Resolução de P versus NP

INTRODUÇÃO
São imensos os símbolos que permitem ao ser humano compreender a realidade em que está inserido. Em cada linguagem há uma tremenda variabilidade, desde as letras, palavras e frases até aos textos escritos e falados, um imenso número de associações, depois tem de se considerar as várias linguagens e códigos; tudo informaticamente reduzido a um sistema de numeração binário, dois números, dois dígitos, zero e um.
Os números mantêm complexas relações entre si e procurar as várias relações que os sustentam é avançar na teoria da complexidade pois, até para uma máquina superpotente há limites temporais. A questão fundamental é saber se um computador consegue, em tempo útil, “decidir” se os algoritmos de decisão que tem para resolver funcionam em tempo polinomial em confrontação com outros que funcionem em tempo não polinomial; podendo atingir iguais resultados. Como representantes máximos dos algoritmos que funcionam em tempo não polinomial temos a noção matemática de factorial pela qual se chegou a um problema conhecido tradicionalmente como o problema do caixeiro-viajante.    

O PROBLEMA DO DELEGADO COMERCIAL
Era uma vez um delegado comercial que durante o ano visitava sete vezes, cada um dos seus sete clientes, localizados em sete cidades diferentes que tinham todas, entre si, diferentes distâncias. Com tantas viagens, acabou por arranjar sete namoradas, uma em cada cidade que visitava. Cansado de tanto trabalhar, decidiu fazer uma semana de férias, durante esses sete dias, pretendeu visitar cada uma das suas sete namoradas, uma por cada dia de férias. Como o tempo era escasso, tentou percorrer o menor caminho possível, optimizar a rota da viagem de visita às sete namoradas; assim reduziria o tempo gasto na viagem e poderia estar mais tempo com as suas queridas donzelas. Chegadas as férias desejadas, no primeiro dia, tentou traçar a melhor rota mas não conseguiu. Telefonou então ao seu irmão mais novo que dizia ser o melhor estudante de matemática; obteve a confirmação de que o número de rotas possíveis era uma espécie de permutação matemática, ou seja, um factorial de sete e portanto o número de rotas ou trajectórias possíveis seria 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5040. Durante os seis dias restantes gastou o tempo a tentar descobrir, destas 5040 rotas ou trajectórias possíveis, aquela que lhe optimizaria o tempo, ou seja a que lhe permitiria gastar menos tempo em viagem e estar mais tempo com as namoradas. Não conseguiu; gastou o seu tempo de férias em cálculos e tentativas de optimizar a rota e foi tudo inútil, tudo sem efeito. No dia seguinte exausto, deprimido e triste, não foi trabalhar, procurou o seu médico de família. A chorar e deprimido expôs o problema; passara as férias a tentar ganhar tempo para gastar com as namoradas e afinal tudo perdeu, nem uma namorada conseguiu visitar. Tratando-se de uma simples reacção depressiva, o seu médico não lhe prescreveu medicamentos mas prometeu que o iria ajudar, que iria pensar no assunto.
Assim foi, já no carro, de regresso a casa, o médico de família pensava que eram vários os nomes das cidades, que se conseguisse ir eliminando termos desses polinómios, seria facilitado o seu trabalho mas infelizmente não conseguia, não tinha potência. Surgiu-lhe então a ideia das potências matemáticas e começou a imaginar os vários números potenciais com as respectivas bases e expoentes. Na continuação desse pensamento verificou que o resultado da segunda sequência de diferenças entre três números decrescentes seguidos e elevados ao quadrado, era sempre dois.

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA – O INÍCIO
Para quaisquer três números potenciais elevados ao quadrado, ou seja com expoente igual a dois, ordenados seguidamente da base maior para a menor; a segunda sequência de diferenças entre três quaisquer destes números potenciais seguidos, tem sempre por resultado o número dois. Portanto, se a três números naturais sucessivamente decrescentes, todos elevados a dois, for efectuada uma sequência de subtracções, entre dois números seguidos, e aos resultados destas operações for efectuada uma segunda sequência de subtracções, também entre resultados seguidos, pois o resultado final encontrado será sempre o número dois.
Exemplificando:
82  -  72  -  62  -  52  -  42  -  32  -  22  -  12
    15  -  13  -  11 -  9   -  7   -   5  -   3
          2   -   2    -  2  -  2  -   2   -   2
               0        0      0     0        0
Ou seja: 2! = 2x1 = 2

Números potenciais com expoente 3:
Este padrão de repetição matemático também se verifica, para números potenciais com expoente 3. No entanto, quando o expoente é igual a 3, pois terão de ser quatro os números potenciais seguidos de acordo com a ordem decrescente das suas bases, mas também o número de sequências de operações de subtracção, terá de ser igual a 3; portanto primeiro subtraem-se os números, depois subtraem-se os respectivos resultados, depois subtraem-se os resultados dos resultados e surge assim o resultado final, com um número natural que será sempre igual a 6. Sendo que 6 é também o resultado do factorial de 3.
Exemplificando:
73  -  63  -  53  -  43  -  33  -  23  -  13
  127 -  91 -  61  - 37 -   19  -   7
         36  - 30  -  24 -  18   -   12
               6   -   6   -   6   -   6
                     0       0       0  
Ou seja: 3! = 3x2x1 = 6
Verifica-se pois, uma regularidade matemática entre os expoentes de números potenciais, como números factoriais, e a sequência de subtracções sucessivas entre números potenciais seguidos, organizados pela ordem decrescente das suas bases, e também subtracções sucessivas e sequenciais dos respectivos resultados até chegar ao último número natural; número este que é igual ao resultado do respectivo factorial do expoente. Ou seja, ao factorizar o expoente 3 o resultado é 6, mas 6 é também o resultado da diferença sucessiva entre 4 números potenciais seguidos de expoente 3, organizados pelo valor decrescente das suas bases assim como da diferença sucessiva dos respectivos resultados num total de 3 sequências de diferenças até chegar ao resultado final que é o número 6, portanto igual ao resultado do factorial de 3.

Encontrar uma regularidade matemática, um padrão de repetição, na relação entre números potenciais com o mesmo expoente, o factorial desse expoente e sucessivas operações aritméticas de subtracção até chegar a um resultado igual ao do factorial, exige a confirmação desse padrão, exige a consolidação dessa regularidade. Assim, foram efectuados cálculos numéricos com vários outros expoentes de números, com a vontade de verificar o padrão encontrado.

Números potenciais com expoente 4:
O padrão de pensamento matemático e operações de cálculo efectuados com os números potenciais de expoentes 2 e 3, foi agora repetido para o expoente 4.
Exemplificando:
  64   -   54   -   44   -   34   -   24   -   14 
      671 - 369  -  175  -  65   -  15
           302  -  194  -  110 – 50
                108   -   84   -   60
                         24    -    24
                                 0
Ou seja: 4! = 4x3x2x1 = 24

Obviamente confirmou-se que o factorial do expoente 4 é igual a 24, precisamente igual ao resultado encontrado com operações de subtracção sucessivas e sequenciadas até chegar ao último número natural, como resultado final deste padrão de operações de cálculo. No entanto para números com expoente 4 também o número de sequências de subtracções sucessivas é igual a 4.

Números potenciais com expoente 5:
Para números potenciais com expoente 5, a repetição do padrão de raciocínio e operações de cálculo matemático confirmou a consistência dos resultados previstos.
Números potenciais com expoente 6:
Repetiu-se a consistência dos resultados previstos.

Números potenciais com expoente 7:
Para realizar indução matemática, com toda a confiança, ainda realizou mais um cálculo e os resultados foram os previamente previstos.


A expressão algébrica que traduz este tipo de padrão ou regularidade matemática é imediata, no entanto este foi apenas um primeiro raciocínio, um pensamento inicial, um pensamento exploratório. Torna-se necessária uma segunda série de cálculos conducentes a novos padrões matemáticos, novas regularidades matemáticas capazes de resolver o problema.

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA – CONTINUAÇÃO
Se por um lado foi verificado que o resultado do factorial do expoente, de números potenciais, iguala o resultado de sequências de sucessivas subtracções até atingir o último número natural, precisamente antes de zero; pois torna-se agora necessário verificar o modo como as bases dessas potências se relacionam, na procura de novos padrões matemáticos, novas regularidades que resolvam o problema.
Assim, foram persistentemente efectuadas substituições, nos respectivos resultados, das sequências de sucessivas subtracções, pelos correspondentes números potenciais. Portanto cada resultado da operação de subtracção foi substituído pelos correspondentes números potenciais que o originaram, como se segue:

Números potenciais cujo expoente é 3:
Parte-se do triângulo invertido que relaciona o expoente dos números potenciais, com as sequências de sucessivas subtracções até atingir o último número natural, precisamente antes de zero.
43  -  33  -  23  -  13
  37  -   19  -   7
      18   -   12
             6 
A seguir, estabelecendo a correspondente igualdade, relacionam-se os resultados da primeira sequência de subtracções com os respectivos números potenciais. Portanto igualam-se os resultados de cada uma das sucessivas subtracções aos respectivos números potenciais que lhes deram origem. Efectuam-se as respectivas substituições.
Exemplificando:
37 =  43  -  33
19 =  33  -  23 
7 = 23  -  13

Passando para a sequência de subtracções, que se segue, a cada resultado é efectuada a respectiva substituição pelos correspondentes números potenciais que lhes deram origem; considerando que já antes tinham sido efectuada uma primeira substituição. Portanto trata-se da substituição de uma substituição; ou seja, duas sequências de substituições.
Exemplificando:
18 = 37 - 19 = 43  -  33 - (33  -  23 ) =  43  -  33 - 33  +  23
 12 = 33  -  23  - (23  -  13) = 33 – 23 – 23 + 13

Continua-se a substituição de sucessivas substituições, nas sequências de sucessivas subtracções, até encontrar o último número natural, precisamente antes de zero, o qual surge como uma relação aritmética entre os números potenciais que lhe deram origem.
Exemplificando:
18 – 12 = 43  -  33 - 33  +  23 – (33 – 23 – 23 + 1 ) =  43  -  33 - 33  +  23 – 33 + 23 + 23 - 13  = 
= 43  -  33 - 33  +  23 – 33 + 23 + 23 - 13  = 43 – 3x33 + 3x23 – 13 =
= 1x433x33 + 3x231x13 = 6  = 3x2x1= 3!

Assim, surgiu finalmente uma expressão numérica que relaciona as sequências de sucessivas subtracções, agora traduzidas pelos respectivos números potenciais, com o número factorial do expoente, comum a todos esses números potenciais, que a originaram.  

Números potenciais cujo expoente é 4:
 A regularidade matemática concretizada nas várias igualdades de sequências de substituições sucessivas, aos resultados encontrados nas sequências de sucessivas subtracções, pelos correspondentes números potenciais, ordenados pelo valor decrescente das suas bases, mantém-se para os números cujo expoente é 4; assim vai ser encontrado um resultado final em consonância lógica com o exemplo anterior.
Exemplificando:
 54   -   44   -   34   -   24   -   14 
     369  -  175  -  65   -  15
           194  -  110 – 50
                84   -   60
                      24
                                
Efectuando a igualdade da primeira sequência de substituições surge:
369 = 54 – 44
175 = 44 – 34
65 = 34 – 24
15 = 24 – 14

Continuando a igualar os números potenciais, na segunda sequência de substituições vem:
194 = 369 – 175 = 54 - 44 – (44 - 34) = 54 – 44 – 44 + 34 =
110 = 175 – 65 = 44 – 34 – (34 - 24) = 44 – 34 – 34 + 24 =
50 = 65 – 15 = 34 – 24 – (24 – 14) = 34 – 24 – 24 + 14 =

Mais uma terceira sequência de substituições:
84 = 194 – 110 = 54 – 44 – 44 + 34 – (44 – 34 – 34 + 24) = 54–44–44+34–44+34+34-24
60 = 110 – 50 = 44 – 34 – 34 + 24 – (34 – 24 – 24 + 14) = 44-34-34+24-34+24+24-14

Finalmente, para os números potenciais com expoente 4 e ordenados pelo valor decrescente das suas bases, a quarta e última sequência de substituições permite relacionar as sequências de sucessivas subtracções, com o número factorial do respectivo expoente, comum a todos esses números potenciais. 
24 = 84 - 60 = 54–44–44+34–44+34+34-24- (44-34-34+24-34+24+24-14 ) =
 = 54–44–44+34–44+34+34-24- 44+34+34-24+34-24-24+14 =
= 1x544x44 + 6x344x24 + 1x14 = 24 = 4x3x2x1 =  4!   

Números potenciais cujo expoente é 5:
Em consonância com o que já foi aqui descrito para os outros números potenciais; primeiro cria-se o triângulo invertido, cujo resultado final é um número natural igual ao resultado do número factorial do expoente dos respectivos números potenciais. 
65     -     55     -     45     -     35     -     25     -     15
     4651   -   2101   -   781   -   211    -    31
             2550   -   1320   -   570   -   180     
                     1230   -   750   -   390
                               480   -   360
                                       120

Efectua-se a igualdade da primeira sequência de substituições:
4651=65-55
2101=55-45
781=45-35
211=35-25
31=25-15

Continua-se a igualar com a segunda sequência de substituições:
2550=4651-2101=65-55-(55-45)=65-55-55+45
1320=2101-781=55-45-(45-35)=55-45-45+35
570=781-211=45-35-(35-25)=45-35-35+25
180=211-31=35-25-(25-15)=35-25-25+15

Realiza-se a terceira sequência de substituições:
1230=2550-1320=65-55-55+45-(55-45-45+35)=65-55-55+45-55+45+45-35
750=1320-570=55-45-45+35-(45-35-35+25)= 55-45-45+35-45+35+35-25
390=570-180=45-35-35+25-(35-25-25+15)= 45-35-35+25-35+25+25-15   

Apesar de trabalhoso, e da possibilidade de ocorrência de lapsos, continua-se com a quarta sequência de substituições:
480=1230-750=65-55-55+45-55+45+45-35-(55-45-45+35-45+35+35-25)=
=65-55-55+45-55+45+45-35-55+45+45-35+45-35-35+25

360=750-390=55-45-45+35-45+35+35-25-(45-35-35+25-35+25+25-15)=
=55-45-45+35-45+35+35-25-45+35+35-25+35-25-25+15

Finalmente, tratando-se de números potenciais com expoente 5, pois são também 5 as sequências de substituições:
120=480-360=65-55-55+45-55+45+45-35-55+45+45-35+45-35-35+25-(55-45-45+35-45+35+35-25-45+35+35-25+35-25-25+15)=65-55-55+45-55+45+45-35-55+45+45-35+45-35-35+25-55+45+45-35+45-35-35+25+45-35-35+25-35+25+25-5=
=1x65-5x55+10x45-10x35+5x25-1x15=120=5x4x3x2x1=5!
Portanto mais uma vez, o resultado final é uma relação de igualdade entre, por um lado, várias operações aritméticas diferentes e por outro apenas a operação multiplicação de números sucessivamente decrescentes, ou seja o factorial.

Números potenciais cujo expoente é 6:
Também aqui, mais uma vez, se inicia com a formação triangular referente às sequências de sucessivas subtracções até atingir o resultado final que é o número natural igual ao resultado do número factorial do expoente dos respectivos números potenciais


Realizando as subtracções sucessivas e respectivas substituições numéricas, mas agora sem escrever todos os cálculos efectuados, por ser trabalhoso e porque a respectiva lógica de operações e cálculo já foi demonstrada, surge pois a expressão numérica final, assim:
720=3240-2520 = 76- 66 - 66 + 56 - 66 + 56 + 56 - 46 - 66 + 56 + 56 - 46 + 56 - 46 - 46 + 36 - 66 + 56 + 56 - 46 + 56 - 46 - 46 + 36 + 56 - 46 - 46 + 36 - 46 + 36 + 36 - 26 - 66 + 56 + 56 - 46 + 56 - 46 - 46 + 36 + 56 - 46 - 46 + 36 - 46 + 36 + 36 - 26 + 56 - 46 - 46 + 36 - 46 + 36 + 36 - 26 - 46 + 36 + 36 - 26 + 36 - 26 - 26 + 16 =
= 1x766x66 + 15x5620x46 + 15x366x26 + 1x16 = 720 = 6x5x4x3x2x1 = 6!     

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA – RESULTADO
Apesar dos padrões e regularidades matemáticas encontradas, constituírem um estímulo ao trabalho, a realidade é que após efectuar todos cálculos, todas as tarefas, se torna necessário atribuir um significado, um sentido sem o qual a coerência lógica e matemática se perdem.  

Agrupamento das expressões numéricas finais:
Para cada conjunto de números potenciais com o mesmo expoente, ordenados pelo valor das suas bases de modo decrescente, realizou numa primeira fase, no início, sequências de sucessivas subtracções até chegar ao último número natural que iguala o resultado do factorial do respectivo expoente; numa segunda fase, em continuação, realizou sequências de sucessivas substituições pelos respectivos números potenciais até chegar, em cada caso, a expressões numéricas finais que agora vai agrupar:
A análise deste agrupamento triangular de expressões numéricas; quando se centra a atenção nos primeiros números de cada termo, aqui escritos a vermelho, faz pensar no Triângulo Aritmético, também conhecido por Triângulo de Tartaglia, de Yang-Hui ou também chamado Triângulo de Pascal. A partir deste pensamento e com o propósito de o confirmar; apenas por indução matemática e dedução lógica, desenvolve e agrupa várias outras expressões numéricas semelhantes até ao expoente 11, assim:


 Para algumas destas expressões numéricas, realizou os respectivos cálculos que confirmaram a sua veracidade. Confirmou também que os primeiros números de cada termo, aqui escritos a vermelho, correspondem precisamente aos números do Triângulo Aritmético ou de Pascal.

Relação fundamental de Patrício:
O agrupamento das expressões numéricas finais e a confirmação da sua associação com o Triângulo Aritmético, também conhecido por Triângulo de Tartaglia, de Yang-Hui ou também designado Triângulo de Pascal; conduziram por indução matemática a uma generalização traduzida na seguinte expressão algébrica:
n! = nx(n–1)x(n–2)x(n–3)x … x2x1 =
= a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n

A relação de igualdade, que se estabelece entre um número factorial e o respectivo polinómio de grau igual a esse factorial traduzida, por generalização, nessa expressão algébrica, é designada relação fundamental de Patrício:
n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n
Sendo que: a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números da linha do triângulo aritmético ou de Pascal; linha essa que é igual ao respectivo número factorial, mas também igual ao expoente da expressão que define o grau do polinómio.
Compreende-se que a1 = 1 e a2 = n e que, por o triângulo aritmético ser simétrico, também outros coeficientes numéricos dos vários termos do polinómio serão, entre si, iguais.

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA – DISCUSSÃO DO RESULTADO
O primeiro dos números factoriais é 2!; assim como o número zero está para a adição e o número um para a multiplicação, também assim o 2! está para a factorialização.
A relação fundamental de Patrício demonstra claramente que, a partir do número factorial 2!, qualquer outro número factorial, pode ser traduzido por uma expressão numérica de natureza polinomial pelo que qualquer função factorial se pode traduzir numa função polinomial; mas o inverso também é verdadeiro.
Nos vários termos ou monómios deste polinómio, os coeficientes numéricos são os números do triângulo aritmético ou de Pascal.
Para o triângulo aritmético, constituído por linhas e colunas, existem vários algoritmos aritméticos capazes de calcular cada um dos seus números constituintes.
A própria natureza aritmética do triângulo faz da adição a sua operação fundamental pelo que qualquer um dos seus números terá de ser determinado através da operação de adição ou de sucessivos somatórios de somatórios.
Há também algoritmos de natureza factorial, como o binómio de Newton e outros, que permitem calcular os números em cada linha sem conhecer os valores de linhas anteriores, mas a natureza do triângulo aritmético assenta na operação adição.
Quando se considera a condição de alternar entre subtracção e adição, ao longo da mesma linha, o resultado final para os números do Triângulo Aritmético, de Tartaglia, Yang-Hui ou de Pascal são sempre iguais a zero.
O facto de a alternância entre subtracção e adição, ao longo da mesma linha do triângulo aritmético resultar no número zero, faz com que o polinómio associado à relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n, seja um polinómio determinístico.
O facto de o triângulo aritmético ou de Pascal ter natureza simétrica, conjugado com a constatação de que a alternância entre subtracção e adição dos seus números, ao longo da mesma linha resulta no número zero faz do polinómio associado à relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n, um polinómio completamente determinístico.
A igualdade, factorial = polinomial permite, para todas as situações, encontrar um modo polinomial de resolver um factorial; ainda que o grau do polinómio seja igual ao respectivo número factorial. Assim, transforma a resolução de um tempo factorial, qualquer que este seja, numa questão de tempo polinomial.
O triângulo aritmético, ou de Pascal, comporta em si próprio um fácil algoritmo de decisão informática resolvido em tempo polinomial, pelo que inserido na relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n transforma qualquer problema ou algoritmo informático de natureza temporal não determinística ou não polinomial, num algoritmo temporal completamente determinístico em tempo polinomial.

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA – CONCLUSÃO
O delegado comercial ou caixeiro-viajante, tem agora uma ferramenta matemática que lhe facilita os cálculos para optimizar a decisão de determinar a melhor rota ou circuito comercial, mas o trabalho não se esgota com a resolução do problema P versus NP.

PARA ALÉM DA RELAÇÃO FUNDAMENTAL DE PATRÍCIO
A relação fundamental de Patrício na sua íntima interdependência com o triângulo aritmético de Pascal, invoca um elevado número de interrogações que apesar de não estarem no âmbito desta reflexão, deixam transparecer imediatamente a ideia de que a sua investigação seria pertinente. Algumas dessas interrogações, das mais elementares, serão seguidamente exemplificadas:

Estudos sobre polinómios:
Haverá algum modo simples de converter e exprimir polinómios sobe a forma da relação fundamental de Patrício que a partir daí serão transformados numa expressão algébrica factorial?

Análise de funções:
Considerando que da relação fundamental de Patrício se extrai:
n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n
Portanto:
[a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n]/n! = 1
mas também
n!/[a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n] = 1
Como será o estudo de funções que tenham por domínio números ou expressões factoriais e como contradomínio os respectivos polinómios? Quais as derivadas e primitivas dessas funções?

Relação entre o binómio de Newton e a relação fundamental de Patrício:
A resolução do binómio de Newton permite, pelos respectivos coeficientes numéricos, encontrar os números, de cada fila, do triângulo aritmético mas, as partes literais dos seus termos não coincidem com as partes literais dos termos do polinómio da relação fundamental de Patrício. Será interessante estudar e verificar o modo como as partes literais dos termos resultantes da resolução do binómio de Newton se relacionam com as partes literais dos termos do polinómio da relação fundamental de Patrício.

Triângulo Geométrico:
Se o triângulo aritmético se baseia na adição, pois também se pode construir um outro triângulo com base na operação multiplicação, com base nos factoriais. Assim:
1
2x1
3x2x1
4x3x2x1
5x4x3x2x1
6x5x4x3x2x1
7x6x5x4x3x2x1
8x7x6x5x4x3x2x1
9x8x7x6x5x4x3x2x1
10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
A referida relação fundamental de Patrício permite estabelecer um paralelismo entre o triângulo aritmético, constituído a partir de várias somas efectuadas nas linhas anteriores, e um triângulo geométrico constituído a partir de números factoriais seguidos.
O facto de os dois triângulos se relacionarem por uma expressão algébrica, uma expressão polinomial, torna os cálculos facilitados.

CONCLUSÃO FINAL
A arte não é sentida como intrinsecamente necessária à continuidade da vida, mas nutre um fascínio inato por parte dos seres humanos; os artistas da música, escultura, pintura e outras artes, são sobejamente admirados pelas pessoas. O pensamento como arte apenas cativa a atenção em escassos domínios como a narrativa e por vezes a poesia. A criação de ideias filosóficas também maravilha os mais racionais mas ao domínio da ciência atribui-se frequentemente uma necessidade de sobrevivência da humanidade, uma necessidade de bem-estar e um carácter técnico, uma seriedade pela qual se exclui toda a criatividade típica da arte; ao excluir-se a criatividade retira-se a merecida admiração popular. A criatividade do pensamento, a geração de ideias, ainda que inúteis ou relacionando conceitos científicos sem utilidade prática imediata, mantém toda a beleza da arte; a arte do futuro será a arte de pensar. Este pensamento, esta reflexão é uma simples obra de arte, … é obra da minha arte! Ficheiro para Download 
Doutor Patrício Leite, 9 de Novembro de 2016