CRITICA DAS LEIS DA OFERTA E PROCURA

 CRITICA DAS LEIS DA OFERTA E PROCURA

Este microensaio de pensamento criativo, aplicado à teoria económica, surge num momento de relaxamento cognitivo, de repouso intelectual, de abrandamento da imaginação criativa como fundamento da produção de ideias científicas e filosóficas. A intensa complexidade cognitiva da criatividade matemática, científica e filosófica, abranda, para dar lugar a uma racionalidade mental contínua, mas suave, pouco exigente; porém, nesta pausa compensadora, é criada uma simples ideia: uma nova interpretação teórica aplicada aos fundamentos da actual ciência económica do mercado livre. Efetivamente, a categorização das ciências tem permitido uma melhor abordagem sistemática; também, os critérios que definem as regras categóricas, são meras aplicações da vontade humana; é neste contexto que surge o agrupamento científico: descritivas, quando apenas descrevem o respectivo objecto de estudo; preditivas quando conseguem, pelas relações de causa a efeito, prever o futuro com algum nível de previsibilidade estatística e, finalmente, prescritivas quando o sujeito observador impõe condições ao objecto observado. A teoria económica, enquanto categorização prescritiva assente na livre concorrência das leis da oferta e da procura; surge num contexto do desenvolvimento cultural traduzido por uma visão muito específica do homem e do mundo. Efectivamente, a grande maioria das teorias, ditas científicas, tem-se baseado numa visão egoísta, hobbesiana, de natureza concorrencial ou conflitual: numa máxima generalização, a teoria da evolução natural encara a conflitualidade entre a vida e a natureza com notável supremacia das forças da natureza e absoluta concorrência pela vida entre todos os seres vivos individuais; num outro extremo, muito particularizado, a teoria psicanalítica encara as relações conflituais intrapsíquicas com ataques e defesas do ego; entretanto, numa posição intermédia, surge a teoria económica que encara a concorrência social pelas leis económicas da oferta e da procura. A teoria económica não descreve a realidade como esta se apresenta, também não prevê uma realidade futura com base em relações de causa a efeito; a teoria económica prescreve situações ideais cujo mercado ideal, com infinitos vendedores a oferecer e infinitos compradores a procurar, teria um único preço a surgir concorrencialmente deste confronto; obviamente que, segundo esta prescrição teórica, nesta situação ideal o mercado seria dominado por um só preço, único e absoluto; no entanto este paradoxo não se verifica na realidade presente e nunca será verificado; o ser humano não comporta apenas uma única dimensão, o ser humano tem muitos aspectos que o diferenciam, tem uma enorme variabilidade; considerar o ser humano unidimensional na convergência para o preço de mercado, único e absoluto, é um mero ideal paradoxal e absurdo do unidimensionalismo humano. A situação descritiva da actual realidade mercantil mostra, a qualquer pessoa, uma observação do mercado real, com muitos e diferentes preços, muitos e diferentes vendedores dispostos a aceitar negociações por diferentes quantidades monetárias e, analogamente, muitos e diferentes compradores dispostos a pagar diferentes valores; o que domina o mercado é a heterogeneidade da diferença e não a homogeneidade da igualdade; porém, entenda-se, há também aspectos igualitários, aspectos comuns; repare-se que comprar e vender é apenas a bivalência de uma mesma realidade: a troca. Efectivamente, quem compra produtos vende dinheiro, quem vende produtos compra dinheiro. A observação atenta do mercado, permite verificar uma enorme diversidade de preços negociais, de preços de venda, de preços de compra, … mas também alguma regularidade previsível. Não é pela visão imediata e desatenta que se encontra esta regularidade previsível; é sim, pelo contrário, através de um desprendimento criativo sistémico, reflexivo e abstracto, que se encontra alguma regularidade que simula ou, grosseiramente, aparenta a aproximação à curva normal na distribuição dos preços.

Em qualquer mercado, a curva, grosseiramente em forma de sino, para a distribuição dos preços, lembra uma aproximação comparativa, analógica à estatística da lei dos grandes números e do teorema do limite central. Considerando o valor do preço como uma variável métrica continua e a simetria básica ou fundamental, dos dados observados: produtor – consumidor; oferta – procura; comprador - vendedor, etc. pois, o raciocínio estatístico analógico conduz imediatamente, o pensamento, para uma imagem mental, da curva em forma de sino, da distribuição normal dos preços, num mercado ideal com infinitos vendedores, infinitos compradores e infinitos preços de encontro negocial acordado; portanto, ao tratar de grandes números, num mercado ideal, em concorrência perfeita, a curva de distribuição dos preços será normal ou gaussiana. A distribuição normal, ou gaussiana, para um mercado ideal, não se verifica apenas para a distribuição dos preços concretizados após a negociação individual entre cada comprador e cada vendedor; mas também, em condições ideais, se encontram distribuições normais nos valores que o grupo dos vendedores está disposto a receber e o grupo dos compradores está disposto a pagar; efectivamente, em mercados ideais, encontram-se muitas curvas de distribuição normal. Extrapolando para a teoria clássica do mercado, pois, os produtos oferecidos seguem uma distribuição normal, os produtos procurados seguem uma distribuição normal e os preços concretizados seguem, também, uma distribuição normal. Quando, na sequência do pensamento de Adam Smith, a riqueza das nações resultaria do liberalismo de mercados livres e eficientes, pois, o preço de mercado, definido por essa teoria do liberalismo económico, como o encontro da oferta e da procura, corresponderia apenas e tão-somente, à média, mediana e moda da curva gaussiana da distribuição normal, aqui e agora, estipulada para a distribuição dos preços de mercado em condições ideais de concorrência perfeita. Efectivamente, a unidimensionalidade humana estipulada e prescrita pela teoria do liberalismo económico clássico do preço único de mercado é agora, pela teoria patricista estatística de mercado, transformada numa pluralidade multidimensional humana cujos infinitos preços, resultantes de infinitas negociações de um mercado ideal, seguiriam rigorosamente a curva de distribuição gaussiana ou normal; por outro lado, em mercados reais, mercados estes realmente encontrados no dia-a-dia da actividade económica negocial, a curva normal gaussiana perfeita adquire e contém irregularidades como a cauda á direita ou á esquerda, numa curtose que avalia a dispersão dos preços, mas também se verifica irregularidade na dispersão para qualquer outro factor de mercado considerado; além da curtose outras variações estatísticas encontradas nos mercados reais do dia-a-dia quotidiano, podem corresponder, entre tantas e muitas outras, por exemplo, ao desequilíbrio do desvio padrão com o respectivo desencontro entre a média, mediana e moda, numa transformação que se afasta da curva normal gaussiana típica de um mercado ideal. É sabido que a teoria clássica do liberalismo económico contempla alterações e irregularidades na lei da oferta e da procura, por exemplo, nas situações de monopólio, monopsónio, oligopólio, oligopsónio, cartel, dumping etc. mas também é aceite, nesta nova teoria patricista estatística de mercado, que essas e muitas outras irregularidades de mercado podem ser interpretadas e explicadas de acordo com as leis e curvas estatísticas que se afastam da curva normal gaussiana; desde logo, barreiras como a regulamentação legal, as ajudas de custo, a diversificação de impostos e taxas aduaneiras, os abusos de posição dominante, a publicidade com a criação de necessidades e de uma imagem de marca que se impõe no mercado mas também a contrafacção ou a assimetria de informação, constituem simples exemplos práticos de restrições ao referencial ideal da teoria clássica do liberalismo económico de mercado, mas também ao referencial ideal da nova teoria patricista estatística de mercado que encontra na normal distribuição gaussiana dos preços o seu ideal de referencia e interpreta as irregularidades como desvios a essa normalidade. Actualmente, os conhecimentos estatísticos já constituem a ferramenta básica para os estudos de mercado, resta, pois, substituir a teoria clássica do mercado como forma dominante de interpretação por uma nova teoria, mais adequada e mais realista: a teoria patricista estatística de mercado.

A conjugação das actuais leis do mercado ideal da oferta e da procura, permite, se cada uma seguir a curva sigmoide simetricamente crescente e decrescente, configurar uma curva de distribuição normal ou gaussiana. Continuando a imaginação comparativa, fundamentada na analogia criativa, pois, a curva gaussiana em forma de sino, permite conceber a aproximação à ideia das teorias do ciclo de vida aplicadas aos produtos, mercados etc. e, assim, estruturar campanhas de marketing, ciclos de produção, inovação etc., ampliando, deste modo, os horizontes da gestão ou, querendo, extrapolar para a microeconomia, macroeconomia, economia politica etc.

Doutor Patrício Leite 28 de Outubro de 2025 

Densidade numérica

Introdução
A constante
A variável
O grau de liberdade como grau de determinação do sistema
O determinismo e o indeterminismo
A distância e a diferença
A constante como medida de continuidade
A variável e a descontinuidade
Rácio ou razão entre constante e variável
Densidade clássica definida como uma razão constante
Racionalidade do mundo
Relação entre a densidade e a fórmula de Patrício Leite
A densidade do espaço e a fórmula de Patrício Leite
Síntese conclusiva
 
Introdução
A história do pensamento matemático filosófico tem, repetidamente, demonstrado que a distância entre os números não é sempre igual; efectivamente, a impossibilidade de encontrar mais do que dois divisores (a unidade e ele próprio) para cada número primo, constitui uma prova irrefutável da inconstância verificada na distância entre os números. A primalidade é uma propriedade muito importante na criptografia dos nossos tempos, mas tem, também, estimulado significativamente o avanço em teoria dos números; foi na sequência destes raciocínios que em finais de agosto e inícios de setembro de 2024 constatei empiricamente uma regularidade combinatória relacionada com a distância entre os números, introduzida na fórmula original de Patrício Leite: n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ assim traduzida posteriormente por: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ por conseguinte, imediatamente surgiu a ideia criativa de aplicar este conceito na resolução teórica de um problema físico conceptualizado, por mim, há cerca de 15 anos: o densitrão como elemento quantificador de uma continuidade descontínua. O problema da continuidade versus descontinuidade da matéria tem persistido desde os tempos primordiais do átomo: considerado como elemento teórico e indivisível da matéria; mais, este problema conduziu, no primeiro quartel do século vinte, ao início e desenvolvimento da física quântica numa inevitável ruptura com as ideias e o pensamento tradicional da física, da matemática, mas também da filosofia. É neste contexto que, agora, se desenvolve, sintetiza e divulga o conteúdo cognitivo deste ensaio cuja base matemática e filosófica parece, a guisa de neopitagorismo, transpor a realidade abstrata e conceptual dos números e respectivas relações teóricas para uma realidade física assente num realismo construtivista que aceita a observação objectiva de um objecto como imanente à construção interactiva com o sujeito.     
 
A constante
A única constância conhecida é o homogéneo do vazio, o nada, o zero, a coisa nenhuma, a ausência de, …; tudo o resto são constantes, ou inconstantes variáveis; efetivamente, na ausência da continuidade permanente, tudo muda, tudo é volúvel, tudo é descontínuo e heterogéneo. O homem precisa de firmar constantes para construir o seu conhecimento: em ciências sociais, em ciências naturais, em física, em matemática; as permanentes constantes manifestam a necessidade humana, os fundamentos do conhecimento, os fundamentos da humanidade; contudo, mais uma vez, em ultima instância, a única entidade realmente constante é o vazio do nada, tudo o resto são variáveis; por conseguinte, considera-se uma constante humanamente definida como sendo, apenas, uma variável que não varia; obviamente, a variação de uma variável que não varia, produz o zero, o vazio, o nada. Conclusivamente, o produto de uma determinada constante por qualquer variável segue a variação da variável, mas o produto do vazio por uma variável absorve essa variabilidade; corrobora-se, assim, que a constância da constante, ou seja, a constância do vazio, absorve toda a variação da variável, mas, por outro lado, a constante variação da variável é uma constante produtora, não absorvente. Aparentemente, o caos mais não é do que uma total variabilidade, portanto, uma variabilidade que não tem referenciação a qualquer parte do todo como constância conhecida, mas, por oposição, o seu referencial relativo é a variabilidade do todo variavelmente totalitário. O aleatório finaliza o determinismo, finaliza a ordem; porém, enquanto processo repetitivo, presume a equiprobabilidade, por conseguinte, ainda aceita como referência, a constante repetição e a homogenia da igualdade, essa homogenia é o vazio do nada; mas no caos a única referência é a variabilidade total que totalmente varia. Esquematiza-se, assim, por analogia metafórica, uma abordagem sistémica entre a parte e o todo: a aleatoriedade, pela metáfora analógica, aproxima-se da parte; por outro lado, o caos aproxima-se analogicamente do todo. A abordagem sistémica tem, na presente contemporaneidade científica, fundamentado teorias como a complexidade, o caos, a auto-organização e emergência, entre outras, cuja finalidade consiste na oferta de novas interpretações para observação de fenómenos e ocorrências indeterminados e imprevisíveis nos termos das relações de causalidade próprias da metodologia científica, tradicionalmente, linear e mecanicista.
 
A variável
Matematicamente, entre a constante permanência e a variabilidade caótica encontra-se o grau de liberdade, o nível ou grau de determinação de um sistema, a diferença entre a variabilidade e a constância. O nível de determinação que o grau de liberdade confere, mas também as operações com constantes, permitem classificar ou categorizar; por exemplo: constantes de adição que se associam com as progressões aritméticas, constantes de multiplicação que se associam com as progressões geométricas, constantes de proporcionalidade que se associam com os mais variados tipos de proporções etc. porém, repare-se que uma constante é apenas e tão-somente uma variável que não varia, uma variável cuja variabilidade é zero; por outro lado, uma variável é apenas a variação de uma constante. Constantes e variáveis compreendem uma única categorização cuja variabilidade das variáveis se relaciona com o grau de liberdade. Em última instância a máxima variabilidade é infinita e a mínima é zero; entre zero e infinito classificam-se e categorizam-se todas as constantes e todas as variáveis. Do ponto de vista analítico, a atividade matemática consiste na procura de constância na variabilidade ou, por outro lado, na procura de variabilidade na constância; por conseguinte, um dos métodos analíticos consiste em contemplar a variabilidade que varia e, nessa variação procurar a possibilidade, em qualquer nível, de um padrão de variação capaz de definir e estipular uma constância; a partir desse padrão de variação, a partir dessa constância, parte-se sucessivamente para novas variações e novas constâncias num raciocínio dialético dualístico que fundamenta, por exemplo, o método das diferenças finitas até, finalmente, encontrar a infinita continuidade típica da análise diferencial que, analogicamente, proporciona uma estabilidade comparativa entre o zero e o infinito como entidades homogéneas: aqui, sai a matemática discreta e entra a matemática da continuidade.
 
O grau de liberdade como grau de determinação do sistema
O conceito de liberdade, concebido pelas estruturas da linguagem, comporta inerentes paradoxos absurdos e irresolúveis. Qualquer raciocínio reducionista, capaz de conduzir o conceito de liberdade a uma totalidade absoluta comporta, imediatamente, o absurdo do absoluto; efectivamente uma entidade, qualquer que seja, só por existir tem, na sua existência, inerente, pelo menos, uma condição limitante da sua liberdade: enquanto existente, pois, não pode ser, não existente; por outro lado, a existência de uma identidade, ainda que determinadamente constante, significa, por inerência, a sua libertação identitária em face do meio que a envolve. Os raciocínios relacionados com as estruturas da linguagem, quando reduzidos ao absoluto unitário, são absurdos, provocam uma sensação mental de insatisfação: uma lacuna mental, uma dissonância cognitiva, uma incompletude insatisfatória que tem, cognitivamente, de ser resolvida; para ultrapassar o absurdo absoluto e unitário, surge, como fundamento racional, pela estrutura da linguagem lógica bivalente, o reducionismo dualista como método cognitivo capaz de conduzir os absolutos a uma dualidade irreconciliável satisfatória; neste contexto, o grau de liberdade, enquanto dualidade, polarizada entre variáveis libertárias e constantes deterministas, comporta necessariamente, um dualismo fundamental constitucional: o grau de liberdade é também, por inerência antitética, o grau de determinação do sistema; esta é, pois, a dualidade constitucional entre a liberdade da variabilidade infinita e a determinação da constante finitude.
 
O determinismo e o indeterminismo
Com a emergência da racionalidade, surge a razão humana, surge a procura de uma constância capaz de determinar a causa ou a finalidade da humanidade. Uma razão, qualquer que seja, surge, por inerência intrínseca, associada com o determinismo; por oposição, surge a inconstância da variabilidade como fundamento do indeterminismo. Considerando a incoerência paradoxal dos contraditórios: interior - exterior, homogéneo - heterogéneo, igual – diferente, constância – variabilidade, determinismo – indeterminismo, etc., surge a dialética de Heraclito que, numa primeira fase, apenas manifestava a ideia de variabilidade do movimento de modificação para, imediatamente, Parménides postular a eterna constância atemporal da uniformidade existencial como contraditório do devir mutável da mudança de Heraclito. A dialética, como método de resolução dos contraditórios, progrediu por um reducionismo racional dualista da lógica bivalente aristotélica para, finalmente, com Hegel, assumir a metodologia sequencial tripartida da tese, antítese e síntese. A dialética sequencial tripartida reconheceu, imediatamente, a antítese conceptual entre o idealismo e o materialismo com repercussões significativas na interpretação partilhada do mundo, contudo, na contemporaneidade cognitiva, manteve as propriedades sequenciais, contraditórias e reducionistas a um evolucionismo sequencial tripartido. Paradoxalmente, nem a dialética dualista contraditória do tempo dos primórdios nem a presente terceira via da síntese conciliatória, conseguiram resolver a absurda insatisfação inconformista da incoerente conflitualidade intrinsecamente cognitiva; contudo, é sempre possível considerar o desconhecido como uma heterogénea fragmentação descontínua de pontos indeterminados e, um destes pontos, será uma unidade identitária ordenada num finalismo determinista. Talvez assim, somente assim, se consiga resolver a insatisfação humana causada pela lacuna mental como uma dissonância produzida pela intrínseca conflitualidade cognitiva. O problema do mundo transforma-se no problema pessoal! Isto é filosofia!
 
A distância e a diferença
A abordagem tradicional, considera a matemática finita ou discreta no domínio dos números inteiros como descontinua, por outro lado, no domínio dos reais, está a matemática da continuidade considerada infinita; obviamente, com o conceito de infinitesimal como a quantidade numérica mais próxima de zero do que qualquer número real, surge o problema da descontínua continuidade. O conceito de infinitesimal surgiu nos primórdios históricos da matemática; efectivamente, Arquimedes introduziu o conceito e posteriormente Leibniz, através dos diferenciais, desenvolveu o cálculo infinitesimal. A partir das diferenças finitas e dos diferenciais, a progressão histórica do pensamento matemático evoluiu para a continuidade numérica com uma aritmética intervalar; no entanto, considera-se um intervalo como um conjunto de pontos dentro de uma determinada distância, por conseguinte, assume-se a distância como o aspecto da continuidade e os pontos como o aspecto da descontinuidade; agora, transpondo analogicamente para os sistemas numéricos, pois, os números naturais surgem descontinuamente como representantes dos pontos, diferenciados pela ordem que os coloca numa escala de sucessivas sequências dentro da continuidade de uma determinada distância. Os números contam-se; a contagem numérica exprime a descontinuidade que qualitativamente delimita, mas também é delimitada, pela distância numérica; por outro lado a distância que, qualitativamente, separa os números, exprime a continuidade cuja medição terá de ser quantitativamente realizada através de métodos comparativos a partir de uma unidade padrão; por conseguinte, torna-se consensualmente legítimo afirmar: se os números são contados, pois, a distância é medida. Mais, se a contagem e a medição constituem conceitos distintos e relacionados com o problema filosófico-matemático da continuidade, pois, também, a distância e a diferença, enquanto conceptualmente distintos, terão a sua abordagem própria; efectivamente: aquilo que diferencia os números é a posição relativa que cada um ocupa na escala ordenada, por outro lado, entre dois números sucessivos da sequência natural ordenada existe apenas uma distância, porém, entenda-se, essa única distância que existe entre cada número diferente pode ser contada e, assim, por adição sucessiva, originar a progressão numérica dos números naturais mas essa distância não tem de ser sempre igual; essa distância não tem de ser sempre constante; a distância entre cada número pode ser uma variável que varia com algum padrão de regularidade ou, de outro modo, a sua variação pode ocorrer num modo aleatoriamente ao acaso, portanto sem qualquer regularidade. Surge assim d como a variável distância que adapta a fórmula de Patrício Leite: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ. Considere-se a figura:  

 
A constante como medida de continuidade
Qualquer constante mantém, enquanto tal, na sua constância, uma invariabilidade determinante da sua continuidade; contudo, em conformidade com a mais elementar filosofia conceptual da linguagem, pois, a medida e a contagem configuram aspectos fundamentais da repetida dualidade dicotómica humana; efectivamente: a contagem refere-se à variabilidade da descontinuidade e, por outro lado, a medida comporta a constante continuidade. Medir e contar são duas actividades cognitivas paradoxalmente separadas na união, mas unidas na separação. A evolução histórica do pensamento matemático contemplou uma variabilidade descontínua da natureza traduzida pela contagem dos números naturais como entidades descontínuas, mas unidas por uma escala ordenada; posteriormente, a realeza da realidade configurou uma constante continuidade invariante como fundamento da medida dos números reais. Pela racionalidade cognitiva subtranscendente, a conceptualidade humana, apenas consegue vislumbrar a variabilidade, mas também a constância, num grau de liberdade intervalado entre o nada, o zero absoluto e a totalidade do infinito; como que, a variação da variabilidade, mas também a continuidade da constância são, para a transcendência humana, intervaladas entre duas homogeneidades absolutamente constantes: o vazio do nada e a totalidade do infinito. O desconhecido, a incerteza, a insegurança existencial do homem, obrigam a limitar tipologicamente constantes absolutas dentro das quais toda a ciência, todo o conhecimento, todo o entendimento humano se move: são as constantes absolutas que limitam o grau de liberdade no qual as restantes constantes e variáveis se alteram. A constância da variabilidade contínua, é medida, mas não contada, entre zero e infinito; a heterogeneidade descontínua, é contada, mas não medida, entre infinito e zero.
 
A variável e a descontinuidade
Qualquer variável que varia, promove a descontinuidade; efectivamente, entre dois diferentes valores existe, pelo menos, uma diferença: essa diferença, essa distinção identitária, constitui a descontinuidade daquilo que, não mais, se identifica. A origem etimológica da palavra identidade é bem clara: dos termos latinos idem e identitas derivam as ideias de o mesmo, a identidade, a igualdade, a permanência e a continuidade. Avançando para o proto-indo-europeu, parece que por sua vez, idem, deriva de um pronome demonstrativo; demonstrando que esse ou aquele que se mantêm idênticos, pois, também, mantêm a mesma identidade; porquanto, a identidade surge como uma qualidade demonstrativa da permanência, da continuidade, da constância singular, da unicidade constante. Por outro lado, a variação da variável, constitui uma quebra da identidade, uma quebra da constante continuidade. Qualquer categoria de linguagem matemática, baseada na lógica clássica, assume o princípio da identidade como fundamento estruturante do sistema; contudo, a lógica clássica conduz a nova física quântica até ao paradoxo de Schrödinger; por conseguinte, torna-se necessário um novo sistema lógico, uma lógica não-reflexiva, uma lógica que nega o princípio da identidade como meio de ultrapassar os paradoxos da física quântica. A analogia do “gato Schrödinger", simultaneamente vivo e morto, promove a ideia de uma razão: a razão humana como o fundamento construtivista de uma realidade racional: simultaneamente constante e variável, simultaneamente contínua e descontínua; uma realidade cuja acção de observar impõe, simultaneamente, a realidade do observado.
 
Rácio ou razão entre constante e variável          
Um rácio ou razão é constituído por uma fracção composta por um numerador e um denominador. Por outro lado, de um modo mais abrangente, a propriedade fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto, impõe um rácio ou razão como sendo apenas uma divisão cujo dividendo se designa numerador, cujo divisor se designa denominador e cujo resto é igual a zero. Uma proporção é um aspecto mais restrito de um rácio ou razão; porquanto, é um rácio ou razão cujo quociente é um número fracionário.
Se na propriedade fundamental da divisão, o resto for considerado como uma constante de valor igual a zero, pois, o rácio ou razão surge representado por três incógnitas: Dividendo = Divisor x Quociente, agora, tendo em atenção as regras da equivalência matemática pois o Dividendo / Divisor = Quociente. O resultado de um rácio ou razão pode ser constante, razão constante; ou variável, razão variável. O conceito de proporção impõe uma igualdade entre duas razões cuja coerência se baseia num trabalho com números racionais: dividendo1/divisor1 = dividendo2/divisor2; nesta situação, a continuidade da constância e a descontinuidade da variação são calculadas através de quatro atributos. As relações entre estes quatro atributos podem ser calculadas através da análise combinatória. Quando aos quatro atributos correspondem quatro variáveis, pois, num sistema de equações lineares, o grau de liberdade é calculado, pela diferença entre o número de variáveis e o número de equações independentes surgindo um constante determinismo quando tem apenas uma solução já que o número de variáveis é igual ao número de equações independentes e o grau de liberdade é zero; por outro lado, se o número de variáveis é superior ao número de equações independentes pois o sistema é variavelmente indeterminado já que as infinitas soluções resultam de variáveis arbitrarias que não podem ser determinadas pelas condições equacionadas como igualitárias. Em sistemas sobredeterminados o número de restrições excessivo, ou seja, o número de equações é superior ao número de variáveis. Os sistemas sobredeterminados não têm a consistência lógica da razão humana, mas a inteligência ardilosa procura a sua resolução por intermédio de soluções aproximadas como, por exemplo, usando o método dos mínimos quadrados.
Considerando agora o raciocínio, nos termos da filosofia analítica da matemática, pois, os sistemas sobredeterminados transportam o pensamento para a teoria da complexidade com a emergência de padrões globais a partir das interacções locais numa múltipla causalidade circular em cada nível de organização; por sua vez, os vários níveis organizacionais, circulam, numa circularidade sem fim. É pela contagem linear desta circularidade sem fim que surgem os contraditórios paradoxais, típicos da incoerência racional dualística: interior – exterior, homogéneo – heterogéneo, igual – diferente, constância – variabilidade, determinismo – indeterminismo, etc., efectivamente, parametrizando a teoria da complexidade, afirma-se que em sistemas multicomplexos, por simples analogia comparativa, pode-se estabelecer uma correspondência entre cada constante e a restrição igualitária causada por uma equação independente, mas também, entre cada variável e a liberdade própria de uma incógnita do sistema; nesta condição, o grau de liberdade surge como a diferença entre a liberdade da variável incógnita e a restrição da constante; quando o número de restrições causadas pelas constantes supera o número de variáveis incógnitas livres, pois, tal significa que o sistema se diz sobredeterminado; este sistema sobredeterminado exige solução complexa. Acrescenta-se, o conjunto constituído pelas constantes numéricas, regras de operações matemáticas e padrões de pensamento pode, se as constantes restritivas superarem as variáveis livres, configurar um sistema sobredeterminado de complexidade matemática combinatória traduzida pela fórmula de Patrício Leite: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ sendo que, neste ambiente de elevada complexidade, a analise combinatória representada pela  igualdade de Patrício Leite: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ comporta como atributos as letras n e d que servem para designar constantes ou variáveis presentes em ambos os lados da equação.
 
Densidade clássica definida como uma razão constante
As constantes podem ser submetidas a múltiplas classificações: absolutas, relativas; razões constantes, constantes de proporcionalidade, constantes de primeira ordem, de segunda ordem, etc.
Tradicionalmente, a noção clássica de densidade foi primeiramente aplicada por Arquimedes nas ciências físico-químicas como uma razão ou quociente entre a massa como numerador e o volume como denominador; porém, mais tarde, o conceito, definição e aplicação evoluíram generalizadamente para muitas outras áreas das engenharias e ciências físicas, químicas, biológicas e humanas. Em matemática dos números naturais e inteiros, a densidade é, simplesmente, uma razão constante entre duas grandezas; pela racionalidade humana, em matemática dos números racionais, a densidade assume a forma faccionária de uma proporção. A aplicação da propriedade fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto, impõe a densidade como um quociente, rácio, razão ou proporção como sendo apenas uma divisão cujo dividendo se designa numerador, cujo divisor se designa denominador e cujo resto é igual a zero. A partir desta tríade; quando qualquer um dos seus três parâmetros se considera constante, pois, o grau de liberdade aplicado a cada uma das variáveis restantes, fica condicionadamente restrito.
 
Racionalidade do mundo
A filosofia, a amizade pela sabedoria, procura levar metodicamente o conhecimento do saber humano até aos limites da racionalidade; por outro lado, entende-se a racionalidade como, formalmente, estruturada através de um rácio, uma razão, uma fração, um quociente; enfim, uma relação faccionária entre um numerador e um denominador. Por conseguinte, a analogia filosófica, cognitiva e expansiva, desta noção conceptual, transporta o conteúdo do pensamento racional para a respectiva relação faccionaria entre a parte como numerador e o todo como denominador; entre a descontinuidade do numerador e a continuidade do denominador; entre a contagem numérica do numerador e a medição, comparativa, á unidade do denominador; etc., finalmente, a racionalidade da razão, surge como uma nova dialética que ignora o afastamento antitético dos contrários mas, sim, proporciona um dinamismo dialético continuado na descontinuidade, diferente na igualdade, totalitário na parte que parte a totalidade do todo; é nesta nova dinâmica dialética que a densidade se enquadra; é nesta nova dialética dinâmica que a densidade se relaciona com a fórmula de Patrício Leite.         
 
Relação entre a densidade e a fórmula de Patrício Leite
As relações entre a propriedade fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto; a noção clássica de densidade: Numerador / Denominador = Fração, portanto, massa / volume = densidade; e a fórmula de Patrício Leite: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ permitem, agora, abordar a relação entre a densidade e a fórmula de Patrício Leite; efectivamente, se n = 3 então, por inerência matemática, na aplicação da fórmula de Patrício Leite, surge dⁿ = d³ e sabendo que d = distância, imediatamente se compreende que d³ é um volume; com esta volumetria tridimensional pode, para qualquer distância determinada e definida aprioristicamente, ser calculada uma densidade numérica absoluta mas também uma densidade absoluta de permutações sem repetição. Logicamente, d³ compreende as três dimensões clássicas: altura, largura e profundidade; a variação destas três dimensões exprime o contorno da forma de qualquer figura geométrica, bidimensional, ou sólido geométrico tridimensional. Com a fórmula de Patrício Leite e as várias aplicações do conceito de densidade torna-se possível imaginar, não apenas um volume tridimensional, mas todas as dimensões possíveis numa multidimensionalidade até ao infinito.
 
A densidade do espaço e a fórmula de Patrício Leite  
A densidade do espaço é um conceito criado e concebido por Patrício Leite há cerca de 15 anos. De acordo com este conceito o espaço não compreende apenas a abordagem euclidiana pela bidimensionalidade da linha recta como menor distância entre dois pontos; compreende sim, também, a tridimensionalidade volumétrica captada pelo ser humano. Por conseguinte, o espaço surge, em Patrício Leite, com uma anisotropia cujas propriedades e respectivas grandezas medidas variam com a direcção e sentido, mas também, entre outros, em relação ao momento da medição; numa variabilidade de variação variada cuja única constância de permanência se relacionaria com a densidade, ou seja, o densitrão como medida quântica e quantificada da densidade. A filosofia do densitrão aponta para a sua conceptualização como a peça elementar de um puzzle; este densitrão, esta peça elementar de um puzzle totalitário existencial, teria contornos infinitamente deformáveis e a sua única constância seria a densidade. É neste contexto metafórico, ou seja, a construção do puzzle, que em qualquer observação da realidade física como um fenómeno científico, se constata a deformação de contorno e tamanho com o aumento ou diminuição da distância volumétrica espacial entre o observador e o objecto observado. Assim, para melhor entendimento, por analogia comparativa, o espaço poderia ser constituído por dobras ou pregas, invaginações ou enrolamentos, vórtices e redemoinhos que se enrolariam sobre si próprios em enovelamentos multidimensionais cuja relação de natureza constante se relacionaria com a densidade: a densidade do espaço traduzida pelo densitrão. A frequência de formação e deformação do espaço: destas várias pregas, invaginações, enrolamentos e enovelamentos etc. iriam originar simples pulsos descontínuos, mas também, pulsos vibratórios ou pulsos oscilatórios de natureza ondulatória cuja frequência poderia ser captada pelo ser humano promovendo a sensação de continuidade nos estados da matéria: sólido, liquido, gasoso, plasma, ou outros como campo eletromagnético, gravitacional, etc. A variabilidade do espaço com as suas mutações e permutações poderia originar padrões de repetição com múltiplas estruturas emergentes numa complexidade capaz de explicar todos os fenómenos observados e compreendidos pela física como ciência. Surge agora a fórmula de Patrício Leite: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ que, na complexidade, permite relacionar todas as permutações diferenciais n! com a distância do espaço multidimensional dⁿ numa constância associada com a densidade: a densidade do espaço. Obviamente, aqui, n refere-se a contagem numérica discreta e d refere-se a medição da distância contínua entre números porém, entenda-se, não menos importante, doravante, o raciocínio teórico aqui exposto pode ser adaptado e extrapolado com objectivos de aplicação prática como, reconhecidamente, se procede no âmbito da inferência estatística.
 
Síntese conclusiva
Este ensaio manifesta uma grande diversidade de conceitos e raciocínios cuja aparência, confusa e variada, pode aparentar descabimento; porém, salienta-se, giram todos em torno da mesma procura filosófica. De per si, o ensaio não constitui uma etapa final e acabada; no entanto, enquanto etapa intermediaria, manifesta uma riqueza da filosofia criativa relacionada com as várias interpretações que se podem confrontar com a descoberta empírica da fórmula de Patrício Leite: n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ, tendo atenção cada um dos membros desta igualdade. Obviamente, por método, cada conceito, aqui expresso, é analiticamente explorado até aos limites filosóficos da sua coerência racional; a aparência confusa, variada e descabida surge, precisamente, no limbo, no limite entre a racionalidade e a irracionalidade da incoerência humana; seguidamente, por norma, procura-se a analogia metafórica comparativa e agregadora como fundamento de uma síntese matemática e filosófica capaz de proporcionar alguma utilidade em teoria geral da ciência e da física em particular. Por exemplo: para a densidade do densitrão parte-se do conceito elementar, estabelecido pelas ciências físico-químicas, considerando a densidade como sendo uma razão entre a massa e o volume; seguidamente constata-se que entre dois números sequenciais da escala numérica ordenada existe apenas uma diferença contada pela sequência dos números naturais; porém, a dimensão, o tamanho ou comprimento dessa diferença, isto é a distância entre cada dois números da respectiva sequência ordenada, necessita de uma unidade de medição e, reparando atentamente, essa unidade, para produzir efeitos práticos, tem de ser padronizada pala teoria científica; mais, essa distância entre dois números da escala ordenada, ao longo de toda a escala, até ao infinito da contagem, não aparenta ser sempre igual. Continuando o raciocínio: sabe-se que a distância se mede em metros e a tridimensionalidade do metro origina o volume; a partir daqui pode-se efectuar a contagem dos números por unidade de volume e surge a densidade numérica; do mesmo modo, se fossem efectuadas permutações e contadas sequências ordenadas surgiria a densidade destas sequências; por conseguinte, agora, por simples analogia comparativa, transpõe-se o conceito da densidade numérica para o conceito físico de densidade do densitrão, considerando este como a menor distinção formal quantificada de um conteúdo espacial continuo, em analogia com o fotão da teoria da relatividade. São estas sequências, saltatórias, de raciocínios analógicos - porém, compreenda-se - cuja base do fundamento é científica; que proporcionam a coerência racional da constelação teórica expressa neste ensaio. Quando existe regularidade de uma distância entre os números, esta pode ser mensurável, assim formalizada: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ. Considerando que um dos lados da igualdade apresenta relações entre agrupamentos combinatórios com e sem ordem e o outro lado manifesta, puras permutações ordenadas mas também arranjos com repetição, cuja leitura combinatória se faz com base em contagens discretas mas cuja medição da distância impõe, por necessidade, o conceito de continuidade; pois, tal, manifesta um paradoxo cognitivo entre a continuidade e a descontinuidade dos números. Os axiomas matemáticos não parecem resolver este paradoxo, por outro lado, a sua extrapolação analógica e ampliada para a história do pensamento filosófico também o não resolve; por conseguinte, surge este ensaio como mais uma actividade de imaginação criativa, uma etapa intermédia, capaz de facilitar ideias mais sólidas, mais consistentes e práticas: em aplicação física, com a matematização da teoria do densitrão e, entre outras, em aplicação matemática, como na estatística e nas estratégias de investigação operacional.                                                             Doutor Patrício Leite 21 de Junho de 2025

Ficheiro para download: Densidade numérica

QUAL É A DISTÂNCIA ENTRE OS NÚMEROS?

Introdução

Resumo histórico do triângulo aritmético

Resumo histórico do teorema binomial

Os avanços de Stirling

Nascimento da matemática discreta

Comparação entre Blaise Pascal e Patrício Leite

Comparação entre Patrício Leite e Newton

Comparação entre Patrício Leite e Stirling

Comparação entre Patrício Leite e alguns dos seus antecessores

Originalidade matemática triangular em Patrício Leite

Avanço na originalidade criativa de Patrício Leite

RACIOCÍNIO DE ORIGINALIDADE CRIATIVA

Análise e comparação das várias fórmulas gerais

Generalização para a fórmula de Patrício

Evolução da função de Patrício Leite 

Filosofia dos números

Qual é a distância entre os números?

Padrão de variação da distância entre os números

Síntese conclusiva

 

Introdução

Sabe-se que, dois séculos atrás, foram muito divulgadas e aceites, na biologia do desenvolvimento, as ideias de que a ontogenia repete a filogenia; decorridos 100 anos, já em meados do século passado, a teoria geral dos sistemas encontrou padrões de repetição presentes em todos os sistemas: desde o nível mais elementar da física até o mais complexo da sociologia. Mudam-se os tempos, a ciência e as ideias culturais, porém, mantém-se o método da analogia comparativa. Patrício Teixeira Leite, numa ontogenia de raciocínio pessoal que repete a filogenia do conhecimento científico humano, descobriu padrões matemáticos através de sucessivas aproximações empíricas baseadas em tentativa e erro, porém, seguidamente, pesquisando na história do pensamento científico, verificou que desde os tempos iniciais, desde primórdios da humanidade, muitos filósofos investigadores, ao longo do tempo, tinham já contribuído, com ideias e raciocínios, para a continuidade dessa linha de pensamento: as descobertas de Patrício Leite foram apenas mais uma pequena “gota de água na imensidão dos oceanos”, contudo, a ciência, a matemática e a filosofia avançaram. Este ensaio procura interligar os padrões matemáticos descobertos por Patrício Leite na continuidade da respectiva linha histórica do pensamento matemático: foi a história do triângulo aritmético, do teorema binomial e dos respectivos avanços proporcionados; foi o nascimento da matemática discreta; foi a comparação entre os padrões descobertos por Patrício Leite e a contribuição de grandes vultos como Pascal, Newton e Stirling; finalmente, surge mais um RACIOCÍNIO DE ORIGINALIDADE CRIATIVA: é a ruptura conceptual com a posição clássica que entende a distância entre os números como uma constante unitária absoluta definida pela diferença entre dois números naturais sucessivos mas que, por oposição criativa, Patrício Leite substitui por um conceito de unidade relativa, versátil e apenas determinada, para estes efeitos, de acordo com a posição assumida pela variável z da função de Patrício Leite: n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ resta a filosofia da interrogação: Qual é a distância entre os números?             

Resumo histórico do triângulo aritmético

As origens do triângulo aritmético perdem-se na história do desenvolvimento humano. Primeiro terá sido necessário distinguir a apreender tipos de sensações corporais capazes de engendrar a percepção da forma triangular, depois, o desenvolvimento cognitivo terá evoluído para uma concepção puramente abstrata dessa forma triangular percepcionada e depois, somente depois, terá sido possível conceber e trabalhar a triangularidade. Os elementos arqueológicos mais antigos apontam, milhões de anos atrás, protótipos triangulares do paleolítico; posteriormente, com o progressivo domínio do fogo foi-se aperfeiçoando e consolidando a forma triangular das fogueiras em chama; com as civilizações antigas surgiram as pirâmides como primeiros monumentos construídos pelo homem com forma triangular; porém, o primeiro registo histórico de uma aritmética triangular, capaz de configurar o triângulo aritmético, provém do matemático indiano Pingala, que viveu há cerca de 2300 anos. Este primeiro triângulo aritmético teria relação facilitada com as combinações tendo sido, sucessivamente, redescoberto e desenvolvido, do ponto de vista combinatório, ao longo do primeiro milénio da nossa era, por outros matemáticos integrados na cultura místico-religiosa indiana. Provavelmente, a proximidade geográfica, permitiu a exportação da triangularidade indiana para China que, preocupada com a extração de raízes quadradas, cubicas e outras foi, também no primeiro milénio, desenvolvendo sistemas de tabulação triangular; mais tarde, já no primeiro quartel do segundo milénio, estas tabulações triangulares foram detalhados num livro escrito pelo chinês Yang Hui destinado a descobrir coeficientes binomiais. No início do segundo milénio da nossa era também a matemática árabe, em função da proximidade geográfica com a India, copiou, compilou, traduziu e difundiu a triangularidade combinatória indiana e, mais tarde, por métodos de álgebra geométrica e aritmética, derivados de Euclides, os matemáticos árabes foram utilizando o triângulo aritmético indiano para demonstrar e desenvolver estudos com potências binomiais e extração de raízes quadradas, cúbicas, etc.

Com a expansão árabe pelo norte africano magrebino e as viagens de europeus como Fibonancci, pois, a Europa medieval tomou conhecimento do triângulo aritmético e da matemática combinatória cujo interesse foi divulgado por matemáticos alemães como Stifel e italianos como Tartaglia cerca de 100 anos antes do francês Pascal (1623 – 1662); este último sistematizou a abordagem do triângulo aritmético envolvendo os coeficientes binomiais na resolução de problemas probabilísticos e de combinatória numa monografia de publicação póstuma. Quase 100 anos depois o matemático inglês Moivre, publicou um trabalho cuja designação triangulo aritmético de Pascal ficou consagrada na matemática inglesa, francesa e de outros países europeus.

Resumo histórico do teorema binomial          

A história do pensamento matemático mostra que o desenvolvimento do teorema binomial acompanhou, de certo modo, o desenvolvimento do triângulo aritmético: primeiro, a civilização indiana antiga teve Pingala como pioneiro da matemática combinatória, a estudar padrões numéricos e combinações e também, não menos importante, um sistema binário para representação numérica; depois, já no século XII, Bhaskara II e a matemática medieval indiana, avançaram com métodos de resolver equações quadráticas, cúbicas e outras. Provavelmente, a proximidade territorial facilitou a exportação dos conhecimentos matemáticos indianos para a China cujos arranjos numéricos, utilizando cálculos e combinações, apresentados sob a forma de tabelas com coeficientes binomiais, facilitou a identificação de padrões e a generalização de resultados que, conjuntamente com a matemática indiana, se concretizaram e difundiram pela matemática árabe com o persa Al-Karaji a contribuir na generalização de operações algébricas abstratas, combinações e permutações, operações com binómios, trinómios e polinómios como conceitos fundamentais para a expansão binomial e, sobretudo, na disseminação deste conhecimento matemático pela Europa.

O pensamento dualista associado ao sistema de representação numérica binária de Pingala teve repercussões na matemática europeia através da sequência de Fibonancci tendo posteriormente, em relação com o desenvolvimento dos binómios, sido introduzido o termo coeficiente binomial em 1544 pelo alemão Michael Stifel; mais tarde, na Europa no século XVII, Newton generalizou o teorema binomial para a expansão de binómios com qualquer expoente real por uma série infinita.

Os avanços de Stirling

Em continuidade do trabalho matemático decorrente do triângulo aritmético e dos números binomiais, pois, James Stirling fez importantes contribuições no domínio da análise combinatória, das séries infinitas e da interpolação. Stirling admirava profundamente a figura de Newton com o qual disfrutou de uma forte amizade tendo, inclusivamente, efectuadas publicações de trabalhos que demonstravam a sua admiração e seguidismo para com Newton, seu mestre do pensamento matemático. Embora não sendo tão conhecido como outros grandes matemáticos, pois, os trabalhos de James Stirling relacionados com as contagens, como interpolações, séries infinitas ou a fórmula de Stirling, tiveram influência significativa na evolução da matemática mas também a reputação que ao longo da vida adquiriu, conduziram postumamente outros matemáticos, como o dinamarquês Niels Nielsen a, mais de um século após a morte de Stirling, criar a designação números de Stirling: os números de Stirling de primeiro tipo estão relacionados com permutações e ciclos e os números de Stirling de segundo tipo relacionam-se com partições de conjuntos.    

Nascimento da matemática discreta

O desenvolvimento imparável da ciência prosseguiu ao longo de todo o século XVIII e XIX com vários autores a deixar o seu contributo matemático no avanço da combinatória e das contagens. A distinção entre a análise e a aritmética, respectivamente como fundamentos da matemática contínua e discreta já, ao longo da história da matemática, se fazia sentir desde o tempo dos antigos gregos, porém, o desenvolvimento da investigação operacional, da teoria da informação e das ciências da computação vieram, na segunda metade do século XX, a consolidar a designação de matemática discreta ou finita como um ramo autónomo da matemática com as suas aplicações práticas, desafios e áreas de investigação própria.

Comparação entre Blaise Pascal e Patrício Leite

Os intensos estudos sobre as propriedades e regularidades encontradas no triângulo aritmético levaram Pascal, no seu tratado sobre o triângulo aritmético publicado em 1653, a apresentar uma tabela matricial, com linhas e colunas, muito convenientes para o estudo e compreensão dos coeficientes binomiais. Já na contemporaneidade dos inícios do século XXI, Patrício Leite, no domínio da tradicional combinatória iniciou, empiricamente, o seu pensamento matemático criativo pela sucessiva diferença entre potências cuja base segue a sucessão decrescente dos números naturais e cujo expoente se mantém sempre constante. Iniciando assim as sucessivas operações de subtração: 16² - 15² - 14² - 13² - 12² - 11² - 10² - 9² - 8² - 7² - 6² - 5² - 4² - 3² - 2² - 1²

 Com esta sucessão de subtrações sucessivas surge o seguinte conjunto formado por estruturas triangulares:

Considerando o número 2 como o expoente, sempre constante, das potências acima referidas; pois, ao fim de duas subtrações sucessivas surgem estruturas triangulares e cada uma destas estruturas matriciais triangulares converge para o factorial do respectivo expoente, portanto factorial de dois ou seja 2! = 2; a diferença subtrativa entre cada duas destas estruturas triangulares converge para zero. A comparação entre este triângulo das diferenças subtrativas de Patrício e o triângulo de Pascal revela, apesar dos diferentes algoritmos de construção, algumas simetrias comparativas: na mesma forma triangular com que se apresentam porém de simetria invertida, na simetria da soma e subtração como operações aritméticas de construção, na convergência do triângulo das diferenças subtrativas de Patrício e divergência do triângulo de Pascal nos seus respectivos desenvolvimentos, etc.; têm também imensos padrões de repetição numérica que, no caso do triângulo aritmético, foram intensamente pesquisadas e sistematizadas por Pascal; porém com o triângulo das diferenças, Patrício Leite decidiu pesquisar, fundamentalmente, padrões que lhe permitiram evoluir numa construção aritmética e algébrica triangular generalizada. Efetivamente, apesar de o triângulo das diferenças de Patrício ter vários padrões geométricos e topológicos que permitem uma simetria analógica comparativa com o triângulo de Pascal e da consequente possibilidade de sistematização exaustiva, pois, Patrício Leite com a sua intensa actividade criativa, refere alguns padrões e comparações entre triângulos mas procurou sobretudo evoluir numa generalização que a partir do triângulo subtractivo das diferenças aritméticas, avançou empiricamente para a consecução de duas tabelas matriciais triangulares que designou, respectivamente, por triângulo geométrico ou exponencial de Patrício e triângulo factorial de Patrício; vejamos a evolução do procedimento cognitivo: a sucessão sucessiva de operações de subtração: … 6³ – 5³ – 4³ – 3³ – 2³ – 1³ vai agora, considerando o número 3 como o expoente, sempre constante, das potências; ao fim de três subtrações sucessivas originar estruturas triangulares e cada uma destas estruturas matriciais triangulares converge para o factorial do respectivo expoente, por conseguinte factorial de três ou seja 3! = 6; seguidamente, a diferença subtractiva entre cada duas destas estruturas triangulares converge para zero, assim:

Se a observação empírica e ocasional de um fenómeno se pode considerar um acaso, pois, duas observações poderão ser coincidência e três já constituem padrão; a matemática enquanto ciência dos padrões procura a respectiva explicação, estudo e descrição generalizada; de facto, os padrões de repetição constatados para as sucessivas sequências de subtrações numéricas com as potências de expoente dois e três também se verificam para os expoentes naturais que se seguem. Salienta-se, destaca-se e anota-se, desde já, que as sequências iniciais de subtrações de números naturais com o mesmo expoente, sempre constante, foram designadas filamentos ou segmentos de Patrício, ou seja, foi apenas considerada a unidimensionalidade de uma sequência numérica naturalmente ordenada; seguidamente, cada estrutura triangular repetitiva resultante da sequência sucessiva das respectivas subtrações, cujos resultados convergentes originam os designados triângulos das diferenças aritméticas, é designada por fragmento de Patrício, ou seja, é considerada a bidimensionalidade das estruturas numéricas matriciais triangulares; seguidamente, se fosse considerada a tridimensionalidade das estruturas numéricas matriciais triangulares, pois, a resultante estrutura numérica triangular e tridimensional seria, em geometria espacial, uma pirâmide poliédrica triangular; se finalmente fosse sucessivamente considerada a progressão evolutiva da multidimensionalidade até ao infinito, pois, os fragmentos de Patrício resultantes, iriam constituindo repetidos padrões de repetição, melhor, como que padrões de repetição de relações proporcionais entre a parte e o todo, numa fracionaria geometria fractal originalmente constituinte de uma das várias espécies ou tipos de fractais de Patrício. Apesar destas constatações, nessa ocasião, Patrício Leite decidiu continuar a sua investigação por outras vias; por conseguinte, partiu do triângulo das diferenças para padrões que lhe permitiram evoluir na construção de uma geometria aritmética, algébrica, exponencial e factorial triangular generalizada; efectivamente, partindo das sequências de diferenças entre potências sempre com o mesmo expoente constante e base linearmente ordenada pelos números naturais, ou seja, partindo do triângulo das diferenças de Patrício, pois, imediatamente considerou e experimentou a variação empírica do expoente com construção de diversos triângulos das diferenças de Patrício que se distinguiam pelos respectivos expoentes numéricos das potências mas também, simultaneamente, pelo cálculo do factorial desses expoentes para o qual as sucessivas diferenças convergem. Considerando que em cada triangulo das diferenças de Patrício se parte de sequências de diferenças entre potências sempre com o mesmo expoente e se atinge o factorial desse expoente, pois, Patrício Leite imediatamente decidiu generalizar a construção de dois triângulos: um triângulo que, mais tarde, designou por triângulo geométrico ou exponencial de Patrício, foi construído a partir do agrupamento pela ordem natural crescente dos expoentes, concomitantemente, o outro triângulo que, mais tarde, designou por triângulo factorial de Patrício, foi construído através dos cálculos factoriais crescentes dos respectivos expoentes.

 

O triângulo geométrico ou exponencial resulta da disposição do mesmo segmento ou fragmento de Patrício pela ordem natural e crescente dos respectivos expoentes. Explicando com algum detalhe este raciocínio vem: cada filamento ou segmento de Patrício corresponde apenas a uma sequência sucessiva de subtrações de potências ou números potenciais, acima descritos, cujos resultados convergentes originam o respectivo triângulo das diferenças aritméticas; obviamente, os filamentos ou segmentos de Patrício podem ser ordenadamente dispostos pela ordem dos números naturais até ao infinito; neste sentido, a posição sequencial que cada filamento ocupa ao longo de uma linha corresponde a um número natural em relação com a base da potência; por outro lado, os segmentos também podem ser ordenadamente dispostos pela ordem dos números naturais até ao infinito porém, agora, ao longo de uma coluna em relação com o expoente da potência; o lugar ou posição que cada segmento ocupa pode ser devidamente indicado ou indiciado através de dois números: um que indica a posição do segmento ao longo da linha ou eixo horizontal e o outro numero índice que indica a posição do segmento ao longo da coluna ou eixo vertical; como os índices ou indicadores, tanto ao longo da linha como ao longo da coluna, podem ser ordenadamente dispostos até ao infinito, pois, isto significa que se torna possível representar até ao infinito, infinitos triângulos geométricos ou exponenciais, todos eles infinitos, numa representação triangularmente infinita; também agora numa fracionaria geometria fractal original de mais uma espécie ou tipo de fractais de Patrício. Abordando agora o triângulo factorial de Patrício, pois, este foi construído através dos cálculos relacionados aos factoriais dos expoentes das potências numéricas por ordem natural crescente sendo que numa primeira etapa a diferença sucessiva destas potências deu origem aos triângulos de diferenças aritméticas e depois aos triângulos geométricos ou exponenciais. 

O triângulo factorial de Patrício constitui, também, uma matriz triangular com linhas e colunas a partir da qual se podem descobrir imensos padrões de repetição, geométricos e topológicos, capazes de estabelecer entre si relações bem determinadas porém, Patrício Leite decidiu relacionar o triângulo de Pascal com os triângulos exponencial e factorial de Patrício avançando a sua investigação criativa para uma generalização algébrica que lhe permitiu alcançar a relação fundamental de Patrício: n! = a₁(n+1)ⁿ – a₂nⁿ + a₃(n-1)ⁿ – a₄(n-2)ⁿ + a₅(n-3)ⁿ – a₆(n-4)ⁿ + … ± … ± a₁1ⁿ. Sendo que: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, … a₁ são a sequência dos números da linha do triângulo aritmético ou de Pascal

Comparação entre Patrício Leite e Newton

Com a dedução indutiva generalizante da relação fundamental de Patrício: n! = a₁(n+1)ⁿ – a₂nⁿ + a₃(n-1)ⁿ – a₄(n-2)ⁿ + a₅(n-3)ⁿ – a₆(n-4)ⁿ + … ± … ± a₁1ⁿ foi obtida uma fórmula ou expressão algébrica que traduz e exprime a expansão de um factorial num polinómio muito especial; efectivamente, a relação fundamental de Patrício traduz uma igualdade entre um factorial e um polinómio extenso e detalhado com n + 1 termos binomiais; cada um destes termos binomiais é precedido por um coeficiente; a ordem de distribuição destes coeficientes segue a ordem correspondente à respectiva linha do triângulo de Pascal. Mais, cada um destes termos binomiais é, precisamente, um típico binómio contendo dois termos diferentes que se relacionam por operadores aritméticos de somar ou subtrair. As potências destes típicos binómios foram sucessivamente expandidas ao longo da história da matemática tendo Euclides mencionado o teorema binomial, pela primeira vez, cerca de 4 séculos entes da nossa era; mais tarde Isaac Newton encontrou a expressão ou fórmula geral da expansão binomial tendo em sua homenagem surgido a expressão Binómio de Newton para a expansão binomial. Os coeficientes binomiais desta expressão ou fórmula geral correspondem, em termos da análise combinatória, a combinações sem repetição que se organizam em linhas e colunas de acordo com o algoritmo de construção do triângulo de Pascal. Mais, pode-se verificar, aqui e agora, que também a fórmula geral da expansão factorial de Patrício contém coeficientes que traduzem as combinações sem repetição organizadas pelo triângulo de Pascal e a cada um desses coeficientes está associado um binómio que pode ser expandido pelo binómio de Newton; por conseguinte, para cada expansão factorial de Patrício, além dos respectivos coeficientes factoriais, dispostos de acordo com a respectiva linha do triângulo de Pascal, pois, existe também igual número de binómios associados e cada um destes binómios pode ser expandido pelo binómio de Newton; portanto, enquanto a expansão binomial de Newton expande potências binomiais, pois, estas potências binomiais podem ser incluídas e enquadradas na expansão factorial de Patrício que, por sua vez, expande um factorial: o factorial corresponde a linha do triângulo aritmético e ao expoente das potências binomiais determinando assim os coeficientes da expansão factorial de Patrício mas também os coeficientes da expansão de todos os respectivos binómios de Newton dispostos de acordo com a referida linha do triângulo de Pascal.

Comparando a expansão binomial de Newton com a expansão factorial de Patrício, vem:   

     Newton 

Considere-se qualquer binómio: (a - b)ⁿ

O desenvolvimento do binómio de Newton para (a - b)ⁿ

     (a - b)ⁿ = (ⁿ₀)a ⁿ(-b)⁰ + (ⁿ₁)a ^n-1(-b)¹ + (ⁿ₂)a ^n-2(-b)² + … + (ⁿ_n-2)a ²(-b)^n-2 + (ⁿ_n-1)a ¹(-b)^n-1 + (ⁿ_n)a ⁰(-b)ⁿ

O termo geral do binómio de Newton para (a - b)ⁿ

     T_k+1 = (-1)^k(ⁿ_k) a^{n – k} b^k     

A fórmula geral da expansão binomial para (a - b)ⁿ

     (a - b)ⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^ka^{n – k} b^k

     Patrício

Considere-se qualquer factorial: n!

O desenvolvimento da relação fundamental de Patrício para n!

      n! = a₁(n+1)ⁿ – a₂nⁿ + a₃(n-1)ⁿ – a₄(n-2)ⁿ + a₅(n-3)ⁿ – a₆(n-4)ⁿ + … ± … ± a₁1ⁿ sabendo que a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, … a₁ são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal, vem:

        n! = (ⁿ₀)(-1)⁰(n+1)ⁿ + (ⁿ₁)(-1)¹nⁿ + (ⁿ₂)(-1)²(n-1)ⁿ + … + (ⁿ_n-2)(-1)^n-2(3)ⁿ + (ⁿ_n-1)(-1)^n-1(2)ⁿ + (ⁿ_n)(-1)ⁿ(1)ⁿ

Termo geral para a relação fundamental de Patrício para n!   

     T_k+1 = (-1)^k(ⁿ_k) (n+1-k)ⁿ  

A fórmula geral da expansão factorial de Patrício para n!

     n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+1-k)ⁿ       

A comparação entre a expansão binomial de Newton: (a - b)ⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^ka^{n – k} b^k e a expansão factorial de Patríco: n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+1-k)ⁿ fica facilitada, em conformidade, simples e directa, com o acima exposto e detalhado.

     Agora com segmentos ou fragmentos de Patrício (Z)

O desenvolvimento da relação fundamental de Patrício com segmentos ou fragmentos de Patrício para n!

         n! = a₁(n+z+1)ⁿ – a₂(n+z)ⁿ + a₃(n+z-1)ⁿ – a₄(n+z-2)ⁿ + a₅(n+z-3)ⁿ – a₆(n+z-4)ⁿ + … ± … ± a₁(1+z)ⁿ sabendo que a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, … a₁ são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal e que z corresponde a determinado segmento ou fragmento de Patrício, vem:

                n! = (ⁿ₀)(-1)⁰(n+z+1)ⁿ + (ⁿ₁)(-1)¹(n+z)ⁿ + (ⁿ₂)(-1)²(n+z-1)ⁿ + … + (ⁿ_n-2)(-1)^n-2(3+z)ⁿ + (ⁿ_n-1)(-1)^n-1(2+z)ⁿ + (ⁿ_n)(-1)ⁿ(1+z)ⁿ

Termo geral para a relação fundamental de Patrício com segmentos ou fragmentos de Patrício para n! 

      P_k+z = (-1)^k(ⁿ_k) (n+z-k)ⁿ         

A fórmula geral da expansão factorial de Patrício com segmentos ou fragmentos de Patrício para n!

      n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ

Considerando que o valor da variável z corresponde a um determinado segmento ou fragmento de Patrício representado por qualquer número, real ou complexo; considerando também que, qualquer que seja, o valor da variável z não altera o resultado final do factorial n! pois, facilmente se entende que na expansão factorial de Patrício: n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ a expressão matemática (n+z-k)ⁿ corresponde a um trinómio. Assim como na situação do binómio de Newton se pode considerar a expansão binomial e respectiva fórmula geral, pois, também, por semelhança, os trinómios podem ser expandidos em relação com uma fórmula geral. Mais, no trinómio assim representado (n+z-k)ⁿ a variável z pode ser desdobrada em múltiplas outras variáveis interdependentes ou parcialmente dependentes com avanço para o polinómio de Leibniz como teorema multinomial numa generalização do binómio de Newton.

Comparando agora, o desenvolvimento da expansão binomial de Newton com o desenvolvimento da expansão factorial de Patrício, conforme a relação fundamental de Patrício, pois, constata-se facilmente que ambos os desenvolvimentos contêm como coeficientes as combinações simples dispostas segundo a respectiva linha do triângulo de Pascal; no entanto, uma diferença importante, nestes desenvolvimentos e fórmulas gerais consiste, por um lado, o facto de Newton alterar a variação dos expoentes que os vários termos apresentam ao longo do desenvolvimento da expansão binomial, por outro lado, pelo facto de Patrício Leite alterar a variação das bases que os vários termos apresentam ao longo do desenvolvimento da expansão factorial. Efectivamente, em matemática, qualquer potência é constituída por base e expoente e, nesta situação, Patrício Leite trabalhou com as bases das potências e Newton com os expoentes.

Comparação entre Patrício Leite e Stirling

Com um dos resultados sintéticos da breve comparação, acima exposta, entre a expansão binomial de Newton e a expansão factorial de Patrício, a apontar para um trabalho comum com potências mas, aqui, nesta situação concreta, a diferir entre a variação dos expoentes efectuada por Newton e a variação das bases dessas potências efectuada por Patrício Leite; pois, surge James Stirling como terceiro pensador. Efectivamente, Stirling nasceu e faleceu depois de Newton, porém, enquanto contemporâneos, mantiveram grande amizade e correspondência sobre os pensamentos e estudos, a que se dedicavam, na mesma área da matemática. Stirling estudou e expôs o seu pensamento sobre potências, ou seja, números e expressões matemáticas cuja forma potencial significa uma base e um expoente. Foi a partir do trabalho com estas potências que conseguiu definir os, posteriormente, designados números de Stirling. Também Patrício Leite pensou e trabalhou com potências, reconheceu a abstração existencial de potências constituídas por expressões matemáticas na base e no expoente, porém, na racionalidade da sua abstração cognitiva, optou por incluir a representação de todos os principais conjuntos numéricos, incluindo o conjunto dos números complexos, como uma potência cuja base e expoente são, em abstrato, o conjunto total dos números racionais; a concepção destas potências, cujas bases e expoentes são expressões numéricas racionais abstratas, permite avanços significativos relativamente aos trabalhos de Newton e Stirling. A fórmula explícita dos números de Stirling de segundo tipo relaciona-se com partições de conjuntos: S(a,n) = 1/n! Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n-k)^a; considerando agora a designação dos números de Stirling de segundo tipo S(a,n) cuja característica principal consiste exatamente em contar as partições de um conjunto de “a” elementos em “n” subconjuntos não vazios, pois, imediatamente se pode efectuar a comparação com a fórmula de Patrício Leite: n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ considerando provado, que a variável z da fórmula de Patrício Leite pode assumir qualquer valor numérico sem alterar o resultado final da expressão, conclui-se que quando z = 0 então, com a = n, se S(a,n) = 1 pois a expressão da fórmula de Stirling e a de Patrício Leite coincidem; quando z for diferente de zero, então, para alcançar um mesmo resultado final, tem-se um desenvolvimento diferente; contudo, repare-se, quando “a” for diferente de “n” pois as próprias expressões e variáveis das fórmulas de Stirling e de Patrício Leite tornam-se distintas e com diferentes significados; efectivamente a expressão (n+z-k)ⁿ presente na fórmula de Patrício Leite, tem um cálculo, forma, estrutura e significado muito diferentes da expressão (n-k)^a presente na fórmula de Stirling; por semelhança com o seu contemporâneo Newton, pois também Stirling, ao trabalhar com potências, explorou a variação dos expoentes, no entanto Patrício Leite em semelhante situação explorou a variação das bases dessas expressões potenciais. Acrescenta-se que ambas as fórmulas podem ser usadas em conjunto, pois a fórmula de Patrício Leite permite calcular o factorial da fórmula de Stirling, portanto pode-o substituir na respectiva expressão tendo como resultado a fórmula de Stirling – Patrício Leite, assim:

   S(a,n) = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n-k)^a / Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ

Comparação entre Patrício Leite e alguns dos seus antecessores

Com a evolução e o desenvolvimento progressivo da matemática foram vários os investigadores que seguiram a linhagem de pensamento: Pascal – Newton – Stirling. Por exemplo, grandes nomes da matemática como Euler e Lagrange acompanharam e desenvolveram as ideias de Stirling respectivamente pela formalização de conceitos relacionados com os números e a sua teoria mas também para progredir no domínio das probabilidades e análise combinatória; mais tarde Pochhammer trabalhou com factoriais decrescentes e crescentes para os quais criou uma notação própria; mais, o facto da notação factorial crescente se relacionar com as partições reporta imediatamente aos números de Stirling de segundo tipo; foram muitas as fórmulas desenvolvidas, foi enorme a proximidade formal com Stirling e Patrício mas, nunca, em nenhuma situação se pensou ou desenvolveu a relação fundamental de Patrício, mais, também, nenhum raciocínio, nenhuma ideia, nenhuma fórmula incluiu o conceito ou a variável z associada aos segmentos ou fragmentos de Patrício.         

Originalidade matemática triangular em Patrício Leite

Patrício Leite, ao longo de todo o seu pensamento matemático, estudos e respectivos ensaios, sempre tem primado por uma criatividade original; contudo salienta-se, a grande originalidade, aquela originalidade criacionista nunca vislumbrada por qualquer outro matemático anterior, está na descoberta dos filamentos, segmentos ou fragmentos de Patrício que primeiro descobriu mas apenas e tão-somente decidiu divulgar publicamente no ano de 2016. Porquanto, na sequência desta descoberta original, decidiu realizar trabalho cognitivo que, no domínio da matemática pura, lhe permitiu encontrar alguns padrões de regularidades; esboçou também algumas das possíveis aplicações matemáticas relacionadas com estes segmentos de Patrício, contudo, reconhece, ainda há muitos avanços cuja descoberta será reconhecidamente compensadora. Por exemplo, uma interrogação pessoal: que aconteceria se considerássemos a rotação do triângulo das diferenças de Patrício e, em vez de partir da linha ordenada das potências com base natural a convergir para o respectivo factorial dos expoentes, pois, o fizéssemos a partir de qualquer uma das restantes duas linhas deste triângulo; efectivamente, deste modo o vértice de convergência, no lado oposto, seria obrigatoriamente outro número que não o factorial?   

Avanço na originalidade criativa de Patrício Leite

Pergunta: Qual a origem da designação: segmentos ou fragmentos de Patrício?

Resposta: Considerando que a origem, descoberta ou criação deste padrão de repetição e respectivos correlatos matemáticos foi efectuada por Patrício Leite, pois, torna-se legítimo atribuir-lhe a designação do seu criador; por outro lado, considerando que numa sucessão de potências de números naturais, sempre com o mesmo expoente mas com a base crescente, filiforme e ordenada até ao infinito, pois os padrões de repetição surgem de forma linearmente segmentar ou triangularmente por fragmentos, tornam-se legitimas as respectivas designações. Pode agora descrever-se mais um avanço criativo. Efectivamente, tanto o padrão de repetição por segmentos lineares ou filiformes quanto os respectivos fragmentos triangulares comportam um aspecto de continuidade e outro de descontinuidade: por analogia, imagine-se uma escada, pois, entre cada degrau há uma descontinuidade mas essa descontinuidade torna-se contínua na continuidade da escada; comparativamente, na discreta descontinuidade matemática da escala ordenada pelos números naturais, existe uma continuidade diferencial na sequência ordenada de cada um dos números naturais; ou seja, se pela analogia comparativa considerarmos cada número como um patamar ou degrau da escada, pois, a distância entre cada um destes degraus constitui a respectiva continuidade; efectivamente a diferença ou distância entre dois números naturais constitui uma continuidade que avança para os números racionais, reais, complexos ou quaisquer outros; neste sentido o início de cada segmento ou fragmento de Patrício não tem necessariamente de coincidir com um número natural mas pode ser qualquer fração racional, raiz real ou imaginária e desde que a sequência de diferenças corresponda ao valor um, como número natural, pois, o resultado da série de sequências de diferenças será sempre, por convergência, o factorial do respectivo expoente. Foi a partir do pensamento no trabalho de Pochhammer, com factoriais decrescentes e crescentes que surgiu, em Patrício Leite, a analogia metafórica comparativa entre a sua matemática patricista e uma escada cujos degraus ou patamares correspondem a números discretos ou descontínuos e, por outro lado, o espaço ou distância entre cada degrau da escada corresponde a um espaço ou diferença contínua entre os números discretos; esta analogia comparativa permitiu avanços muito significativos na originalidade criativa de Patrício Leite para um ensaio artístico cognitivo cuja arte racional iniciou com a seguinte interrogação: Que acontecerá e que modificações ocorrerão na fórmula de Patrício Leite n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ se não for apenas utilizada a escala dos números naturais, cuja diferença entre dois números sucessivos é igual ao valor um, mas sim, se for utilizada uma escala cujas diferenças sejam de dois-em-dois, de três-em-três, de quatro-em-quatro etc.? Vejamos, pois, como Patrício Leite desenvolveu este belo raciocínio criativo que vai agora ser revelado pela primeira vez!

RACIOCÍNIO DE ORIGINALIDADE CRIATIVA

Inicia-se agora, a exposição do último raciocínio de originalidade criativa; efectivamente, este raciocínio foi cognitivamente concebido e desenvolvido desde o princípio do mês de setembro de 2024 e tem como fundamento do pensamento, a concepção e imaginação de um triângulo das diferenças aritméticas de Patrício cujas bases das potências constituintes não diferem, sucessivamente, apenas de um valor unitário mas sim de dois valores unitários, de três valores unitários, etc. portanto, numa indexação comparativa das diferenças entre os números naturais sucessivos e diferenças entre os números sucessivos que são utilizados nas bases das potências constituintes do respectivo triângulo das diferenças aritméticas de Patrício assim:

DIFERENÇAS COM AUMENTO DA DISTÂNCIA ENTRE OS DEGRAUS, OU MELHOR, ENTRE OS NÚMEROS DA ESCALA

Potências de expoente 2 com diferenças entre as bases de dois em dois

   9² – 7² – 5² - 3² - 1²

81 – 49 – 25 – 9 – 1

32 – 24 – 16 – 8

8 – 8 – 8

Fórmula geral = 2! X 2² = 8

Por definição, cada potência é constituída por uma base e um expoente; por conseguinte, constata-se que todos os expoentes das potências acima têm valor dois mas as respectivas bases dessas potências, acima exemplificadas, distam ou diferem entre si dois valores unitários expressos em unidades indexadas aos números naturais: 9 – 7 – 5 – 3 – 1 são as bases das potencias com uma ordem e disposição decrescente de tal modo que: 9 – 7 = 2;   7 – 5 = 2;   5 – 3 = 2;   3 – 1 = 2. Portanto cada degrau da escada, ou seja, cada número da base da potência, dista do anterior dois valores expressos em números naturais; por outro lado, o valor do expoente mantém-se. Agora, seguindo um algoritmo pelo qual se efectuam cálculos com sucessivas sucessões de diferenças sucessivas até encontrar o último valor antes da convergência para o valor zero, pois, surge um resultado que se pode traduzir por uma fórmula geral que, na situação acima exemplificada, com bases a distar entre si dois valores e expoentes sempre com o valor dois, pode ser assim escrita: Fórmula geral = 2! X 2² = 8     

Outro exemplo:

Potências de expoente 2 com diferenças entre as bases de três em três

13² – 10² – 7² – 4² – 1²

169 – 100 – 49 – 16 – 1

69 – 51 – 33 – 15

18 – 18 – 18

Fórmula geral = 2! X 3² = 18

Neste exemplo mantém-se o expoente das potências sempre com valor dois mas, agora, as bases dessas potências distam ou diferem entre si três valores unitários expressos em unidades indexadas aos números naturais. Agora, ao efectuar o algoritmo dos cálculos sucessivos de sucessões de diferenças sucessivas, pois, o último valor antes da convergência para o valor zero é traduzido pela Fórmula geral = 2! X 3² = 18. Comparando a distância de três valores entre as bases das potências com a anterior distância de dois valores, pois, torna-se bem patente que na fórmula geral se constata a variação do resultado num acompanhamento proporcional ao da variação da distância entre as bases das potências.

Mais um exemplo para consolidar o raciocínio e compreensão dos dois exemplos anteriores.

Potências de expoente 2 com diferenças entre as bases de quatro em quatro

17² - 13² - 9² - 5² - 1²

289 – 169 – 81 – 25 – 1

120 – 88 – 56 – 24

32 – 32 - 32

Fórmula geral = 2! X 4² = 32

Também este exemplo segue com o mesmo algoritmo dos anteriores; os expoentes continuam com valor igual a dois, porém, agora, com as bases distam entre si quatro valores unitários expressos em unidades indexadas aos números naturais. A Fórmula geral = 2! X 4² = 32 permite, em comparação com as suas congéneres anteriores, verificar que conforme, na resolução do algoritmo, a variação da distância entre as bases aumenta, pois, também, aumenta o valor da base da potência que se encontra na fórmula geral. Com mais este exemplo, pois, o raciocínio cognitivo vai sendo preparado e conduzido para uma generalização algébrica mais lata e mais abrangente.  

Seguindo sempre o mesmo algoritmo, pois, vêm agora dois novos tipos de exemplos, ou seja, o expoente aumenta para o valor três, porém, a variação das bases apenas assume valores iguais aos que já tinham sido usados nos exemplos anteriores. Assim, preparam-se as estruturas cognitivas racionais para uma formulação algébrica mais generalizada.

Potências de expoente 3 com diferenças entre as bases de dois em dois

11³ - 9³ - 7³ – 5³ – 3³ – 1³ 

1331 - 729 - 343 – 125 – 27 – 1

602 - 386 - 218 – 98 – 26

216 - 168 - 120 – 72

48 - 48 – 48

Fórmula geral = 3! X 2³ = 48

Neste exemplo constata-se que seguindo a, já anteriormente descrita, construção algorítmica do triângulo das diferenças aritméticas de Patrício, pois, as bases das potências variam de dois-em-dois valores, porém, o expoente mantém sempre a constância do valor três; por conseguinte, a respectiva Fórmula geral = 3! X 2³ = 48 pode, agora, ser comparada com a sua congénere que foi deduzida num dos exemplos anteriores: Fórmula geral = 2! X 2² = 8. Esta comparação permite iniciar a ideia generalizante de que mantendo-se sempre constante o valor das bases das potências, aqui igual ao valor dois, pois, a variação dos valores dos expoentes: primeiro o valor dois e depois o valor três, faz-se sentir de igual modo, tanto na etapa da construção algorítmica como na respectiva fórmula geral.

Finalmente, o próximo exemplo, seguindo a evolução do exemplo anterior, também se realiza com o expoente sempre constante e de valor igual a três mas, por outro lado, as bases variam agora de três em três valores.

Potências de expoente 3 com diferenças entre as bases de três em três

16³ - 13³ - 10³ – 7³ – 4³ – 1³ 

4096 - 2197 – 1000 – 343 – 64 - 1

1899 – 1197 – 657 – 279 – 63

702 – 540 – 378 – 216

162 – 162 – 162

Fórmula geral = 3! X 3³ = 162

Com este exemplo atinge-se uma Fórmula geral = 3! X 3³ = 162 que pode ser comparada com a sua congénere resultante do exemplo anterior: Fórmula geral = 3! X 2³ = 48 no entanto acentua-se que o valor expoente se mantém mas o valor da base é variado.

A comparação de todos os exemplos acima expostos conduz o raciocínio para a constatação de um padrão de regularidade entre a variação das bases, a variação dos expoentes e, em conclusão, a variação dos resultados obtidos.

Análise e comparação das várias fórmulas gerais

Segue a transcrição das fórmulas gerais correspondentes aos exemplos acima citados:

Fórmula geral = 2! X 2² = 8

Fórmula geral = 2! X 3² = 18

Fórmula geral = 2! X 4² = 32

Fórmula geral = 3! X 2³ = 48

Fórmula geral = 3! X 3³ = 162

Este agrupamento de fórmulas permite uma visualização alargada sobre os vários padrões de repetição que se encontram quando, nas potências, entre todas as possibilidades de combinar variações, pois, apenas se escolhem três: variação sucessiva das bases, variação sucessiva dos expoentes ou, então, variação sucessiva das bases e dos expoentes. A análise comparativa das várias fórmulas numéricas aqui expostas permite uma generalização algébrica dos padrões de repetição que se pode traduzir por uma potência assim: dⁿ; sendo que a letra d corresponde à distância ou diferença entre as bases de dois números potenciais seguidos e a letra n corresponde aos respectivos exponenciais.   

Generalização para a fórmula de Patrício

Considerando que se verificam padrões de repetição já antes encontrados e descritos nos triângulos das diferenças aritméticas de Patrício; considerando que no primeiro triângulo das diferenças aritméticas que Patrício Leite tinha concebido e descrito, há já muito tempo, pois, a diferença entre os valores numéricos das bases das potências, apenas, tinha indexação com a diferença encontrada entre os números naturais sucessivos; porém, aqui e agora, por inovação criativa, foram efectuados triângulos das diferenças aritméticas com diferentes distâncias entre as bases das respectivas potências; finalmente, considerando que sempre e em qualquer dos ensaios, sempre, foi experimentada a variação dos expoentes, mais, essa variação sempre teve correlação com as linhas do triângulo de Pascal mas também do respectivo factorial; pois, por analogia comparativa, apenas foi necessário acrescentar alguns raciocínios para introduzir estes novos padrões de repetição na fórmula de Patrício: n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ.

A contingência do resultado foi surgindo gradualmente: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ; obviamente, d - distância ou diferença entre as bases de dois números potenciais seguidos. Esta mesma formulação poderia, simplesmente, ser obtida pelo princípio de equivalência entre equações segundo o qual a multiplicação de um número por ambos os membros de uma equação tem como resultado uma equação equivalente; no entanto, esse avanço com base nos princípios de equivalência entre igualdades nunca iria permitir uma compreensão abrangente, uma filosofia dos números que confronta a descontinuidade numérica da matemática discreta com a continuidade funcional dos números reais.

Evolução da função de Patrício Leite  

No sentido deste raciocínio de originalidade criativa, aqui exposto, podem-se considerar quatro etapas, a saber:

Primeira etapa: n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ;

Segunda etapa: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ;

Terceira etapa: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(nd+zd-kd)ⁿ;

Quarta etapa: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(p-kd)ⁿ;

Pela análise da função definida nesta terceira etapa: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(nd+zd-kd)ⁿ; pode-se verificar que nd e zd são constantes volitivas que podem ser escolhidas aleatoriamente no início do cálculo, sem alterar o resultado final; obviamente que z corresponde ao início do segmento de Patrício, d corresponde à distância entre cada termo constituinte do respectivo segmento de Patrício afectando, por isso, o tamanho do segmento; tamanho este que, apesar de não ter qualquer correspondência absoluta com a distância entre números naturais sucessivos, pois, pode a estes ser indexado.

Agora, considerando a constância de nd e zd, torna-se possível definir uma constante conjunta, assim: nd + zd = p. Considerando que esta constante conjunta (p) conduz o raciocínio para uma origem, magnitude, direcção e sentido; pois, vislumbra-se imediatamente a possibilidade da sua utilização, não apenas escalar mas, também, vectorial natural. Neste sentido, a fórmula resultante será: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(p-kd)ⁿ.       

Filosofia dos números

Saber o que é um número não é uma tarefa fácil; efectivamente, o homem, desde os primórdios da abstração matemática, tentou definir claramente o conceito de número: foi o conceito dos números naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, etc.; com o evoluir dos tempos e da complexidade matemática surgiu, como disciplina, a teoria dos números; sempre a tentar integrar o conceito de número num conjunto cada vez mais amplo. Se numa primeira fase cada número definia apenas um compartimento estanque, uma finitude numérica integrada numa matemática finita ou discreta, pois, com evoluir conceptual foi-se acrescentando a continuidade numérica funcional e ampliado o conceito infinito de número no vasto conjunto dos números reais; no entanto, pela permanência da descontinuidade numérica, tornou-se necessário uma maior amplitude conceptual, tornou-se necessário integrar o imaginário, integrar a imaginação criativa, na crescente complexidade numérica; outras lacunas, outros problemas surgiram: a criatividade humana não tem fim. Os números e as operações matemáticas sempre caminharam juntos, sempre manifestaram uma indissociabilidade permanente; primeiro foi a operação de adição como essência fundamental para a sucessão dos números naturais; depois, a subtração veio fundamentar a essência dos inteiros; seguidamente a divisão fundamentou os racionais e a multiplicação os reais; os complexos necessitaram de duas operações: multiplicação e adição.

Toda a ciência em geral e, sobretudo, a matemática em particular, dependem da actividade cognitiva racional para se manifestarem como corpo de conhecimento, por conseguinte, de acordo com o método da redução eidética fenomenológica: o juízo surge como uma relação entre conceitos, o raciocínio como uma relação entre juízos e a razão como uma relação entre raciocínios; finalmente a razão é, etimologicamente, um rácio, uma fração ou quociente entre numerador e denominador. Se a racionalidade da razão humana é um rácio, uma fração ou quociente, pois, é na operação divisão, ou melhor, na razão, como fração ou quociente, que se fundamentam os números racionais mas, também, é pela multiplicação que se atingem as potências; as potências com base inteira e expoente faccionário podem representar muitos números mas são as potências com base fracionária e expoente fracionário que, na plenitude da razão, em matemática, indiciam a solução representativa quantitativa para todos os problemas, levantados pelo conceito de número; obviamente, até ao momento presente, são imensos os problemas correlatos: o desenvolvimento da estatística veio, desde logo, levantar o problema das escalas de medida como instrumento quantitativo. A classificação das escalas de medida em nominais, ordinais, intervalares e de razão procurou contemplar a evolução dos problemas e respectivas soluções ao longo do tempo e da evolução dos conhecimentos matemáticos: por exemplo, com as escalas ordinais tentou-se, filosoficamente, colmatar o problema da ordinalidade dos números, mas faltava resolver o problema quantitativo da cardinalidade; com as escalas intervalares resolvem-se alguns problemas quantitativos relacionados com a adição e subtração mas falha na multiplicação e divisão o que impossibilita comparações entre razões ou proporções; com as escalas de razão e a admissão de um valor zero absoluto resolvem-se todos os problemas anteriores mas a curiosidade criativa humana levanta novos problemas.

Qual é a distância entre os números?

Uma análise muito superficial pode concluir que, com as escalas de medida intervalares e, obviamente, as de razão, se resolve o problema da distância entre os números já que, efectivamente, se pode considerar a igualdade dos intervalos, pela qual a diferença entre dois intervalos ou valores consecutivos é sempre a mesma; porém, reflectindo profundamente, encontra-se um problema maior. A matemática descritiva profunda nem sempre encontra na operação de subtração a solução para o problema da diferença ou distância; efectivamente, a reflexão filosófica conduz ao dilema da dualidade fundamental entre igualdade homogénea e contínua versus descontinuidade heterogénea e diferente. É sabido que todos os problemas quantitativos da matemática assentam nos números naturais como fundamento absoluto; é também sabido que os números naturais assentam numa progressão aritmética de razão unitária; por circularidade racional conclui-se que a subtração entre termos consecutivos origina a razão unitária desta progressão aritmética e a subtração entre as razões origina o zero absoluto. Vêm agora, problemas da matemática filosófica: que aconteceria se entre cada número natural existissem várias diferenças unitárias? Efectivamente, uma simples reflexão mostra que entre dois números naturais sucessivos não existe apenas uma diferença quantitativamente comparativa já que cada um é sempre maior que o seu antecessor e menor que o seu sucessor, porquanto, estas várias diferenças ordinais são sempre diferentes entre si; são muitas as outras características distintivas qualitativas, porém, nos termos quantitativos da cardinalidade, intuitivamente, assumiu-se que a unidade numérica dos números naturais era única e a sucessão progressiva destes números resultava de um raciocínio comparativo entre a quantidade de unidades unitárias anteriores e posteriores; no entanto a definição dos critérios desta unidade nunca foi conseguida. Mais, ainda que, por absurdo, se imponha a ideia de aceitar apenas uma diferença unitária entre cada dois números naturais sucessivos, pois, isso não significa que as diferenças unitárias entre mais de dois números sucessivos sejam sempre iguais ou, então, que o valor unitário considerado coincida com o valor unitário tido como natural e absoluto na progressão dos números naturais; efectivamente, o raciocínio acima exposto e conducente a esta fórmula: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ exemplifica uma situação em que existe apenas uma diferença entre dois números naturais sucessivos mas a distância, o espaço, entre esses números naturais sucessivos é diferente da unidade absoluta concebida para os números naturais; ou seja, apesar de existir apenas uma diferença entre números naturais sucessivos, é preciso quantificar o tamanho dessa diferença. Cumpre, agora, esclarecer a racionalidade filosófica deste pensamento. A filosofia do fundamento conceptual de número está na heterogeneidade; efectivamente, num campo homogéneo, tudo é igual, não existem números: numa igualdade totalitária, conceber uma diferença conceptual é um completo absurdo que, por simultaneamente afirmar e negar o que afirma, constitui um paradoxo linguístico da lógica bivalente. Por analogia comparativa com o dualismo cognitivo do signo linguístico em significante e significado pois, também, em questões numéricas, se podem definir o significante como o algarismo, ou representação visual, do número e o significado como a distancia entre os conceitos mentais evocados pelo significante. Por conseguinte, se os algarismos como significantes são diferentes pois, também, as distancias entre eles, como conceitos mentais significados, terão de ser diferentes. O conjunto formado pela totalidade dos diferentes números e a totalidade das diferentes distâncias entre esses números constitui o objectivo cognitivo desta reflexão. Mais, os números podem ser organizados numa base numérica padrão; como, por exemplo, ocorre no sistema decimal de base dez; pois, também as respectivas diferenças de distâncias entre os números, se podem organizar numa, qualquer, base padrão voluntariamente escolhida.

A numeração natural considera que entre dois números naturais sucessivos existe apenas uma diferença e que o valor dessa diferença é unitário. Assim, dois números, para serem dois e não, apenas um, têm de possuir entre eles, pelo menos, uma diferença; como acima descrito, entre dois números existem muitas e imensas diferenças porém, a condição sine qua non é a existência de, pelo menos, uma diferença. Agora, considerando que entre dois números sucessivos, existe apenas uma diferença, pois, o valor dessa diferença pode ser constante, isto é, sempre igual a si própria; ou pelo contrário, sempre diferente de si própria; pode também assumir muitos e imensos padrões de repetição com uma regularidade diferencial imediatamente constante ou então uma regularidade variável mas que, em algum ponto da sua existência diferencial, tende para uma convergência constante. A constância não admite diferenças e, por isso, a diferença entre constantes é nula, é igual a zero. Nos primeiros triângulos das diferenças aritméticas de Patrício, foi considerada a distância constantemente unitária dos números naturais, em consequência dessa consideração, foi alcançada a fórmula de Patrício Leite n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ porém, continuando a considerar-se distâncias constantes entre números seguidos, mas agora diferentes do valor unitário um, pois, obteve-se por generalização a fórmula: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ; obviamente que dⁿ se coloca em ambos os lados da igualdade, por conseguinte, qualquer que seja o valor assumido por dⁿ, enquanto variável que varia, pois, desde que essa variação tenha uma existência diferencial tendente para uma convergência constante, a igualdade mantém-se.

Padrão de variação da distância entre os números

Se na fórmula: n!dⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^kdⁿ(n+z-k)ⁿ; for considerada a sucessão de números naturais com a distância entre cada número sempre constante e igual a um, portanto d = 1, pois o resultado é a fórmula inicial de Patrício Leite: n! = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(n+z-k)ⁿ porém, anote-se, a distancia entre cada número pode, continuando sempre constante, ser igual a dois, d = 2; ou então igual a três, d = 3; etc, … torna-se imediatamente compreensível que nestas situações, considerando a constância da distância entre cada dois números sucessivos, pois, a diferença de distâncias é igual a zero. Finalmente, considerando que a distância entre cada número é sempre diferente, no entanto, esta diferença segue um padrão de repetição na sua variação, assim: d = Sn = 1 + 2+ 3 + 4+ 5 + 6 + … + n; pois, este padrão de variação da distância entre os números tem a sua tradução na fórmula: n!(Sn)ⁿ = Σⁿ_k=0(ⁿ_k)(-1)^k(Sn)ⁿ(n+z-k)ⁿ contudo, também aqui, a igualdade mantém-se. A partir daqui, considerando que o valor de z condiciona o início dos segmentos ou fragmentos de Patrício, pois, podemos deduzir a sua importância para a valoração das distâncias entre números sucessivos; porquanto, o tamanho, a distância ou espaço entre números naturais sucessivos tem a sua quantificação em relação com o valor de z, por conseguinte, os critérios da definição de unidade dos números naturais deixam de conceber essa unidade como absoluta mas sim relativa: entre dois números naturais sucessivos existe apenas uma diferença obtida pela operação de subtração, no entanto, compreende-se agora que as dimensões, espaço, distância ou tamanho dessa diferença tem em conta o valor do referencial z. Reflectindo, a permutação factorial de qualquer quantidade de objectos diferentes retorna a quantidade total de sequências; qualquer uma destas sequências, em relação com o valor z, tem um princípio, um fim e ocupa uma ordem posicional; sendo certo que qualquer uma destas sequências poderia ser escolhida como fundamento absoluto para os dados quantitativos da matemática, também é certo que a escolhida, pela humanidade, foi a sequência dos números naturais; os números naturais são diferentes, pelo que dois números naturais sucessivos têm, pelo menos, uma diferença entre si; salienta-se, contudo, que as dimensões ou tamanho desta diferença, melhor, a distância entre dois números naturais sucessivos não tem qualquer interferência na quantidade permutacional final de sequências mas sim na regularidade da amplitude das oscilações que permitem atingir essa quantidade permutacional final. A analogia comparativa com uma escada e respectivos degraus permite modelar as estruturas cognitivas para o entendimento deste problema matemático filosófico: por um lado assumindo, comparativamente, a existência de diferentes distâncias entre degraus sucessivos, por outro, as diferenças do tamanho ou dimensões de cada degrau sucessivo ao longo da escada.

Síntese conclusiva

Este ensaio começou no início de fevereiro deste ano de 2024. A sua finalidade, por semelhança com o ensaio anterior: recorrência da ordem, aqui publicado em 13 de outubro de 2023, consistiu na constante tentativa de interligar os padrões matemáticos descobertos por Patrício Leite com os antecedentes históricos e o desenvolvimento científico da matemática. Por simples prazer lúdico, foi efectuada e introduzida alguma racionalidade de originalidade criativa; foram centenas de horas dominadas pelo prazer da criação conceptual; foi mais uma obra do pensamento e do intelecto; foi a arte de pensar o pensamento como arte.

                                                                                                            Doutor Patrício Leite

                                                                     19 de Novembro de 2024

Ficheiro para download: Qual é a distância entre os números?