A
conversão recíproca entre somatórios e produtórios resulta da relação fundamental de Patrício,
segundo a qual: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n com
a1, a2,
a3, a4,
a5, a6,
… a1 sendo a sequência dos números ao
longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal. A partir desta relação
fundamental são várias as fórmulas que se podem deduzir, entre as quais, o transformado de Patrício que permite a
relação recíproca de conversão entre produtórios e somatórios. Neste
transformado, o coeficiente binomial de Newton diz respeito aos respectivos
números do triângulo de Pascal.
Saliente-se
que o transformado de Patrício, como uma fórmula de conversão recíproca entre
somatórios e produtórios, parece
verificar-se apenas, quando o lado do produtório funciona como factorial,
portanto, a expressão algébrica referente a k terá de percorrer todos os elementos
naturais até n, por conseguinte, do lado do somatório também terá de se efectuar
a soma desde K=0 até K=n; pelo que, nestas condições, são encontradas propriedades
comuns a estas duas entidades. É o caso dos produtos e das somas envolvendo uma
constante:
Outra propriedade ocorre quando ambos, produtório e somatório, envolvem a soma:
A
propriedade que envolve a soma pode, sobre vários aspectos e determinadas
condições, ser generalizada de formas diferentes:
Nesta
generalização, entre outras, terá de se verificar a seguinte condição, 0 < K
+ X
A
abordagem destas e das restantes propriedades, assim como das relações entre as
duas entidades aqui descritas (produtórios e somatórios) requer um estudo mais cuidadoso, cujas demonstrações
poderiam vir a proporcionar facilidade nos cálculos, inclusivamente
computacionais, tentando ultrapassar o aspecto recursivo dos produtórios.
Entretanto, podem ser encontradas novas fórmulas e
efectuados cálculos, como se segue:
Agora substituindo-se pelo transformado de Patrício, fica:
Ao
longo deste ensaio, não foram efectuados cálculos exaustivos nem as
demonstrações de todas as relações aqui expostas, também se admite gralhas ou erros
de escrita, no entanto a coerência de raciocínio mantém-se pelo que corrigindo
os eventuais lapsos surgem algumas das fórmulas válidas e associadas ao
transformado de Patrício, muitas outras se poderão desenvolver. Ficheiro completo e actualizado para Download
Doutor Patrício Leite, 15 de Dezembro de 2016
