Matemática Angulatória

A teoria dos números frequentemente aceita a regra de que qualquer número se encontra numa sequência ordenada que o localiza antes do seu superior e depois do seu inferior. Frequentemente também, se aceita a unidimensionalidade dos números; como que estes se dispõem numa recta ordenada, apenas com uma dimensão. Por outro lado, também se aceita o número em módulo, como uma distância, um valor absoluto. Já no plano cartesiano, um ponto é definido por duas coordenadas, pelo que cada ponto pode ser considerado um número, ou então faz-se analogia entre número e vector o que nos transporta para a multidimensionalidade com múltiplas coordenadas e as matrizes a funcionar como números. Se avançarmos para os números complexos, que podem ser escritos na forma y=mx+b com m sendo a raiz quadrada de -1, tendo b como a parte real e sendo x a parte imaginária, então qualquer número complexo faz analogia com a função real da recta cujo declive é a raiz quadrada de -1.

A teoria dos numeretos considera que estes, para terem sentido, deveriam ser sempre compostos por dois símbolos: operação e algarismo. Os números seriam um conjunto restrito dos numeretos com um algarismo e um símbolo de operação em que o conjunto dos números naturais têm associada a operação e o símbolo adição, aos inteiros acrescenta-se a operação e símbolo subtracção, aos racionais a divisão e aos reais a multiplicação já que as raízes são potências com expoentes fraccionários. Os números complexos têm associadas mais do que uma operação matemática e poder-se-ia continuar a alargar o âmbito com números súper e híper complexos, etc. Finalmente surge a matemática angulatória e o ângulo como um número. Na realidade, aos planos cartesianos bi ou multidimensionais, têm-se acrescentado outros planos e outras formas de localizar pontos ou números. Assim, as coordenadas polares surgem quando um ponto no plano é representado e localizado por uma coordenada métrica da distância e uma coordenada angular. Sob este ponto de vista, qualquer número tem uma componente periódica ou rotacional e uma componente não periódica. Ou seja, por analogia com um relógio de ponteiros; quando o ponteiro dos segundos dá uma volta completa, muda o dos minutos e quando este dá a volta completa, então muda o das horas. Ora se há 10 símbolos ou algarismos para todos os números então num sistema angular decimal, ocorre uma rotação completa quando se percorre todos estes símbolos. O desenvolvimento da matemática angulatória inicia-se com o plano cartesiano como uma relação biunívoca entre um ponto localizado no plano e um ponto descrito na forma algébrica. O plano cartesiano básico é composto por duas rectas ordenadas que definem o eixo das abcissas e das ordenadas mas também por ângulos que, em principio, são rectos ou medem 90 graus podendo, no entanto, ter outras medidas. Frequentemente, quem trabalha com o plano cartesiano apenas usa o eixo das abcissas e das ordenadas e paradoxalmente desconsidera os ângulos entre estas duas rectas. 

Um outro sistema de representar um ponto no plano consiste em usar um ângulo e uma distância. Este sistema de coordenadas polares pode ser bi ou multidimensional e tem correspondência com o sistema cartesiano. As coordenadas polares, radial e angular, têm aplicação na localização de submarinos, aeronáutica, engenharia espacial etc.

Agora que foram descritos um sistema cartesiano puro cujas coordenadas assentam na distância; um sistema polar ou misto, cujas coordenadas assentam num ângulo e numa distância; será descrito um sistema angular puro cujas coordenadas assentam em ângulos.

O sistema angular consiste em representar e localizar um ponto qualquer no plano apenas por ângulos, podendo ser bi ou multidimensional. No sistema angular bidimensional, a localização de um ponto resulta do encontro de duas semi-rectas de dois ângulos cujo outro lado, a outra linha ou semirecta são colineares.

Em matemática angulatória torna-se necessário esclarecer alguns conceitos já que um ponto é simultaneamente um ângulo de 360 graus mas também o vértice de qualquer ângulo, por outro lado, uma recta ou semi-recta é uma sucessão de pontos mas também qualquer linha que divide um ângulo. 

Assim, o plano angular é constituído por uma recta que ao dividir um ângulo de 360 graus, se converte num eixo de simetria para dois ângulos de 180 graus cada. É nesta recta que se vão definir dois ângulos com uma semi-recta colinear e vértice não coincidente; por prolongamento, para ambos os lados, da semi-recta não colinear de cada um destes dois ângulos, vai ser encontrado um ponto comum, num ou noutro dos ângulos simétricos de 180 graus. Este ponto comum forma um dos vértices de um triângulo, e as suas duas coordenadas são cada uma das aberturas dos 2 ângulos inseridos na recta, ou seja, no eixo de simetria.

De notar que há confusões de linguagem que cumpre esclarecer, por exemplo; não existem dois ângulos de 30 graus mas sim duas vezes um ângulo de 30 graus.

Finalmente, assim como há correspondências que transformam bilateralmente a geometria analítica do sistema das coordenadas polares em cartesianas; também tal pode ocorrer com o sistema das coordenadas angulares em polares e cartesianas. Tais transformações serão efectuadas por matemáticos que desejem aprofundar todas as vertentes da geometria analítica.                                                                      Doutor Patrício Leite, 5 de Novembro de 2014