiva de derivações de uma função constitui uma relação de
recorrência; efectivamente encontrar apenas, uma única vez, uma função derivada
a partir da função que a antecede na ordem de derivação, constitui simplesmente
um modo de envolver a continuidade infinitesimal dos números reais; porém,
encontrar sucessivamente a derivada da derivada constitui uma actividade
recursiva a que, também, a derivação não conseguiu escapar; a derivação
sucessiva, melhor, a sucessão de derivações, constitui uma actividade
recursiva. Toda a metodologia implicada no desenvolvimento das diferenças
finitas, quando aplicada a sucessões, derivadas, mas também na fórmula de
Patrício Leite; toda esta metodologia, tem como fundamento a repetição do
pensamento recursivo, das relações de recorrência; efectivamente, é da
repetição, dos padrões de repetição, do pensamento e actividade repetitivos,
próprios do construtivismo humano que, criativamente, aparece a essência da
ordem. É a pureza da ordem matemática que este ensaio procura alcançar mas é
também por essa pureza que se verifica a negação, o nada, o zero como valor
final de toda a metodologia das diferenças finitas; toda a ordem matemática
resultante da metodologia das diferenças finitas, converge para o zero como
valor final: tanto nas sucessões como nas funções; efectivamente, a derivação sucessiva de
uma função real de variável real do tipo polinomial converge para 0 (zero) como
valor final, também a relação fundamental de Patrício Leite e a sua respectiva
fórmula convergem para zero 0 = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n-1 obviamente que esta ordem nula, este anular da ordem
diferencial, resulta de um desfasamento, de um desrespeito por parte do
principio aditivo inerente ao triângulo de Pascal na sua relação com a ordem do
principio multiplicativo inerente ao triângulo exponencial de Patrício.
Comparação
entre sucessão de diferenças e sucessão de derivadas
Qualquer
sucessão pode ser definida de modo recursivo; mais, uma sucessão de
recorrências, especificamente, nas sucessões de diferenças, a recorrência
sucessiva da sucessão
sequencial de diferenças finitas é mapeada, ou indexada, através da notação
funcional: ∆f(x) = f(x+1) – f(x) cujo operador de diferenças ∆, quando usado
para indexar sequencias, toma a forma: ∆Un = Un+1 - Un.
Neste ensaio, já foi constatado que, para
qualquer sucessão por indexação, o operador de diferenças gera as combinações
simples e o modo como elas são distribuídas ao longo da linha do triângulo de
Pascal, ou seja gera as colunas deste triângulo; por outro lado, a sucessão
recursiva de diferenças, melhor, a sucessão recursiva de operadores de
diferença, gera a ordem dos operadores de diferenças e esta ordem corresponde
exatamente à linha do triângulo de Pascal; por conseguinte, constata-se aqui o
funcionamento simultâneo do princípio aditivo e multiplicativo na construção do
triângulo aritmético; mais, o princípio multiplicativo corresponde à ordem
decorrente da repetição sucessiva, recorrente e recursiva. A norma é uma
repetição determinística, é uma limitação ou restrição colocada ao grau de
liberdade; em estatística, a normalidade da norma surge da maior frequência de
repetição; em cálculo de números potenciais, o número de vezes que a
multiplicação da base se repete dá o expoente do número potencial e este
expoente corresponde à ordem. A diferença sucessiva de números potenciais
sequenciais e a respetiva sucessão recursiva de diferenças dá a relação fundamental de Patrício, a partir desta relação
avança-se para a fórmula de Patrício
Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n que faz a ligação entre a matemática
discreta e a continuidade funcional dos números reais.
A continuidade dos números reais permite a
definição de derivada através da noção de limite de funções; por conseguinte, a
derivada de uma função surge no limite de uma sucessão de diferenças cujo
operador de diferenças reporta a distâncias, ou diferenças, cada vez menores
tendendo para o valor zero. Efetivamente a derivada surge como uma sucessão de
diferenças finitas cada vez menores e tendendo para zero; porém, agora,
avançando: e uma sucessão de derivadas? Qual o resultado de uma sucessão recorrente
de derivadas?
Quando se abordam as funções polinomiais, pois, o
resultado de uma sucessão recorrente de derivadas de funções polinomiais tem o
valor zero como resultado final, porém, o valor da constante que imediatamente
precede esse resultado final é, precisamente o factorial correspondente ao grau
ou ordem do polinómio; portanto, é o valor do factorial do expoente do maior
termo que origina a respectiva função polinomial; obviamente que em polinómios com
mais de uma variável, o termo de maior grau, ou ordem, encontra-se pela soma
dos valores dos expoentes das variáveis desse termo e a ultima constante
encontrada, antes do valor zero, é precisamente o valor do respectivo
factorial.
Exemplo
ilustrativo:
Considerem-se funções polinomiais ou polinómios
cujos termos de maior grau são:
considerando
x4, portanto, polinómio de
ordem ou grau 4
considerando
agora x2y2, portanto, polinómio de ordem ou grau 4
considerando agora x3y1, portanto, polinómio de ordem ou grau 4
Fazendo a derivação sucessiva, pois, torna-se
fácil confirmar que em todas as situações o valor da quarta derivada é 24 ou seja
factorial de 4 portanto = 4!
Desenvolvendo os cálculos:
Termo de
maior grau: x4
Primeira
derivada: 4x3
Segunda
derivada: 4x3x2
Terceira
derivada: 4x3x2x1
Quarta
derivada: 4x3x2x1 = 4! = 24
Considerando
agora o termo de maior grau: x2y2
Primeira
derivada: 2x2y + 2y2x
Segunda derivada: 2x2 + 4yx + 2y2 + 4xy
Terceira
derivada: 4x + 4y + 4x + 4y + 4x + 4y
Quarta derivada: 4 + 4 + 4 + 4 +4 + 4 = 4! = 24
Considerando agora o termo de maior grau: x3y1
Primeira
derivada: x3 + 3yx2
Segunda
derivada: 3x2 + 3x2 + 6yx
Terceira
derivada: 6x + 6x + 6y + 6x
Quarta derivada: 6 + 6 + 6 + 6 = 4! = 24
Confirma-se, que numa função polinomial de grau
4, pois, a sua 4ª derivada é o factorial do seu grau ou ordem, portanto = 4!
Por generalização comparativa conclui-se que em
funções polinomiais ou polinómios cujos termos de maior grau definem o grau ou
ordem do polinómio, pois, o valor da derivação sucessiva e recorrente até
alcançar o valor do grau do polinómio é precisamente igual ao valor do
respectivo factorial.
Recorrência da ordem e ordem recorrente
A ordem
do operador de diferença resulta, recursivamente, da recorrência de diferenças
entre operadores de diferença. A recorrência de diferenças sucessivas entre
operadores de diferença permite desenvolver, ordenadamente, o triângulo
aritmético ou de Pascal assim: a ordem do operador de diferença corresponde ao valor
da linha do triângulo e a respectiva disposição dos coeficientes dos operadores
de diferença corresponde, precisamente, ao valor e disposição das respectivas colunas
dessa linha do triângulo aritmético, ou seja, corresponde ao coeficiente
binomial ou, em análise combinatória, combinações simples. Sendo a ordem do
operador de diferenças igual ao valor da linha do triângulo de Pascal, pois, se
esta ordem do operador de diferença for considerada como a ordem ou grau de um
polinómio, então, a derivação sucessiva e recorrente desse polinómio, ou função
polinomial, até atingir o valor do seu grau é igual ao factorial do valor dessa
ordem. O factorial aparece aqui como uma derivada da derivação sucessiva e
recorrente de uma função derivada; notar que não se trata da derivada da
derivada, ou seja, não se trata da segunda derivada mas, por outro lado,
considerando a derivação sucessiva como uma função, explicando, como a função
derivação, pois, o factorial aparece como a derivada da função derivação. Efectivamente,
o factorial corresponde à máxima ordem diferencial que se pode encontrar em
matemática, esta ordem, em análise combinatória, tem a sua tradução nas
permutações. O triângulo factorial de Patrício Leite organiza a recorrência dos
números factoriais indexados á ordem recorrente dos números naturais e faz a
correspondência com a ordem das linhas do triângulo de Pascal; porém, para a
correspondência de valores exactos, torna-se necessário recorrer aos números
potenciais ordenados no triângulo exponencial de Patrício cuja disposição tem
as linhas ordenadas pela sequência natural dos expoentes e, em cada linha, as
colunas estão ordenadas pela sequência natural das bases desses números
potenciais. A
relação
fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)n
– a2nn + a3(n-1)n – a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n consiste,
fundamentalmente, numa generalização de polinómios constituídos por termos com
o mesmo grau; mais, este grau traduzido pelo valor do expoente também traduz o
valor da linha do triângulo aritmético de Pascal mas também da linha do
triângulo exponencial de Patrício e da linha do triângulo factorial de
Patrício; obviamente traduz também o valor da ordem
do operador de diferença finita e ainda da ordem da derivada dessa função
polinomial cujo resultado é o factorial do grau do polinómio. A noção de grau
de um polinómio como o grau do termo de maior grau que se obtém a partir da
soma dos expoentes das suas variáveis, conduz o pensamento para, na matemática,
a equação de continuidade e, na física, a lei de conservação, ambas
relacionadas com as equações diferenciais parciais e respectivas derivadas
parciais de cada uma das variáveis dessa função polinomial. Um polinómio ou
função polinomial cujos termos estão dispostos por ordem naturalmente crescente
do seu grau traduz a ordem crescente das linhas dos triângulos de Pascal e de
Patrício. As derivadas parciais geram a noção de gradiente e de continuidade; o
gradiente, cuja noção aponta para o cálculo vetorial, conjuga-se com a
continuidade do infinito no conceito de grau de liberdade; por conseguinte, o
grau de liberdade é o resultado da infinita liberdade, da continuidade
homogénea, da desordem caótica sem regras ou repetições e capaz de gerar a
aleatoriedade imprevisível menos, ou seja, subtraída da previsível finitude determinística
da ordem, da discreta descontinuidade que gera o grau do gradiente em regras de
repetição sucessiva e recorrente. Em álgebra, um sistema de equações lineares
ou polinomiais é composto por incógnitas e regras de igualdade; cada incógnita
acrescenta um grau de liberdade ao sistema mas cada regra de igualdade subtrai,
ou restringe, um grau de liberdade. Os sistemas com mais incógnitas do que
equações, ou regras, são considerados subdeterminados; sistemas com mais
regras, ou equações, são considerados sistemas sobre determinados e,
finalmente, sistemas com tantas equações como incógnitas são aqueles sistemas
em equilíbrio cuja igualdade se iguala a si própria. A noção de derivada
parcial de uma função polinomial disposta por ordem naturalmente crescente do
grau dos respectivos termos desse polinómio, permite encontrar a linha dos
triângulos de Pascal e de Patrício, a partir da linha encontra-se o número e
disposição das respectivas colunas mas, importante, reportando sempre para a
recorrência recursiva da análise combinatória; as derivadas parciais permitem
as equações diferenciais parciais, cada uma destas equações constitui uma
restrição ao grau de liberdade e quando o número destas equações iguala o
número de incógnitas ou variáveis, pois, então, o sistema de equações diferenciais
parciais tem solução; contudo, muito importante, salienta-se sempre a
imperatividade recursiva da recorrência da ordem numa ordem recorrente. A
recorrência da ordem numa ordem recorrente conduz o pensamento filosófico para,
em última instancia, a analogia afirmativa: a ordem nasce da ordem! Obviamente
que se toda a ordem nasce da ordem, pois, então, coloca-se o problema da origem
da ordem; como que a causa prévia, póstuma ou qualquer outra, da ordem, está sempre
encerrada em si própria numa infindável circularidade recursiva. A inequívoca
conclusão racional de que toda a ordem nasce da ordem tem implicações imediatas
na física da entropia, na teoria da expansão do universo, na teoria dos buracos
negros etc. na teoria da vida, considerada como matéria altamente ordenada cuja
vida nasce da vida, nas teorias da ordem social necessariamente dependente de
seres humanos altamente ordenados, enfim, em todo o conhecimento humano:
cultural, cientifico, filosófico etc. A tentativa de ultrapassar esta
recorrência circular da recursividade da ordem, transporta para a noção de
transcendência; a ordem surge como algo cuja compreensão transcende as
estruturas cognitivas e racionais do ser humano.
Transcendência da ordem
A afirmação:
a ordem nasce da ordem! - Significa a sua transcendência. Os problemas da
complexidade relacionados com o tempo polinomial determinístico e não
determinístico reportam, em ultima instância filosófica, para a dificuldade em
ultrapassar esta transcendência cognitiva. É na diferença que se encontram os
fundamentos fundamentais da teoria da ordem; obviamente a teoria da ordem é
mais abrangente mas, sem diferença tudo seria igual, dominaria a infinita
homogeneidade, no domínio da igualdade sem fim, nada poderia variar, sem
variação diferencial finita recorrente e recursiva, pois, também, não existiria
ordem; a variação recorrente é uma ordem recorrente que recorre recursivamente;
na tentativa de ultrapassar a recursividade recorrente, surge a fórmula
funcional de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n efectivamente, aceitar que a variável z possa assumir qualquer valor é,
também, aceitar a ultrapassagem da recorrência da ordem.
Com
as diferenças infinitesimais, surgiu a continuidade dos números reais; Newton e
Leibniz descobriram e operaram, matematicamente, a continuidade real das
diferenças infinitesimais para alcançar as derivadas como limites de funções; efectivamente,
os limites ou derivadas de funções reais de variável real mostram a
continuidade no domínio dos números reais, porém, não dos complexos; os números
complexos abrangem um domínio de ordem mais extenso e superior ao dos reais e a
derivação de funções com domínio exclusivamente imaginário, através de limites
e derivadas, recorre necessariamente a subterfúgios; mais, a noção de números
infinitesimais como números mais pequenos do que os números reais e maiores do
que zero ou, por outro lado, os números superiores aos reais mas menores do que
infinito, permitem definir conjuntos numéricos como os sub-reais e os supra-reais,
que não se enquadram no domínio dos reais; também entre cada número real há uma
infinidade de números infinitesimais que se não enquadram nos reais e cujas
derivadas não se encontram através dos limites de funções reais. Surge agora
uma nova definição de derivada: efectivamente, a fórmula
de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n alarga e expande os conceitos de derivada e limite de funções de Newton
e Leibniz ao exprimir uma continuidade plena através da sua variável z; esta
variável, a variável z, pode assumir qualquer valor ou quantidade independentes
da cardinalidade e ordinalidade do domínio numérico considerado, esta
característica confere-lhe a propriedade paradoxal de plena continuidade
descontínua; na história da sua descoberta, a fórmula surgiu com a procura
deste tipo de propriedades paradoxais: continuidade descontínua, finitude
infinita, limitação ilimitada, indeterminismo determinado, heterogeneidade
homogénea, etc. que levou Patrício Leite a procurar dar consistência matemática
ao densitrão; com esta fórmula, tal consistência foi, finalmente, conseguida. Com
o densitrão como unidade de espaço volumétrico, massa e tempo, infinitamente
extensível e infinitamente comprimível na quantificação da unidade anisotrópica
massa-espaço-tempo, através da estrutura formal reológica turbilhonar, que
turbilha numa continuidade descontinua, traduzida pela fórmula: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n e respectivas derivadas parciais,
conjuntamente com outras fórmulas directamente implicadas, foi conseguido,
finalmente, matematizar a teoria do densitrão como unidade divididamente
indivisível.
A
variável z,
enquanto entidade matemática identitária, teve a sua origem histórica no modo
empírico como Patrício Teixeira Leite descobriu esta fórmula: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n porém, constatando a
periodicidade repetitiva de um segmento, filamento ou fragmento ordenado, pois,
Patrício Leite imediatamente evoluiu para uma fórmula mais geral: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n. Obviamente que se a variável z pode assumir
qualquer valor com n constante e
correspondente à linha do triângulo de Pascal, pois, então: n + z = w, também pode assumir qualquer valor
transformando, aqui e agora, a fórmula de Patrício Leite na seguinte expressão:
n! = Σnk=0(nk)(-1)k(w-k)n.
A
racionalidade cognitiva, enquanto trabalho criativo, significa, também,
explicar compreensivelmente, uma das muitas interpretações possíveis do produto
do seu trabalho; efetivamente, na
recorrência recursiva da ordem sequencial, quando
z = 1 pois, tal corresponde ao primeiro fragmento ou
segmento de Patrício no conjunto dos números naturais; foi assim o
primado da história da fórmula, porém com a sua evolução, foram encontradas
outras estruturas formais: se agora for considerado que n + z = w
= 0, pois então a fórmula toma a seguinte
estrutura: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(-k)n.
O
segmento ou fragmento zero, resultante de n
+ z = w = 0, significa que, para cada linha n do triângulo de Pascal, existe sempre
um segmento zero que inicia com k = 0 e termina com k = n; porém, as
características da ordem repetitiva, sempre igual e sempre diferente, patentes
no segmento zero, originam uma sequência sucessiva destes segmentos que motivou
a descoberta criadora original de Patrício Teixeira Leite para a criação e
definição dos fragmentos
ou segmentos de Patrício. Efectivamente, ao longo da história da
matemática, foram encontradas várias fórmulas que através de somatórios de
diferenças, conjugadas com números potenciais, resolvem a permutação factorial
de um número natural, contudo, a repetição segmentar dos fragmentos de Patrício constitui uma
descoberta criativa única e singular como tentativa de ultrapassar a
recursividade da ordem, como tentativa impar de ultrapassar a transcendência da
ordem. Surge, assim, a fórmula que se explica:
n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n também se n + z = w,
então n! = Σnk=0(nk)(-1)k(w-k)n
O
lado factorial desta igualdade está, para a matemática elementar, completamente
esclarecido; também, no outro membro da equação, a componente dos coeficientes
binomiais associados com as combinações e a sua disposição ao longo do
triângulo de Pascal já são abundantemente estudados e conhecidos, contudo,
salienta-se que neste triângulo aritmético a disposição das respectivas
combinações ou coeficientes binomiais não surgem através do algoritmo clássico
mas sim através do método das diferenças finitas; efetivamente, aqui, a
disposição das combinações ou coeficientes binomiais, ao longo das linhas do
triângulo de Pascal, obtém-se através de sequências de diferenças finitas constituídas
pela sequência de diferenças entre números potenciais com o mesmo expoente e
cujas bases estão dispostas pela ordem sequencial dos números naturais.
Enquanto as sucessivas diferenças originam o triângulo de Pascal, pois, a
disposição dos sucessivos números potenciais origina o triângulo exponencial de
Patrício e a disposição dos sucessivos factoriais origina o triângulo factorial
de Patrício; por conseguinte a fórmula de Patrício: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n também se n + z = w,
então n! = Σnk=0(nk)(-1)k(w-k)n representa algebricamente os três
triângulos agora referidos.
Apesar
de ambos os modos expressivos desta fórmula conduzirem, como resultado final
aos mesmos valores numéricos, pois, cada uma destas formas expressivas tem diferentes
interpretações e diferentes utilidades matemáticas; efectivamente, para o mesmo
valor numérico das variáveis z e w existem
diferentes correspondências com os
respectivos fragmentos
ou segmentos z e w mas
também têm um sentido diferente e uma diferente interpretação e significado
matemáticos. Por exemplo, numa interpretação vectorial, quando w = 0, pois, os valores do respectivo segmento de
Patrício surgem, vectorialmente, dispostos pelo valor crescente de k; por oposição, quando z
= 0, pois, os valores do respectivo segmento de Patrício surgem, vectorialmente,
dispostos pelo valor decrescente de k
com início no valor n; estes
vectores têm também uma diferente posição relativa no triângulo exponencial de Patrício; obviamente
que a disposição simétrica dos coeficientes binomiais, ou combinações simples,
ao longo da linha do triângulo de Pascal conduz, nesta situação, ao mesmo
resultado numérico final.
Uma
descrição anatómica dos fragmentos ou segmentos de Patrício mostra que, independentemente
do valor considerado para as variáveis z ou w; pois, numa mesma linha n do triângulo, cada segmento ou fragmento é constituído por n+1 elementos; esta constatação resulta
do facto de k iniciar
necessariamente no valor zero.
Considerando que as variáveis z e w podem assumir quaisquer valores: naturais, inteiros, racionais, reais, complexos ou quaisquer outros; pois, imediatamente se compreende que, em conformidade com a continuidade dos números reais, entre cada dois fragmentos ou segmentos de Patrício existe uma infinita infinidade e infinitude destes segmentos. Na permanente evolução histórica da matemática, a infinita infinidade das diferenças finitas conduziu à noção de continuidade e daqui aos limites de sucessões e funções e posteriormente as respectivas derivadas num avanço do cálculo infinitesimal com integrais, primitivas e derivadas e agora, aqui, também, com as permutações típicas da análise combinatória, consolida-se uma superior interligação entre essa continuidade e a descontinuidade da matemática.
A origem dos fragmentos ou segmentos de Patrício relaciona-se
com a contínua repetição das diferenças finitas de números potenciais com o
mesmo expoente e dispostos pela ordem natural das suas bases. Por exemplo, conforme
a figura acima representada, na linha n
= 3 do triângulo exponencial de Patrício: … 133-123-113-103-93-83-73-63-53-43-33-23-13
cada fragmento ou segmento é constituído por quatro elementos sendo, no
conjunto dos números naturais, o primeiro
segmento: 43-33-23-13
significando que neste segmento z = 1 traduzido pela fórmula de Patrício assim: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n nesta fórmula: z =1; n=3; k=0; k=1; k=2; k=3; obviamente que se z =2 então surgirá o segundo segmento dos números naturais: 53-43-33-23
e a fórmula de Patrício assumirá: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+2-k)n. Efectivamente, torna-se
importante anotar que cada um destes segmentos é traduzido pela seguinte expressão
algébrica (n+z-k)n
enquanto parte constituinte da fórmula de Patrício: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n. Continuando com os números
naturais vem, agora, a imagem explicativa dos segmentos ou fragmentos de Patrício:
Síntese filosófica conclusiva
A mitologia cosmogónica grega
para a origem da ordem cósmica aponta o Caos como deus primordial; com Eros
aparece um princípio de ordem. A noção de que a ordem nasce da desordem foi
sendo desenvolvida ao longo dos filósofos pré-socráticos e, posteriormente,
daqueles que os sucederam. A teoria científica da cosmologia actualmente
dominante, aponta o big-bang como o momento temporal da grande explosão a
partir da qual um universo primitivamente muito denso e quente se começou a
expandir e resfriar em continuada diluição expansiva. A teoria da expansão do
universo, a partir do big-bang, significa, de acordo com o segundo princípio da
termodinâmica aplicada a todo o universo como um sistema único e isolado, um
aumento da sua entropia, traduzida analogicamente como um aumento da sua
desordem; o aumento permanente e continuado da desordem do universo significa a
inversão do princípio cosmogónico de que a ordem nasce da desordem para a
aceitação do princípio cosmológico de que a desordem nasce da ordem. A antítese
dialética assim desencadeada parece tender para uma síntese compensadora entre
a teoria cosmogónica antiga e a atual teoria científica cosmológica; surge a
teoria da complexidade segundo a qual se considera complexo todo o sistema cujos
outputs da saída não são linearmente proporcionais aos inputs da entrada. Com a
teoria da complexidade surgem as suas correlatas assentes em idênticos
princípios mas pontualmente variadas; destas, a teoria da emergência aponta
para a criação espontânea e o nascimento de padrões ordenados com origem nos
sistemas complexos não lineares; criticamente, estas versões parciais da
geração de padrões ordenados por variação da complexidade não linear apenas se assemelham
com a teoria da geração espontânea da vida há muito abandonada pela comunidade
científica, contudo, como sempre, têm os seus seguidores. Efetivamente, ainda
que em sistemas complexos se gerem padrões nunca antes encontrados, também é
verdade que os padrões resultantes da linearidade proporcional sempre têm
acompanhado a exponencialidade não linear, inclusivamente factorial, em todos
os seus aspectos: os padrões de ordem complexos e não lineares têm a sua origem
ordenada em padrões de ordem linear e proporcional; analogicamente, quando uma
ordem mais simples presente numa gatinha grávida origina uma ordem mais
complexa formada pela sua ninhada de gatinhos que, além da semelhante
complexidade biológica, também interagem entre si próprios e, coordenadamente,
com o ambiente que os rodeia, pois, trata-se de um exemplo em que uma ordem
mais complexa se origina de uma ordem mais simples; por conseguinte, torna-se
difícil aceitar, simplesmente, a síntese dialética entre as velhas cosmogonias
e as novas cosmologias; aliás, as fórmulas matemáticas exponenciais e
factoriais, de natureza extraordinariamente complexa e o raciocínio matemático
filosófico de Patrício Leite confirmaram a necessidade imperiosa de, perante
qualquer novo padrão de repetição ser, sempre, necessária e suficiente, a
existência de uma ordem prévia; por analogia com a vida: só a vida é capaz de
gerar vida, também na ordem, só a ordem consegue gerar ordem: a ordem nasce da
ordem! Obviamente, a filosofia da interrogação mantém-se: Porque existe ordem
no universo? Porquê a ordem e não o caos? Porquê, no universo, existe repetição
e não somente, sempre, tudo diferente? O fundamento filosófico da ordem está na analogia como
estrutura cognitiva que capta a repetição; a ordem matemática aqui abordada
foi, predominantemente, uma ordem recorrente ou recursiva - uma ordem que
recorre a uma ordem pré existente - por vezes captou-se a ordem como simples
repetição, outras vezes, quase se vislumbrou a ordem transcendente, contudo,
confirmou-se: a ordem nasce da ordem!
Síntese pessoal
Este ensaio teve o seu início na 1ª semana de Fevereiro de 2023 e terminou na 2ª semana de Setembro de 2023. Foram concebidas, originadas, geradas e criadas novas ideias; foi verificada a sua coerência e consistência racional; para atingir a generalização indutiva destas ideias, novas e criativas, foram realizados exercícios práticos de confirmação numérica, foram realizados múltiplos e variados tipos de raciocínios; foram centenas de horas de dedicação em pensamento criativo: finalmente, cresceu a arte, nasceu a obra! Doutor Patrício Leite
13 de Outubro de 2023